2025-2026学年北师大版数学九年级上册-期中测试卷 （含答案）

这是一份2025-2026学年北师大版数学九年级上册-期中测试卷 （含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. 3x2+5x−4=0B. 6x+10=0
C. 5x2+3y−2=0D. x2+2 3x−5=0
2.若x=3是关于x的一元二次方程x2−mx−3=0的一个根，则m的值是( ).
A. 2B. 1C. 0D. −2
3.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠DBC=32∘，则∠AOB等于( )
A. 18∘B. 32∘C. 116∘D. 64∘
4.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−2)2=9
5.甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同。从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 56
6.如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是 ( )
A. 45∘B. 30∘C. 22.5∘D. 20∘
7.一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子里红球的个数为( )
A. 11B. 15C. 19D. 21
8.如图，在▱ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60∘，E是边AD上一点，且AE=8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60∘，得到EG，连接BG，CG，则BG+CG的最小值是( )
A. 4B. 4 15C. 4 21D. 37
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.已知关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 。
10.如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
11.三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是 .
12.某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 。
13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，点P是BC边上一点，连接A P，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60∘得到AQ，连接CQ，DQ，且∠BCQ=∠DCQ，则CQ的长度为 。
三、计算题：本大题共12分。
14.解方程：
(1)2x2=−3+7x;
(2)(x+3)2=2x+6。
四、解答题：本大题共6小题，共49分。
15.已知a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两根，求代数式a2+2a+b−5的值。
16.已知关于x的方程x2−(2k+2)x+k2+2k=0.
(1)当k=2时，求方程的根；
(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
17.如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数字分别是−3，−1，4，转盘乙上的数字分别是2，−5，7。(规定：若指针恰好停留在两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)单独转动转盘甲，转盘甲指针指向负数的概率是 ;
(2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请利用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率。
18.如图，若干个形状、大小完全相同的小菱形组成网格ABCD，小菱形的顶点称为格点，且小菱形的边长为1。
(1)在图1网格中作一个矩形EFGH，使得矩形EFGH的4个顶点都在格点上(画一种情况即可);
(2)在图2网格中作一个面积最大的矩形MNPQ，使得矩形MNPQ的4个顶点都在格点上;
(3)若∠A=60∘，问题(2)中矩形的面积是 。
19.芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
(1)求前三季度生产量的平均增长率．
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？
20.定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形。
(1)如图1，在10×10的网格图中，点A，B，C在格点(小正方形的顶点)上，请画出两个符合条件的等补四边形ABCD，点D也在格点上。
(2)如图2，以菱形ABCD的一边CD为边，向外作正方形CDEF，M，N分别是菱形和正方形的对角线交点，连接MN。
①求证：四边形DMCN是等补四边形;
②若MN= 2，求四边形DMCN的面积。
(3)如图3，在四边形ABFE中，AE//BF，∠A=90∘，AE=AB，点D在边AE上，DE=BF，点C在边EF上，四边形ABCD为等补四边形，现已知AD=2，求DE的长度。
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】k≤4，且k≠0
10.【答案】AC=BD
/(答案不唯一)
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，
∴菱形ABCD为正方形．
11.【答案】13
12.【答案】3200(1−x)2=2500
13.【答案】4 6−4 2
14.【答案】【小题1】
x1=12，x2=3。
【小题2】
(x+3)2=2x+6，(x+3)2=2(x+3)，移项得(x+3)2−2(x+3)=0，则(x+3)(x+1)=0，
∴x+3=0或x+1=0，
∴x1=−3，x2=−1。

15.【答案】解：∵a是一元二次方程x2+x−2=0的根，
∴a2+a−2=0，即a2=2−a，
∴a2+2a+b−5=2−a+2a+b−5=a+b−3，
∵a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两根，
∴a+b=−1，∴a2+2a+b−5=−1−3=−4。
16.【答案】【小题1】
解：当k=2时，方程为x2−6x+8=0，
∴(x−4)(x−2)=0，
解得x1=4，x2=2.
【小题2】
证明：a=1，b=−(2k+2)，c=k2+2k.
∵Δ=[−(2k+2)]2−4(k2+2k)=4>0，
∴无论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根．

17.【答案】【小题1】
23
【小题2】
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中记录的两数字之和为正数的结果有：(−3,7)，(−1,2)，(−1,7)，(4,2)，(4,7)，共5种，
∴记录的两数字之和为正数的概率为59。

18.【答案】【小题1】
如图所示，四边形EFGH即为所求;
由菱形对角线互相垂直知EF⊥EH，EF⊥FG，由图知FG=EH，则四边形EFGH是矩形。
【小题2】
如图所示，四边形MNPQ即为所求。
【小题3】
4 3

3. 如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠A=60∘，
∴∠ADE=90∘−60∘=30∘，
∴AE=12AD=2，
∴DE= AD2−AE2=2 3，
∴S菱形ABCD=AB⋅DE=4×2 3=8 3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AP//DM，
∵AP=DM=2，
∴四边形APMD是平行四边形，
∴S△PQM=12S四边形APMD，
同理可得S△PMN=12S四边形BCMP，
∴S△PQM+S△PMN=12S四边形APMD+12S四边形BCMP，
∴S四边形MNPQ=12S四边形ABCD=4 3。
故答案为：4 3。
19.【答案】【小题1】
解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
根据题意得200(1+x)2=288，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去).
答：前三季度生产量的平均增长率为20%.
【小题2】
解：设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20y)万个/季度，
根据题意得(600−20y)(y+1)=2600，
整理得y2−29y+100=0，解得y1=4，y2=25，
∵需要增加产能同时要节省投入成本，
∴y=4.
答：应该再增加4条生产线．

20.【答案】【小题1】
解：如下图中，四边形ABCD即为所求。
【小题2】
证明：如图中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠DMC=90∘，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DF⊥CE，ND=NC=NF=NE，
∴∠DMC=∠DNC=90∘，
∵ND=NC，
∴四边形DMCN是等补四边形。
②解：如图，过点N作NJ⊥CM于点J，作NK⊥MD交MD的延长线于点K。
∵∠NJM=∠K=∠JMK=90∘，
∴四边形MJNK是矩形，
∴∠KNJ=∠DNC=90∘，
∴∠DNK=∠CNJ，
在△NKD和△NJC中，∠DNK=∠CNJ,∠K=∠NJC=90∘,ND=NC,
∴△NKD≅△NJC(AAS)，
∴S△NKD=S△NJC，NK=NJ，
∴四边形MJNK是正方形，
∴S四边形DMCN=S正方形MJNK=12⋅MN2=1。
【小题3】
∵DE//BF，DE=BF
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴S▱DBFE=2S△BCD
设DE=x。
①当DC=DA时，△ABD≅△CBD，
∴S▱DBFE=2S△ABD，
∴x(x+2)=2×122(x+2)，解得x=2;
②当DC=BC时，△BCD等腰直角三角形，
∴S△BCD=BD24，
∴S▱DBFE=2S△BCD，
∴x(x+2)=2⋅(x+2)2+224，
∴x2+2x=x2+4x+82，
∴x2=8，∴x=±2 2(负值舍去)，
综上，DE=2或2 2。

2
−5
7
−3
(−3,2)
(−3,−5)
(−3,7)
−1
(−1,2)
(−1,−5)
(−1,7)
4
(4,2)
(4,−5)
(4,7)