2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末检测卷（附答案)

这是一份2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末检测卷（附答案)，共32页。
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABAC=DEDF=25，
∴DF−15DF=25，
解得DF=25.
故答案为C.
【分析】首先由平行线分线段成比例的性质可得ABAC=DEDF=25，然后将EF=15，DE=DF-EF代入计算即可.
2．用配方法解一元二次方程x2+2x−9=0时，原方程可变形为（ ）
A．(x+1)2=13B．(x+1)2=10C．(x+2)2=13D．(x+2)2=10
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程配方得 x2+2x+1=9+1, 即 x+12=10.
故选： B.
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.
3．如图，在△ABC中，∠A=36°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△EBD．若点C的对应点D恰好落在AC上，且△ABC∽△BDC，则∠EBD=（ ）
A．70°B．72°C．66°D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△BDC，'
∴∠CBD=∠CAB=36°，
由旋转的性质得到：BD=BC，∠EBD=∠ABC，
∴∠C=∠BDC=12×(180°−36°)=72°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=72°，
∴∠EBD=72°．
故选：B．
【分析】本题可根据旋转的性质以及相似三角形的性质来求解∠EBD的度数.
4．某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2=140B．40（1+x）2=140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2=140D．40+40（1+x）=140
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1月印科技书籍40万册，且2月、3月平均每月增长率为x.
∴2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书40(1+x)2万册.
根据题意得：40+40(1+x)+40(1+x)2=140，
故选：C.
【分析】由1月份的印刷量及2月、3月平均每月增长率，可得出2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书籍40(1+x)2万册，结合第一季度共印140万册即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
5．如图，在菱形ABCD中，E为AD上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点P，交AB于G，若 AE=13AD,则AGFC的值为（ ）
A．13B．15C．25D．16
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAP=∠GAP，AB=BC=AD，BC∥AD，
∵EF⊥AC，
∴∠APG=∠APE=90°，
∵AP=AP，
∴∆APE≌∆APG，
∴AG=AE，
∵AE=13AD,
∴AG=13AB,
∴BG=23AB,
设AE=x，则AB=BC=AD＝3x，AG＝x，BG＝2x，
∵BC∥AD，
∴AEBF=AGBG=x2x=12，
∴BF＝2x，
∴CF=BF+BC＝2x+3x=5x，
∴AGFC＝x5x=15.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据四边形ABCD是菱形得∠EAP=∠GAP，AB=BC=AD，BC∥AD，在根据EF⊥AC得∠APG=∠APE=90°，可证明∆APE≌∆APG得AG=AE，再根据AE=13AD,得BG=23AB,设AE=x，则AB=BC=AD＝3x，AG＝x，根据BC∥AD得AEBF=AGBG=x2x=12，进一步得BG＝2x，可得CF=BF+BC＝2x+3x=5x，代入AGFC即可求解.
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确，符合题意；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确，符合题意；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确，符合题意；
若AB=AC、AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
由③得求解过程，可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误，不符合题意；
综上所述，四种说法中正确的个数有3个．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF=3，则B'C'AB'的值为( )
A．13B．14C．15D．123
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AF，
设CE=x，则C'E=CE=x，BE=B'E=10−x，
∴B'C'=B'E−C'E=10−x−x=10−2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE2=AB2+BE2=82+(10−x)2=164−20x+x2，
EF2=CE2+CF2=x2+32=x2+9，
∠AEB=∠AEB',∠CEF=∠C'EF，
∵∠AEB+∠AEB'+∠CEF+∠C'EF=180°，
∴∠AEF=∠AEB'+∠C'EF=90°
∴AF2=AE2+EF2=164−20x+x2+x2+9=2x2−20x+173
AF2=AD2+DF2=102+(8−3)2=125
∴2x2−20x+173=125
∴x2−10x+24=0
x−4x−6=0
∴x1=4，x2=6，
当x=6时，EC=EC'=6，BE=B'E=10−6=4，不符合题意，故舍去，
当x=4时，EC=EC'=4，BE=B'E=10−4=6，
∴B'C'=6−4=2，
∴B'C'AB'=28=14，
故答案为：B．
【分析】连接AF，设CE=x，用x表示C'E=CE=x，BE=B'E=10−x ，∴B'C'=B'E−C'E=10−x−x=10−2x，证得∠AEF=90°，在Rt△ABE中，∴AE2=AB2+BE2=82+(10−x)2=164−20x+x2，EF2=CE2+CF2=x2+32=x2+9 ， 在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=102+(8−3)2=125，x1=4，x2=6（不符合题意，故舍去)，B'C'=2，B'C'AB'=28=14.
8．如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y=kx的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是152，且MD=4GN．则k的值是（ ）
A．5B．1C．3D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AE=EF=FG=a，AB=BC=AD=b，
由题意得：a2+b2=152．
∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴FG∥ED∥OM，∠NFG=∠DCM=90°，
∴∠NGF=∠DMC，
∴△NFG∽△DCM，
∴NFDC=NGDM，
∵MD=4GN，
∴NFb=14，
∴NF=14b．
∵FG∥ED，
∴△NFG∽△NED，
∴NFNE=FGED，
∴14b14b+a=aa+b，
∴b2=4a2，
∴a2+4a2=152，
∵a>0，
∴a=62．
∴b=6．
∴A62,6，
∴k=62×6=3．
故答案为：C
【分析】
设AE=EF=FG=a，AB=BC=AD=b，利用正方形的性质得到a2+b2=152，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用a2+b2=152求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
二、填空题（每题3分，共15分）
9． 若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= .
【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可得m−4≠0，|m−2|=2，
解得m=0，
故答案为：0．
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
10．如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，若AB=2，则CF的长度为 .
【答案】22
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，AF
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴BC=AB=2
∴AC=AB2+BC2=22
∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG
∴AC=AF=22，∠CAF=60°
∴△ACF为等边三角形
∴CF=AC=22
故答案为：22
【分析】连接AC，AF，根据正方形性质可得BC=AB=2，再根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得AC=AF=22，∠CAF=60°，根据等边三角形判定定理可得△ACF为等边三角形，则CF=AC=22，即可求出答案.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与反比例函数y=kxk>0的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接AB．若OA=OB，△ABO的面积为6，则k的值为 ．
【答案】62
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，
∵直线y=x与反比例函数y=kxk>0的图象交于点A，
∴设Am,m，
∴AD=OD=m,，
∴k=m2
∴OA=m2+m2=2m，
又∵OA=OB，
∴OB=2m，
∵S△ABO=12OB⋅AD=6，
∴12×2m⋅m=6，
∴m2=62，
即k=62，
故答案为：62．
【分析】作AD⊥x轴于点D，设Am,m，可推出AD，OD的长度，进一步可得OA、OB的长度，再用含m的式子表示出△ABO的面积 ，由得m2=62，由此即可求出k的值．
12． 欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法如下：如图，以a2和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx=36时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为 .
【答案】32
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：AD=b，BC=BD=m2
∵AD=2BD
∴AD=m
即m就是x2+mx=36的一个正根
∴m2+m2=36
解得：m=32(负值舍去)
故答案为：32
【分析】由题意可得：AD=b，BC=BD=m2，根据边之间的关系可得AD=m，即m就是x2+mx=36的一个正根，将x=m代入方程，解方程即可求出答案.
13．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为 .
【答案】2−1​​​​​​​
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
AB=BC∠ABC=∠BCFBG=CF
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=2，
∴CH=AC−AH=2−1，
∴CH的最小值为2−1
故答案为：2−1.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．先化简，再求值：(a2a−2−4a−2)×1a2+2a，其中a满足方程x2+5x+6=0．
【答案】解：(a2a−2−4a−2)×1a2+2a
=a2−4a−2⋅1a(a+2)
=(a+2)(a−2)a−2⋅1a(a+2)
=1a，
解方程x2+5x+6=0得：x=−2或−3，
∵分式中a不能为±2，0，
∴a=−3，
当a=−3时，原式=1−3=−13．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而解一元二次方程，再结合分式有意义的条件代入数值即可求解。
15．已知关于x的一元二次方程x2−m+1x+2m−2=0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
【答案】（1）解：把x=1代入方程可得1−m+1+2m−2=0，
解得m=2，
当m=2时，原方程为x2−3x+2=0，
∴(x-2)(x-1)=0
解得x1=1,x2=2，
即方程的另一根为2；
（2）证明：∵a=1，b=−m+1，c=2m−2，
∴Δ=−m+12−4×1×2m−2
=m2−6m+9=m−32≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义，把x=1代入原方程可求得关于字母m的方程，求解得出m=2，然后将m=2代回原方程，利用因式分解法再解方程即可求出原方程的另一个根；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式一定不为负数即可.
（1）解：把x=1代入方程可得1−m+1+2m−2=0，
解得m=2，
当m=2时，原方程为x2−3x+2=0，
解得x1=1,x2=2，
即方程的另一根为2；
（2）∵a=1，b=−m+1，c=2m−2，
∴Δ=−m+12−4×1×2m−2
=m2−6m+9=m−32≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根．
16．2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．
（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．
（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？
【答案】（1）解：设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x，则：2561+x2=400，
1+x2=2516
1+x=±54
∴x1=−2.25（舍），x2=0.25，
答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）解：设每个毛线玩具降价a元，
则：40−a−25×400+4a=4200，
整理得：a2+85a−450=0，
解得：a1=−90（舍），a2=5，
答：每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求出x的值即可；
（2）设每个毛线玩具降价a元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求出a的值即可．
17．2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A:50≤x