2025-2026学年北师大版九年级上册数学 期末测试 （含答案）

这是一份2025-2026学年北师大版九年级上册数学 期末测试 （含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x2−7=5y+1B. 53x− 3=12x2+x
C. 2x2−7y−2=0D. 3x2−5x+7=3x2+6x−4
2.某种零件模型如图所示，该几何体(空心圆柱)的主视图是( )
A. B. C. D.
3.把2 m长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为( )
A. (3− 5)mB. ( 5−1)mC. (1+ 5)mD. (2− 5)m
4.下列说法正确的是( )
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
5.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是 ( )
A. AEAC=DEBCB. ∠B=∠ADEC. AEAD=ACABD. ∠C=∠AED
6.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A. k>12B. k≥12C. k>12且k≠1D. k≥12且k≠1
7.如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是 ( )
A. (0,2)B. (0,2.5)C. (0,3)D. (0,4)
8.已知点A在函数y1=−1x(x>0)的图象上，点B在直线y2=kx+1+k(k为常数，且k≥0)上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为 ( )
A. 只有1对B. 有1对或2对C. 只有2对D. 有2对或3对
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.若(m−1)xm(m+2)−1+2mx−1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 .
10.已知ba=513，则a−ba+b的值是 .
11.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE.如果∠ADB=30∘，那么∠E= 度．
12.如图所示的是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 .
13.如图，已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A，B两点，第一象限内的点M(m,n)(在点A左侧)是双曲线上的动点，过点B作BD//y轴交x轴于点D，过点N(0,−n)作NC//x轴交双曲线于点E，交BD于点C.若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，则直线CM的表达式为 .
三、计算题：本大题共6分。
14.解方程：2x2−4x−3=0.
四、解答题：本大题共12小题，共75分。
15.水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果的单价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是 千克(用含x的代数式表示).
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？
16.如图，在矩形ABCD中，DE交BC于点E，且DE=AD，AF⊥DE于点F.求证：AB=AF.
17.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均10m2提高到12.1m2.若每年的增长率相同，求未来两年平均年增长率．
18.如图，D为△ABC边AB上一点．请用尺规作△ADE，使点E在边AC上，且△ADE∽△ACB.(保留作图痕迹，不写作法)
19.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD.求证：四边形ABCD是菱形．
20.如图，在等边三角形ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60∘.
(1)求证：△BDE∽△CFD.
(2)当BD=1，CF=3时，求BE的长．
21.已知正比例函数y1=ax(a≠0)与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象在第一象限内交于点A(2,1).
(1)求a，k的值．
(2)在平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答y1>y2时x的取值范围．
22.已知关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围．
(2)当x12−x22=0时，求m的值．
23.某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．
(1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为 .
(2)如果随机抽取2名同学共同展示，求都为男生展示的概率．
24.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90∘，AB=BC，∠D=45∘，CD的垂直平分线交CD于点E，交AD于点F，交BC的延长线于点G，若AD=a.
(1)求证：四边形ABCF是正方形．
(2)求BG的长．
25.如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF//DE且交AG于点F.
(1)求证：AE=BF.
(2)连接DF，CE，探究线段DF与CE的关系并证明．
26.问题提出
在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)问题探究
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=45∘，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长．
(2)如图2，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由．
(2)问题解决(3)西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图3所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90∘，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠(渠宽不计)，使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过边BC.请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与边BC的交点到点B的距离．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】−3
10.【答案】49
11.【答案】15
12.【答案】4
13.【答案】y=23x+23

14.【答案】解：(x−1)2=52，∴x1=1+ 102，x2=1− 102.
15.【答案】【小题1】
(100+200x)
【小题2】
设这种水果的单价降价x元．则(4−2−x)(100+200x)=300，解得x1=1，x2=12.当x=1时，每天的销售量为300千克；当x=12时，每天的销售量为200千克．∵保证每天至少售出260千克，∴x2=12不合题意，应舍去．∴x=1，此时单价为4−1=3(元).答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至3元．
16.【答案】证明：∵AF⊥DE.∴∠AFD=90∘.∵在矩形ABCD中，AD//BC，∠C=90∘，AB=CD，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C=90∘.∵AD=DE，∴△ADF≌△DECAAS.∴AF=DC.∵DC=AB，∴AB=AF.
17.【答案】解：设未来两年平均年增长率是x.则10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去).答：未来两年平均年增长率是10%.
18.【答案】解：如图，△ADE即为所求.

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∵AE=CF，∠AED=∠CFD，∴△AED≌△CFDASA.∴AD=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形．
20.【答案】【小题1】
解：证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60∘.∵∠EDF=60∘，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠CDF=120∘.∴∠BED=∠CDF.∴△BDE∽△CFD.
【小题2】
由(1)知△BDE∽△CFD，∴BECD=BDCF.∵BC=6，BD=1，∴CD=BC−BD=5.∴BE5=13，解得BE=53.

21.【答案】【小题1】
解：将A(2,1)代入y1=ax，得1=2a，∴a=12.将A(2,1)代入y2=kx，得1=k2，∴k=2.
【小题2】
由(1)知，y1=12x，y2=2x，两个函数的图象略．由图象得，当y1>y2时，−24)，∴BN=6.③如图6，当直线l分别交CD，BC于点M，N.设CN=x，则CM=9−x，作MH⊥BC于点H，易知MH=45(9−x)，∴S△CMN=12x⋅45(9−x)=9.∴2x2−18x+45=0.∵Δ=−36