专题2.8 相交线与平行线全章专项复习【2大考点12种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

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专题2.8 相交线与平行线全章专项复习【2大考点12种题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1158" 【考点1 相交线】 PAGEREF _Toc1158 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24046" 【题型1 对顶角的概念与性质的应用】 PAGEREF _Toc24046 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31602" 【题型2 利用垂直的定义求角度】 PAGEREF _Toc31602 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22366" 【题型3 垂线的画法】 PAGEREF _Toc22366 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26336" 【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】 PAGEREF _Toc26336 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc19574" 【题型5 认识“三线八角”】 PAGEREF _Toc19574 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc9616" 【题型6 相交线的规律探究问题】 PAGEREF _Toc9616 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc27165" 【考点2 平行线】 PAGEREF _Toc27165 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9369" 【题型7 平行线的画法】 PAGEREF _Toc9369 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc13743" 【题型8 平行线的三种判定方法】 PAGEREF _Toc13743 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc30204" 【题型9 平行线性质的应用】 PAGEREF _Toc30204 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31452" 【题型10 平行线之间的距离】 PAGEREF _Toc31452 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc31123" 【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】 PAGEREF _Toc31123 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc31063" 【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】 PAGEREF _Toc31063 \h 15【考点1 相交线】（1）对顶角及其性质两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.两直线相交，对顶角相等（2）垂线如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.（3）垂线段最短过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.（4）点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.（5）同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角. 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角. 两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角. 【题型1 对顶角的概念与性质的应用】【例1】（23-24七年级·湖北宜昌·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度数．【变式1-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）如图，∠1与∠2是对顶角的为（   ）A．B．C．D．【变式1-2】（23-24七年级·上海·期中）已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与CD的夹角是 度．【变式1-3】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．【题型2 利用垂直的定义求角度】【例2】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，则∠BOC的度数为 ．【变式2-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，∠1=12°，OA⊥OC，点B、O、D在同一直线上，则∠2= °．【变式2-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线AB与直线CD交于点 O， 过点 O 作OE⊥AB．(1)如图 1， ∠BOC=2∠AOC，求 ∠COE的度数；(2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 OF⊥CD，射线 OM平分 ∠BOD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 ∠AOC互余的角．【变式2-3】（23-24七年级·全国·期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度数．(2)证明：OC是∠AOF的平分线．【题型3 垂线的画法】【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】（23-24七年级·福建宁德·期中）过点P向线段AB所在直线画垂线段，画图正确的是（    ）A． B．C．D．【变式3-2】（23-24七年级·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线CD，下面三角板的摆放正确的是（　　）A．B．C．D．【变式3-3】（23-24七年级·山东济南·期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】【例4】（23-24七年级·全国·单元测试）下列说法正确的是（  ）A．过线段外一点不一定能作出它的垂线B．过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直D．过任意一点均可作一条直线的垂线【变式4-1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）六盘水市2023年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值5分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意图如图，即PN的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（    ）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式4-2】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图是某同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为 米．【变式4-3】（23-24七年级·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA=5cm, MB=4cm, MC=2cm, MD=3cm，则点M到直线l的距离是（   ）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm【题型5 认识“三线八角”】【例5】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（    ）A．B．C．D．【变式5-1】（23-24七年级·宁夏银川·期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角；(2)若测得∠AOE=65°，∠BOM=145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．【变式5-2】（23-24七年级·广东珠海·期末）2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是（　　）A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5【变式5-3】（23-24七年级·上海杨浦·期中）如图，∠1和∠2是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．∠1的内错角有 个，∠3的同位角有 个．【题型6 相交线的规律探究问题】【例6】（23-24七年级·贵州黔东南·期末）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（　　）A．18B．10C．8D．7【变式6-1】（23-24七年级·全国·单元测试）同一平面内1条直线把平面分成两个部分（或区域）；2条直线最多可将平面分成几个部分？3条直线最多可将平面分成几个部分？4条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知n条直线最多可将平面分成几个部分？【变式6-2】（23-24七年级·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．  (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．(2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．(3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？【变式6-3】（23-24七年级·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字：则由上述规律可知：(1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；(2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；(3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　）A．12对     B．8对      C．6对       D．4对【考点2 平行线】（1）平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”（2）平行线的判定①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行）. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）. （3）平行线的性质①两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.②两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.③两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.【题型7 平行线的画法】【例7】（23-24七年级·北京东城·期末）如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：（1）过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；（2）过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；（3）过点A画直线AD∥l2；（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于　 　．【变式7-1】（23-24七年级·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB ∥ CD，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ）①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线CD；④作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB．A．④①②③B．④②①③C．④②③①D．④③①②【变式7-2】（23-24七年级·江西上饶·期末）如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P点画直线CD使CD∥AB，简单说明你的画法．  【变式7-3】（23-24七年级·河北石家庄·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：甲的画法：乙的画法：请你判断两人的作图的正确性（    ）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．两人都正确D．两人都错误【题型8 平行线的三种判定方法】【例8】（23-24七年级·陕西西安·期中）如图所示，△ABC与△DEF均为直角三角形，其中∠C=∠FDE=90°，∠E=45°，∠B=60°，点D在边AC上，∠ADF=15°，请判断两条斜边EF与AB的位置关系并证明．【变式8-1】（23-24七年级·内蒙古包头·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，在BC的右侧作∠BCD=55°，试说明：CD∥AB．（请用两种方法解答）【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，已知△ABC，∠ACB=80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求证：EF∥BC．【变式8-3】（23-24七年级·辽宁铁岭·期中）如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE与CF平行吗？【题型9 平行线性质的应用】【例9】（23-24七年级·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠1=102°，则∠2的度数为（    ）A．102°B．72°C．78°D．90°【变式9-1】（23-24七年级·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果管道AB与纵向联通管道的夹角∠A=100°，那么管道CD与纵向联通管道的夹角∠C的度数等于 ．【变式9-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4的度数是（　　）A．95°B．100°C．105°D．120°【变式9-3】（23-24七年级·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ）A．先右转80°，再左转100°B．先左转80°，再右转80°C．先左转80°，再右转100°D．先右转80°，再右转80°【题型10 平行线之间的距离】【例10】（23-24七年级·上海杨浦·期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AD与BC交于点E．△ACE与△BDE的面积相等吗？为什么？  解：作AH1⊥l2，垂足为H1，作BH2⊥l2，垂足为H2．又因为l1∥l2（已知），所以______（平行线间距离的意义）．（完成以下说理过程）【变式10-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D，E在l2上，若∠CAE=∠ADE=90°，则下列线段的长度是l1到l2的距离的是（　　）A．ACB．AEC．ADD．BE【变式10-2】（23-24七年级·上海长宁·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC， 连接AC、BD， 已知梯形ABCD的面积为16，△BDC的面积为12，那么△ADC的面积 ．【变式10-3】（23-24七年级·湖南郴州·期末）如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD，图中和△EBD面积相等的三角形有以下哪些三角形：①△EDA；②△EDC；③△ABE；④△ABD；⑤△ABC．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】【例11】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形FEBO中，H为OF上一点，C为BO上一点，连接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．(1)求证：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度数．【变式11-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知点F,E在BC上，点G在AB上，BA⊥AC于点A，ED⊥AC于点D，若∠1=∠2,∠AEB=110°，求∠GFE的度数．  解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（  ），∴∠BAC=90°,∠EDC= °（  ），∴AB DE（  ），∴∠2=∠BAE（（  ），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（  ），∴GF ∥ （  ），∴∠AEB+∠GFE= （  ），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE= ．【变式11-2】（23-24七年级·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．(1)请对OE∥DM说明理由；(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．【变式11-3】（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知AP∥DM，点B，C分别是射线AP，DM上的点，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分别平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度数；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度数．【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】【例12】（23-24七年级·全国·期末）直线AB∥CD，P 为直线AB上方一点，连接PA、PD．(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数；(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、β的式子表示）；(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC的值．【变式12-1】（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．(1)如图1，直接写出∠APE、∠PEQ、∠CQE之间的数量关系；(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=150°时，求出∠PFQ的度数；(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=60°时，直接写出∠PFQ的度数．【变式12-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE （本题不能直接用三角形内角和）(1)如图1， 求证：AB∥DE；(2)如图2， 点K、F分别在BE、BD 的延长线上， 点C在线段DE上， 且满足∠FCD=∠FCK，求证：∠F+∠ABD+∠FCK=180°；(3)如图3， 在（2）的条件下，∠F−∠K=15°，且DN平分∠CDF，求 ∠FND的度数．【变式12-3】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，点E、F为AB、CD之间的两点．(1)如图1，若∠E=90°，求∠F的度数；(2)如图2，请探索∠F−∠E的度数是否为定值，请说明理由；(3)如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．示意图                 …相交情况1条直线与2条直线相交1条直线与3条直线相交1条直线与4条直线相交…同位角对数（2×1×2）对（2×2×3）对（2×3×4）对…内错角对数（1×2）对（2×3）对（3×4）对…同旁内角对数（1×2）对（2×3）对（3×4）对…①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含30°角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．