第十四章 全等三角形 -同步练习- 2025-2026学年人教版八年级数学上册(有答案）

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第十四章 全等三角形 一、单选题1．下列各组图形中是全等图形的是（   ）A．B．C．D．2．已知，则的度数是（   ）A．B．C．D．3．如图所示，，，，则的长是（    ）A．5B．4C．2D．14．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去5．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（   ）A．24B．27C．40D．336．如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的大小是（ ）A．B．C．D．7．如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ）A．1B．2C．3D．48．在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（   ）A．PB．AC．ND．M9．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ）A．B．C．D．10．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论不正确的是（   ）A．B．C．平分D．二、填空题11．如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是 ．12．图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则 ．13．如图，在中，平分，是的中线，若的面积是10，，，则的面积是 ．14．如图，的两个外角的平分线，交于点于点．若，则的周长是 ．15．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等．三、解答题16．如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点E，连接．  (1)说明与的关系并证明；(2)求的度数．17．已知，如图，在中，是的高，若．(1)用尺规作的平分线交于（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求的度数．18．如图，在中，平分，于点E，点F在上，．(1)求证：．(2)若，求的长．19．池塘两端，的距离无法直接测量，八年级（1）班的甲、乙两个数学小组开展了课题研究．(1)甲小组的设计方案是：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由：(2)请你代表乙小组设计一个测量方案，写出测量方案并画出测量方案示意图，不用证明方案的可行性．20．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E．(1)如图1，求证：①；②；(2)如图2，求证：；(3)如图3，直接写出线段之间的数量关系．参考答案1．B【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握全等图形的概念是解题的关键；因此此题可根据全等图形的概念“能够完全重合的两个图形”进行排除选项即可．【详解】解：选项中是全等图形的只有B选项，A、C、D都不是全等图形；故选B．2．C【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理应用，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，得到的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．故选：C．3．B【分析】本题主要考查了全等三角形对应边相等的性质．根据全等三角形的性质，可知，进而得出，再根据已知条件即可得出的长．【详解】解：，，，，，．故选：B．4．C【分析】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以这块不行；第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．故选：C．5．C【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．O点作于E，于F，连接，如图，根据角平分线的性质得，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积．【详解】解：过O点作于E，于F，连接，如图，∵平分，∴，同理可得，∴，的周长是20，∴．故选：C．6．B【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握．根据全等三角形的性质和三角形内角和作答即可．【详解】解：如图的两个全等三角形，是边、的夹角，．故选：．7．B【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理；过点作，由垂线段最短得取得最小值，由角平分线的性质定理得，即可求解．【详解】解：过点作，此时取得最小值，，，，，平分，，的最小值为，故选：B．8．D【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【详解】解：由图形可知，点M在的角平分线上，点A、P、N不在的角平分线上，所以点M到两边距离相等，故选：D．9．A【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标．【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴，则，∴，∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，∴，，，∴，由题意可知，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴点的坐标为，故选：A．10．C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可判断B；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断A；过点分别作，垂足分别为，，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断C；再根据对顶角和角平分线的性质可判断D．【详解】解：，，即，，，，，，故B正确；设和交于点，，，即，故A正确；过点分别作，垂足分别为，，如图，，，平分，故C错误；∵，∴，又∵平分，∴，故D正确；故选：C．11．【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出，根据推出即可．【详解】解：需添加的条件是：，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故答案为：．12．36【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案．【详解】解：∵O是和的中点，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴．故答案为：36．13．32【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质、中线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．作于点F，于点H，由平分，得，由是的中线，的面积是10，得，所以，而，且，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点F，于点H，∵平分，∴，∵是的中线，的面积是10，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：32．14．13【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线性质得到点P到各边的距离相等，再结合面积公式求出边长，进而计算周长．【详解】解：过点作于，于，∵、是的外角平分线，，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）．由，即，解得．由得代入，得化简得．∴的周长为．故答案为：．15．2或或12【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键．分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上，由题意得，，，∵，，，，∵，，，，，当时，则，∴，解得：．②如图2，当点P与点Q重合时，由题意得，，，∵，，，，当，则，，解得：．③如图3，当Q与A重合时，由题意得，，∵，，，，∴，当，则，即，解得：．当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．故答案为：2或或12．16．(1)，，证明见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和的性质，角平分线的判定定理，解题的关键是证明平分．（1）证明，得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和的性质，证明，即可得答案；（2）过点O作于点M，于点N，根据全等三角形的面积相等，证明，得平分，即可得答案．【详解】（1）解：如下图，线段、相交于点F，  和都是等腰三角形，，，，，即，在与中，，，，，，，，，；（2）过点O作于点M，于点N，  ，，，，平分，，，，．17．(1)图见详解；(2)．【分析】本题考查角平分线的作图以及三角形内角和，熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键．（1）利用基本作图作平分；（2）先利用三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵为高，∴，∴，∴．18．(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；（1）证明得到．（2）由得到，再证明，得到，最后根据列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵于点E，∴，，∵平分，∴，∵,∴，∴．（2）解：，，∵，∴，∴．∵，∴，，，，解得：．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；（1）利用证明即可；（2）先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，因为当，，且对顶角，所以可利用证明，即可设计方案并画图．【详解】（1）解：可行，理由如下：∵，∴，在和中，∴，∴，∴测量的长即可；（2）设计方案：如图，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．20．(1)①证明见解析；②证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．（1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明；（2）同（1）思路证明即可；（3）同（2）思路求解．【详解】（1）证明：①，，，，，，，，；②由①知，，，．（2）证明：，，，，，，，，，，，．（3）解：，理由如下：，，，，，，，，，，，．题号12345678910答案BCBCCBBDAC