2025-2026学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若一个三角形的两边长分别是3和6，第三边的边长是方程x2-10x+21=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 7B. 12C. 16D. 12或16
3.已知点（-2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y=-（x-2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y2＞y1＞y3D. y3＞y2＞y1
4.某校教学楼示意图如图，教学楼围出一块长30m,宽20m的矩形区域，中间是绿化区（阴影部分），三面有等宽的道路，矩形区域内道路的面积正好与绿化区的面积相等.设道路的宽度为x m,则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
5.PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合.若∠P=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 50°B. 100°C. 130°D. 50°或130°
6.关于x的方程（a-2）x2-3x-1=0有实数根，则a满足（ ）
A. B. a≥-1，且a≠2C. a≥-且a≠2D. a≠2
7.如图，将ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到​​​​​​​ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
8.如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC=15°），东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（ ）
A. （千米）B. （千米）C. （千米）D. （千米）
9.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将​​​​​​​ADE绕点A顺时针旋转90°到ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG=3，CG=2，则CE的长为
A. B. C. 4D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（-1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4.有下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
②当x＞-1时，y的值随x值的增大而减小；
③；
④4a-2b+c＞0；
⑤对于任意实数t,总有（t+1）（at-a+b）≤0.
以上结论正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b=a2+2ab-b2，例如3*5=32+2×3×5-52=14．若m，n是方程（x+2）*3=0的两根，则+的值为______．
12.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长.
小宇对这个问题进行了分析：
（1）由直径AB⊥CD于E，可得CE=DE=5，其依据是______.
（2）连接OC，则有OC=OA，在△COE中利用勾股定理列方程可求得OC的长，从而得到直径AB长为______寸.
13.已知二次函数y=x2-2x-3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 .
14.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是 .
15.如图，在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴重合，以O为旋转中心，将OA逆时针旋转：OA⇒OA1⇒OA2⇒…⇒OAn…，旋转角∠AOA1=2°，∠A1OA2=4°，∠A2OA3=8°，…要求下一个旋转角（不超过360°）是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于360°时，又从2°开始旋转，即∠A8OA9=2°，∠A9OA10=4°，…周而复始.则当OAn与y轴正半轴第一次重合时，n的值为 .（提示：2+22+23+24+25+26+27+28=510）
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程.
（1）x2-5x+1=0；
（2）（2x-3）2=10x-15.
17.(本小题10分)
已知函数y=x2-2x-3，完成下列各题.
（1）把它写成y=a（x+m）2+k的形式，并说明它是由什么样的函数图象经过怎样平移得到的；
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象的草图；
（5）设图象交x轴于A，B两点，交y轴于点P，求△APB的面积；
（6）根据图象草图，说出当x取哪些值时，①y=0；②y＜0；③y＞0.
18.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.
（1）①点B关于原点O中心对称点的坐标为（______，______）；
②将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值等于______.
19.(本小题10分)
公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.
①直接写出y关于x的函数关系式；
②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
20.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC.
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长.
21.(本小题12分)
根据以下素材，探索并完成任务.
问题解决：请根据以上信息，完成下列任务.
（1）任务一：求y关于x的函数表达式；
（2）任务二：汽车司机发现正前方70m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由.
22.(本小题13分)
如图1，抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C.在x轴上有一动点E（m,0）（0
＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1=4S2时，求点E坐标.
23.(本小题13分)
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】垂径定理 26
13.【答案】-4≤y≤5
14.【答案】
15.【答案】24
16.【答案】，

17.【答案】（1）原函数变形为：y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
它是由y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的；
（2）函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），开口向上，最小值为-4；
（3）当y=0时，得方程（x-1）2-4=0，解得：x1=-1，x2=3，
令 x=0，y=-3，
∴图象与坐标轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0）、（0，-3）；
（4）画出函数图象如下所示：

（5）设图象交x轴于A，B两点，交y轴于点P，
当x=0时，y=-3，
∴△APB的面积=×4×3=6；
（6）根据图象草图可知，
①当x=-1或3时，y=0；
②当-1＜x＜3时，y＜0；
③当x＞3或x＜-1时，y＞0．
18.【答案】①-4，-1；
②
；

19.【答案】（1）解：设月增长率为a,
依题意可得：150（1+a）2=216，
解得：a1=0.2=20%，a2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：①y=600-10（x-40）=600-10x+400=1000-10x；
②依题意，得：（x-30）（1000-10x）=10000，
整理，得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=80，x2=50，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
20.【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵OP=OP，OC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB，OB=OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，
∴．
21.【答案】y关于x的函数表达式为y=-3x2+30x；
该车在不变道的情况下会撞到障碍物．
理由如下：∵y=-3t2+30t=-3（t-5）2+75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵70＜75，
∴该车在不变道的情况下会撞到障碍物
22.【答案】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0），点B（3，0），
∴，
解：，
∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
当m=1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2=AC2，
∴22+y2+12+（3-y）2=12+32，
解得：y1=1，y2=2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+d,则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵E（m,0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m,-m2+2m+3），F（m,-m+3），
又A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB=3-（-1）=4，OC=3，EF=-m+3，MF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,BE=3-m,
∴S1=S△ACF=S△ABC-S△ABF=AB•（OC-EF）=×4[3-（-m+3）]=2m,
S2=S△BFM=MF•BE=（-m2+3m）（3-m），
∵S1=4S2，
∴2m=（-m2+3m）（3-m），
化简得：m（m2-6m+8）=0，
∵0＜m＜3，
∴m2-6m+8=0，
解得：m1=2，m2=4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
23.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF=90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=FD，
同理，∵EF⊥BD，
在Rt△DEF中，EG=FD，
∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证明：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于点M，与EF的延长线交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，
在△DAG与△DCG中，
∵，
∴△DAG△DCG（SAS），
∴AG=CG，
又G为DF中点，则DG=FG，
∵∠DAB=∠BEF=90°，
∴AD∥EN，
∴∠ADB=∠DFN，
在△DMG与△FNG中，
∵，
∴△DMG△FNG（ASA），
∴MG=NG，
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵，
∴△AMG△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG；
（3）（1）中的结论仍然成立，还得出EG⊥CG. 探究汽车刹车性能
“道路千万条，安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）.
素材1
刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间.
刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离.
素材2
汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：
刹车后汽车行驶时间x（s）
0
1
2
刹车后汽车行驶距离y（m）
0
27
48
素材3
该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）之间具有函数关系y=ax2+bx（a≠0、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间x的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止.