人教版2024八年级上册数学第14章 全等三角形（单元教学设计）

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第十四章 全等三角形 大单元教学设计大单元主题背景分析（教材分析）教材地位与作用全等三角形是初中数学 “图形与几何” 领域的重要内容，承接了三角形的基本概念和性质，是后续学习四边形、相似三角形等知识的基础.通过对全等三角形的学习，学生能够深入理解图形的性质和判定方法，体会数学中的逻辑推理和证明过程，为进一步学习几何知识奠定坚实的基础.同时，全等三角形在实际生活中也有广泛的应用，如建筑设计、测量等领域，能够帮助学生将数学知识与实际生活紧密联系起来，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.新课标衔接与核心素养2022 版初中数学新课标强调以核心素养为导向，致力于培养学生 “三会”，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.在全等三角形这一单元的教学中，通过观察、操作、实验等活动，引导学生发现全等三角形的特征和判定方法，培养学生的几何直观和抽象能力，发展学生用数学眼光观察世界的素养；在证明全等三角形的过程中，引导学生进行逻辑推理和演绎证明，培养学生的推理能力，提升学生用数学思维思考世界的素养；要求学生用规范的数学语言书写证明过程，阐述全等三角形的性质和判定依据，培养学生用数学语言表达世界的素养.此外，通过解决与全等三角形相关的实际问题，培养学生的应用意识和创新意识，落实新课标对学生核心素养的培养要求.学情分析学生在之前已经学习了三角形的基本概念、分类以及一些简单的性质，对三角形有了一定的认识和理解，具备了初步的几何思维和空间观念.但对于全等三角形这种特殊的三角形关系，学生需要进一步深入探究其本质特征和判定方法.八年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观、生动的教学活动比较感兴趣，但在逻辑推理和抽象概括方面还需要进一步加强训练.在学习过程中，部分学生可能在理解全等三角形的判定条件以及进行证明时会遇到困难，需要教师给予更多的引导和帮助.单元教学目标知识与技能1.学生能够理解全等三角形的概念，准确识别全等三角形中的对应边和对应角.​2.熟练掌握全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等，对应角相等.​3.经历探索三角形全等判定方法的过程，掌握 “边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）以及 “斜边、直角边”（HL）等判定定理，并能运用这些定理进行简单的证明和计算.4.能够用尺规作图的方法，如作一个角等于已知角、已知三边作三角形、已知两边及夹角作三角形、已知两角及夹边作三角形、作已知角的平分线等，并理解尺规作图的原理.​5.理解角平分线的性质和判定定理，并能运用它们解决相关问题.数学思考1.通过对全等三角形概念、性质和判定方法的探究，培养学生的抽象思维能力，让学生学会从具体的图形中抽象出数学概念和规律.​2.在证明全等三角形的过程中，引导学生进行有条理的思考和逻辑推理，培养学生的演绎推理能力，使学生能够清晰、准确地表达自己的推理过程.​3.鼓励学生在解决问题的过程中尝试不同的方法和思路，培养学生的创新思维能力，提高学生分析问题和解决问题的灵活性.问题解决1.能够从实际问题中抽象出全等三角形的数学模型，运用全等三角形的知识解决实际生活中的测量、设计等问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.​2.经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，培养学生的问题意识和自主探究能力，让学生学会与他人合作交流，共同解决问题.​3.通过对一些复杂问题的探究，培养学生的综合运用知识的能力，使学生能够将全等三角形的知识与其他数学知识有机结合起来，灵活运用.情感态度1.通过丰富多彩的教学活动，激发学生学习数学的兴趣，让学生在探索全等三角形奥秘的过程中体验到成功的喜悦，增强学生学习数学的自信心.​2.培养学生严谨认真的学习态度和科学精神，使学生在证明和计算过程中做到步步有据，养成良好的学习习惯.​3.在合作学习中，培养学生的团队协作精神和交流能力，让学生学会欣赏他人，尊重他人的意见和想法.学习活动设计活动一全等三角形及其性质活动二全等三角形的判定活动三尺规作图活动四角的平分线的性质和判定学习评价设计过程性评价课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度，包括是否积极回答问题、主动参与小组讨论、提出有价值的观点等.对于积极参与课堂活动的学生给予及时的肯定和表扬，对于参与度不高的学生要了解原因，鼓励他们积极参与.​作业评价：认真批改学生的作业，对作业的完成情况进行评价，包括作业的正确性、规范性、完整性等方面.对于作业完成优秀的学生进行展示和表扬，对于作业中存在的问题及时反馈给学生，要求他们认真订正，并进行个别辅导.​小组活动评价：在小组活动中，观察学生的团队协作能力、沟通能力和解决问题的能力.对小组活动的成果进行评价，包括小组讨论的深度、方案的合理性、展示的效果等方面.同时，引导学生进行小组内的自我评价和互评，促进学生共同进步.​课堂小测验：定期进行课堂小测验，检测学生对所学知识的掌握情况.小测验的题目要涵盖本节课的重点和难点内容，题型要多样化，包括选择题、填空题、解答题等.通过小测验，及时了解学生的学习情况，发现学生存在的问题，调整教学策略.终结性评价单元测试：在本单元教学结束后，进行一次全面的单元测试.测试内容要覆盖本单元的所有知识点，包括全等三角形的概念、性质、判定方法、尺规作图、角平分线的性质和判定等.题型要多样化，既有考查基础知识的选择题、填空题，又有考查综合运用能力的解答题和证明题.通过单元测试，全面了解学生对本单元知识的掌握程度和运用能力，对学生的学习成果进行量化评价.​项目式学习评价：布置一个与全等三角形相关的项目式学习任务，如让学生设计一个利用全等三角形原理进行测量的方案，并实际进行测量和验证.对学生的项目式学习成果进行评价，包括方案的创新性、可行性、测量数据的准确性、报告的完整性和规范性等方面.通过项目式学习评价，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力、创新能力和实践能力.反思性教学改进在教学过程中，要关注学生的个体差异，对于学习困难的学生要给予更多的关注和帮助，采取个别辅导、小组互助等方式，让每个学生都能跟上教学进度，掌握所学知识.​加强对学生逻辑推理能力的培养，在证明全等三角形的教学中，要注重引导学生分析证明思路，规范证明过程的书写.可以通过让学生多做一些证明题，进行针对性的训练，提高学生的逻辑推理能力和证明水平.​进一步优化教学方法和教学手段，采用多媒体教学、实物演示等多种方式，让教学更加生动形象，激发学生的学习兴趣.同时，要加强与实际生活的联系，让学生感受到数学的实用性，提高学生学习数学的积极性.​在评价方面，要进一步完善评价体系，不仅要关注学生的学习结果，还要关注学生的学习过程.增加评价的多元化，除了教师评价外，要更多地引导学生进行自我评价和互评，让学生在评价过程中不断反思自己的学习，提高学习效果.​单元教学结构图教学设计活动一全等三角形及其性质情境引入思考：观察下面各组图形，说说他们有什么共同特点.追问：他们能完全重合吗?师生活动：学生观察图片，找到相同的地方，举手回答.设计意图：通过观察图片，引出全等的概念.探究新知全等形：能够完全重合的两个图形称为全等形.性质：全等形的形状和大小都相同.思考：以下四组图形是不是全等形？平移，翻折，旋转前后的图形完全重合，是全等形.全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的对应元素:把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 注意：对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.写全等三角形时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.师生活动：理解全等三角形的概念和性质，举手回答全等三角形的对应边和对应角.设计意图：帮助学生理解对应的含义，过关全等三角形的对应边和对应角的识别和书写例1.指出下图中两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.思考：寻找对应边、对应角有什么规律?确定全等三角形对应元素的方法①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次相接.（1)根据书写规范，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，故可按照对应顶点的位置确定对应元素．如：△ABC≅△DEF，则AB和DE，AC和DF，BC和EF是对应边，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．(2)图形位置法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角．(3)图形大小法：最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角； 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角．全等三角形的几何语言例2.如图,△AEC≅△ADB,点E和点D是对应顶点.(1)写出它们的对应边和对应角；(2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度数.解：（1） 对应边：AB 和 AC，AD 和 AE，BD 和 CE.对应角：∠A 和 ∠A，∠ABD 和 ∠ACE，∠ADB 和 ∠AEC．（2）∵△AEC ≌ △ADB，∴∠ACE = ∠ABD = 39°． 在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180°， 即∠A +∠ABD +∠1 +∠2 +∠ACE = 180°． 又∵∠1=∠2， ∴ 50°+ 39°+ 2∠1 + 39°= 180°，解得∠1 = 26°．例3. 已知：如图，△ABC ≌△DEF.（1）若DF =10 cm，则AC 的长为 ；（2）若∠A =100°，则∠D 的度数为 ；答案：10 cm； 100°设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握知识的应用，同时培养学生主动思考问题的能力、运用知解决问题的素养.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.常见的全等三角形重要模型总结师生活动：共同回顾和总结全等三角形的摆放方式，学生板演全等三角形可能的图形.设计意图：归纳常见的全等模型，让学生熟悉图形的位置关系，积累全等三角形图形识别的经验.活动二全等三角形的判定情境引入思考：学校举行艺术节，为了装扮会场，需要一定数量的用纸折成的玫瑰花，这些玫瑰花是有一些相同的三角形纸片折叠而成，为了准备这些三角形纸片，老师应该提供哪些数据才能保证所有同学剪裁的三角形纸片全等呢？探究新知只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？①只给一条边：②只给一个角：思考：只给两个条件画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？【两个条件有三种情况：①一边一角；②两个角；③两边】①一边一角：三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；②两个角：三角形的两个内角分别为30°和 50°；③两边：三角形的两条边分别为4cm，6cm.归纳：综合以上可知，给定一个条件和两个条件都不能确定唯一的三角形.师生活动：在既定条件下呼出对应图形，和同桌的进行对比，观察所画图形是否全等.设计意图：通过画图，让学生得出结论两个条件不等判定三角形全等.思考：如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？追问：两边一角分为哪几种情况？一种情况是角夹在两条边的中间 ，形成两边夹一角另一种情况是角不夹在两边的中间 ，形成两边一对角思考：如图,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.你画的三角形与同伴画的一定全等吗？师生活动：列举给出条件两边一角能有几种情况，学生在给定条件下画三角形，和其他同学的进行对比，并观察所画的三角形是否全等.设计意图：通过动手实践，得到“边角边”判定两个三角形全等的事实.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.几何语言： 特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形.师生活动：在教师的指引下，写出全等三角形判定的几何语言和格式规范.设计意图：掌握SAS判定三角形全等几何语言的写法.例1.已知:AD=AB，AC平分∠BAD ，证明:∠B=∠D.教师说明：AC既是△ABC的边，又是△ADC的边.我们称它为这两个三角形的公共边.例2.如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连结BE. 求证：△DEB≌△ABC．思考：根据之前讲解的作图步骤，请同学们作出以下三角形：两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°.你画的三角形与同伴画的一定全等吗？为什么会出现这样的情况？结论：两边分别相等且其中一组等边的对角也相等，两个三角形不一定全等.设计意图：帮助学生理解SSA不能证明全等.例3.下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是 (　　)A. AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB. AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC. BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD. BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF例4.如图所示，在湖的两岸点A，B之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案．(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤；(3)计算点A，B之间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)．设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握知识的应用，同时培养学生主动思考问题的能力、运用知解决问题的素养.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.思考：两角一边分为哪几种情况？一种情况是边夹在两角的中间 ，形成两角夹一边；另一种情况是边不夹在两角的中间 ，形成两角一对边追问：作图，三角形的两个内角分别是60°和80°，其中60°角和80°角和所夹的边为2cm.你画的三角形与同伴画的一定全等吗？师生活动：，学生在给定条件下画三角形，和其他同学的进行对比，并观察所画的三角形是否全等.设计意图：通过动手实践，得到“角边角”判定两个三角形全等的事实.基本事实：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.几何语言：师生活动：在教师的指引下，写出全等三角形判定的几何语言和格式规范.设计意图：掌握ASA判定三角形全等几何语言的写法.例5.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，试说明：△ADE≌△CFE. 思考：作图，三角形的两个内角分别是60°和80°，其中80°角所对的边为2cm.你画的三角形与同伴画的一定全等吗？教师：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等.基本事实：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.几何语言：师生活动：在教师的指引下，写出全等三角形判定的几何语言和格式规范.设计意图：掌握AAS判定三角形全等几何语言的写法.例6.如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F.试说明：BC＝DF.思考：“ASA”和'AAS”两种判定全等的方法有何区别与联系？师生活动：学生板演解题过程，教师订正.设计意图：通过几个例题的讲解，区分并掌握AAS和ASA判定三角形全等的异同.例7.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.(1)试说明：MN＝AM＋BN；(2)如图②，若过点C作直线l与线段AB相交，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N（AM＞BN），(1)中的结论是否仍然成立？说明理由． 思考：如图，直观上，AB,BC,CA的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A’B’C’与△ABC中，如果A’B’=AB,B’C’=BC,C’A’=CA，那么△A’B’C’≌△ABC.这个判断正确吗？教师讲解：如图，由A’B’=AB可知，如果使点A’与点A重合，点B’在射线AB上，那么点B’与点B重合.另外，使点C’落在直线AB的含有点C的一侧.由于点C是以A为圆心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC为半径的圆的交点，点C’是以A’为圆心、A’C’为半径的圆和以点B’为圆心、B’C’为半径的圆的交点.所以由B’C’=BC,C’A’=CA可知点C’与点C重合.这样，△A’B’C’的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A’B’C’与△ABC能够完全重合，因此，△A’B’C’≌△ABC.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．简记为SSS. (或边边边)．几何语言：师生活动：在教师的指引下，写出全等三角形判定的几何语言和格式规范.设计意图：掌握SSS判定三角形全等几何语言的写法.例8.已知：如图，AB = AE，AC = AD，BD = CE.求证：△ABC≌△AED.例9.已知: 如图，AC=AD ,BC=BD. 求证: ∠C＝∠D.思考：通过学习“边边边”判定三角形全等，你能解释三角形的稳定性吗？利用以上事实，可以说明我们曾经做过的实验的结果：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具有稳定性.设计意图：通过全等三角形的学习，解释前面的知识，形成知识闭环.思考：上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形.如图，已知三条线段a,b,c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其三边分别为a,b,c.作法： (1) 作线段AB=c；(2)分别以点 A,B为圆心，线段b,a为半径作弧，两弧相交于点 C；(3)连接AC,BC,则△ABC就是所作的三角形 ．例10.在如图所示的三角形钢架中，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC.思考：三角分别相等的两个三角形全等吗？已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，请你画出这个三角形，并与同桌的进行比较，观察你们画出的三角形是否全等.结论：不一定全等.师生活动：给定三个角的情况下画图，学生进行对比，得出结论.设计意图：理解三个角不等判定三角形全等，为九年级学习相似三角形做铺垫.思考：1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？4. 两个直角三角形中，直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？5. 如图，已知 AC = A’C’，AB= A’B’，∠C = ∠C’=90°，△ABC≌△DEF 吗？教师提示：我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理.我们可以通过画图试试看.探究：已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.追问：你画的三角形与同伴画的一定全等吗？步骤:1.画一条线段AB,使它等于2cm ;2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺);3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;4.连结BC.△ABC即为所求. 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C,∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM′>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB,可知点A′与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.师生活动：按照要求画图，学生进行对比所画直角三角形，得出结论.设计意图：理解直角三角形中，给定直角边和斜边，事实上是可以确定直角三角形的形状和大小的，即所画直角三角形是全等的.基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：例11.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：BC = AD.例12.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长．设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握知识的应用，同时培养学生主动思考问题的能力、运用知解决问题的素养.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.活动三三尺规作图思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素.我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢?如图，已知：∠AOB．利用直尺和圆规求作：∠A′O′B′ =∠AOB．追问：解决这个问题的关键是什么？提示：这里的直尺指的是无刻度的直尺，也就是说，利用直尺只能用来连线，并不能用来测量线段的长度.圆规的作用是量取相等长度的线段.解答：解决这个问题的关键就是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小.追问：能够利用学过的全等三角形的知识来解决这个问题？对于一个三角形,其三条边、三个角是确定的,如果能将∠AOB“放在”某个三角形中,作为其一个角,而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形,那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB.进而再作出与这个三角形全等的三角形,根据全等三角形的性质,∠AOB的对应角就是要求作的角. 显然，这样的三角形是容易作出的.如图在∠AOB的边OA,OB上分别取点C,D,连接C,D,得到△COD,∠AOB就是△COD的一个内角.再作出△C′O′D′,△C′O′D′≌△COD,∠C′O′D′=∠COD=∠AOB. 由此我们得到作一个角∠A′O'B'等于已知角∠AOB的方法.作法：(1) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D；(2) 画一条射线 O′A′，以点 O′ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′；(3) 以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 (2) 步中所画的弧交于点 D′；(4) 过点 D′ 画射线 O′B′，则∠A′O′B′ =∠AOB．追问：你能证明以上作图的正确性吗？师生活动：根据老师的步骤提示，学生动手实践，遇到问题积极和同学讨论，交流可能出现的问题，教师统一讲评注意事项.学生思考该步骤的正确性，结合全等三角形的判定给出证明方法.设计意图：动过动手实践.理解作一个角等于已知角的尺规作图，同时理解其背后的证明依据.例1.如图,已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 解：(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E;(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB;(3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD//AB.例2.已知： ∠α ， ∠β，线段c.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β ，AB=c 作法：(1) 作∠DAF=∠α；(2) 在射线AF上截取线段AB=c； (3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C，则△ABC就是所求作的三角形.师生活动：学生板演作图过程，通过例题再次熟悉作图过程和原理.设计意图：通过作一个角等于已知角与一反三，培养学生的类比能力.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.活动四角的平分线的性质和判定情境引入思考：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 探究新知追问：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.追问1：为什么要以适当长为半径画弧线？以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.追问2：为什么要以大于 1/2 MN 的长为半径画弧？是因为小于 1/2MN的长为半径画弧时两弧没有交点， 等于 1/2 MN的长为半径画弧时不容易操作.追问3：两弧交点在什么位置？应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.追问4：第（3）步能否说成“连接OC”？“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.师生活动：教师演示角的平分线的尺规作图方法，学生模仿作图，思考并回答问题.设计意图：通过问题串的形式，让学生在回答问题的过程中掌握作图方法.如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.根据以上测量，你能得到什么猜想？猜想：PD=PE追问：能否根据全等的知识来证明上述结论？性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：(1) 点在角的平分线上；(2) 到角两边的距离(垂直).定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD = PE.证明几何命题的一般步骤（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.注意：（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.师生活动：学生测量线段的长度，得出结论并证明，掌握其作用和应用格式.设计意图：通过动手实践角的平分线的性质定理的结论，培养学生的实践能力.应用新知例1.判断下列命题是否正确： ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.（OC不是∠AOB的平分线）.（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.例2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC.例3.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 证明：过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D， 作PF⊥AC于点F， ∵BM、CN分别平分∠ABC、∠ACB ∴PD=PF 由于三角形三条角平分线交于一点 故点P也在∠A的平分线上 ∴PD=PF=PE ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握角的平分线的性质的应用，同时培养学生主动思考问题的能力、运用知解决问题的素养.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.追问：利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角的平分线上.应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.思考：角的平分线的性质与判定定理有何关系？师生活动：学生通过对比学习，得出结论并证明，掌握其作用和应用格式.设计意图：在学习完角的平分线的性质定理后，逆向思考角的平分线的判定，培养学生的思维能力.思考：画出三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？归纳：三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示.例4.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.例5.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握角的平分线的判定的应用，同时培养学生主动思考问题的能力、运用知解决问题的素养.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.课堂小结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.本节课你学到了什么？什么是全等形？全等三角形有何性质？如何书写？全等三角形的判定方法有几种？你会写规范的数学语言吗？本章涉及到的尺规作图有哪些？你还记得步骤吗？角的平分线的性质和判定分别是什么？它们有何区别？设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.由教师引导，学生进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化、条理化.当堂练习1. 下列说法正确的是(　　)A. 两个面积相等的图形一定是全等形B. 两个长方形是全等形C. 两个全等图形的形状一定相同D. 两个正方形一定是全等形2.在△ABC中，∠B = ∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与100°角对应相等的角是（ ）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C3.如图，△OCA ≌△OBD，点C 和点B，点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ ）A． ∠COA =∠BOD B． ∠A =∠D C． CA =BD D． OB =OA 4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OE＝OF，则图中全等的三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5. 如图，AB＝CD，AD＝BC，则下列结论： ①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD ≌△CDB；④ BA∥DC. 正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)A．SSS　 B．ASA C．SSA　 D．HL7.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）.A. ∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C. AB＝3，BC＝4，CA＝1D. ∠C＝90°，AB＝68.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C，点D在OB上.OD=6,△POD的面积为9，则PC的长为（ ）A.3 B.6 C.8 D.99.如图，DA⊥AC,DE⊥BC,若AD=5cm,DE=5cm，∠ACB=58°，则∠DCE=（ ）A.26° B.29° C.58° D.32°10.如图，在△ABC 和△FED中，AC = FD，BC = ED，利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是_______.11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N，再分别以M,N为圆心，以大于1/2MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD=3,AB=8,则△ABD的面积是 .12.如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；（2）求线段 NM 及 HG 的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由.13.如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC， ∠B =∠C，求证：AD = AE.14.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.证明：∠A＝∠D.15.如图，AD＝BC，AC＝BD. 求证：∠C＝∠D.16.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.17. 已知：直角，线段a，b.求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b.18.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14.(1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)；(2) 求△PDB 的周长.19.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.师生活动：学生做练习，教师订正答案.设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点.单元作业设计基础达标1．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案．【详解】解：如图所示：在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个，故选：B．2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查三角形全等的判定；根据即可解答．【详解】解：由图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合．故选：D．3．如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ）A．4B．5C．6D．3【答案】A【分析】本题考查垂线段的性质，角平分线的性质定理．由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值，平分，，，的最小值为4，故选A．4．如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴；故选项A正确；∵，∴；故选项B正确；∴，∴；故选项D正确；在中，为斜边，∴，∴；故选项C错误；故选：C．5．如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧C．以点E为圆心，为半径的弧D．以点E为圆心，为半径的弧【答案】D【分析】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．根据作一个角等于已知角的步骤即可得．【详解】解：作图痕迹中，弧是以点E为圆心，为半径的弧．故选：D．6．如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：D．7．用尺规作已知角的角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到识别全等三角形的方法是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，根据题意作出图形，再连接，，根据证明，即可推出本题的答案．【详解】解：连接，，∵，， ，∴，∴，故选：D．8．如图，，添加一个条件 ，使．（不添加辅助线和点）【答案】或或【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案．【详解】解：如图所示：与有公共边，，当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；故答案为：或或．9．如图，在中，，，，若，则 度．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角为，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．【详解】解：在中，，，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．10．如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为 ．【答案】3【分析】本题考查了角平分线性质和直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质．利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件中，推导中边上的高与的关系，从而求解．【详解】解：过点D作于E，，，平分，，，，即中边上的高为3．故答案为：3．11．如图，B，D，E，C四点共线，且，若，则 ．【答案】20【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：，，， B，D，E，C四点共线，，，故答案为：20．12．如图，，，求证：(1)．(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用全等三角形判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质得出，再根据内错角相等，两直线平行即可证明．【详解】（1）证明：在和中CB=ADAB=CDAC=CA∴△ACB≌△CADSSS；（2）证明：由（1）得，，∴，∴．13．如图，在中，，平分交于点，过点作于，为上一点，且，连接，试说明：．【答案】见解析【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的性质．由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再证，即可证明．【详解】证明：，，又，平分，，在和中，，，．14．如图，，，且，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌Rt△ADE是解题的关键．由BA⊥AC，DA⊥AE，得，而BC=DE，AB=AD，即可根据“”证明≌Rt△ADE，则．【详解】证明：∵BA⊥AC，DA⊥AE，，在和中，BC=DEAB=AD，≌Rt△ADE（HL），∴∠C=∠E．15．如图，，，，求证：．【答案】见解析【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明，则．本题考查了全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．【详解】证明：，，，在和中，，．16．如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使得点，，在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端的视线与居民楼顶墙的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度．【答案】该居民楼的高度为28米【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据以及可以推出，从而得到，进而计算出即可．【详解】解：由题意可知：，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，又米，米，∴（米），∴米，答：该居民楼的高度为28米．17．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G．(1)试说明：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．（1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则；（2）由，，得，则．【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，，∴，，∴，∴的度数是．18．如图，已知是等腰三角形，，且．请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】根据，，得到．结合，得，即作的平分线即可．本题考查了等腰三角形的性质，角的平分线的基本作图，熟练掌握性质和基本作图是解题的关键．【详解】解：根据，，得到．结合，得，即作的平分线，作图如下：点即为所求．19．如图，在中，，，于，于，，，求的长．  【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，得到，，利用，计算即可．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∴．又∵，，∴．∴，．∴．能力提升1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．【答案】/105度【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图，在和中，，∴（），∴，∵，∴，又∵，∴，故答案为：．2．在中，，，直线经过点，，，垂足分别为．(1)如图（）， 求证：；(2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)仍然成立，理由见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．（）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论；（）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）解：仍然成立，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．3．如图，已知中，，，一直线m过的顶点C．过点A作，过点B作，垂足分别为E，F．(1)试说明：；(2)请直接写出之间的数量关系__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）根据，，，可得，，结合，可证；（2）根据全等三角形对应边相等，可得，，进而可得．【详解】（1）证明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：由（1）得，，，，故答案为：，4．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，．(1)试说明：；(2)试说明与的关系？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)且，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识．（1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出；（2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴，则，∵，∴，则，∴，在和中，，∴；（2）解：且，理由如下：由（1）知，∴，，∵，∴，则，∴，即，∴．素养挑战1．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ．【答案】①②④【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：在中，，∴，∵分别平分、，∴，∴，∴，故结论①正确；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，故结论②正确；∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的外角，∴，∴，故结论③错误；又∵，∴，即，故结论④正确，∴正确的是①②④个．故答案为：①②④．2．【问题呈现】（1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____．【知识应用】（2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析．【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据角平分线的性质即可得出答案；（2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出答案；（3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，进而得到，再证明，得到，即可得出结论．【详解】解：（1）∵是的平分线，，，∴，故答案为：；（2）∵平分，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴；（3）过点作，交的延长线于点，如图：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴．3．【模型建立】（1）如图1，在与中，，，，试说明：；【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点，过点作于点．①求的度数；②若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）① ；② 4【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）由，得，根据可证；（2）①同（1）可证，推出，通过导角可得；②证明，可得．【详解】（1）证明：，，即，在与中，，；（2）解：①，，即，在与中，，，，，；②，，点为中点，，在与中，，，．4．如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．(1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，①与是否全等，请说明理由：②判断线段和线段的关系，并证明你的结论．(2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①，理由见解析；②线段和线段长度相等，且互相垂直(2)或【分析】本题考查的是动态几何，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）①根据题中条件，利用“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”判定；②由可推出线段和线段长度相等，进一步可推出线段和线段互相垂直；（2）根据，确定若与全等，则需满足或，再列方程组求解即可．【详解】（1）①，理由如下：，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，，，，，．②线段和线段长度相等，且互相垂直，理由如下：，，，，，，线段和线段长度相等，且互相垂直．（2）由题知，，，，，，，若与全等，则需满足或，即或，解得或，当时，；或当时，．5．在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接．(1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________；(2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系；(3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】(1)4(2)(3)成立，见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）证明，得到，即可解答；（2）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可．（3）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可．【详解】（1）∵是的角平分线，∴，∵,∴在和中：∠ABD=∠CBDBD=BD∠AEB=∠CEB，∴，∴，∴；故答案为：；（2），理由如下：∵是的角平分线，∴，∵,∴，在和中：∠ABD=∠CBDBE=BE∠AEB=∠FEB，∴，∴，，∴，∵，∴S△ABC−2S△FCE=2S△BCE−S△FCE，∴；（3）成立，理由如下：延长、交于点，如图所示：由（2）同理可证：，∴，，∴，∵，∴S△ABC+2S△FCE=2S△BCE+S△FCE，∴．6．如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H．(1)求证：；(2)请你判断并与之间的数量关系，并证明；(3)如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)（2）中所得结论成立，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答；（2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答；（3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答．【详解】（1）证明：∵是直角，，∴，∵分别是的平分线，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：，证明如下：如图，连接，∵分别是的平分线，∴也是角平分线，∵，，∴，由（1）得：，∵，∴，∴；（3）解：（2）中所得结论成立，证明如下：如图，过点F作于M．作于N，连接，∵分别是的平分线，∴也是角平分线，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形．7．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系．（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系；（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：的数量关系是：，证明如下：∵是的外角，∴，∴，∵，∴，在和中，， ∴；∴，，∴；（3），大小关系是：，理由如下：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，同理可证明：，∴，∴，∵，，∴．