人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课后练习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课后练习题，共7页。试卷主要包含了计算题，化简求值题，应用题，拓展拔高题，填空题等内容，欢迎下载使用。
二、计算题（每题 6 分，共 24 分）
1.(-3a + 2b)2 2.(x + y + 1)2

3.(3y - 2)2−(3y+2)(3y−2) 4.(a + b)2+(a−b)2
三、化简求值题（每题 8 分，共 16 分）
1.已知x + y = 4，x2+y2=10，求xy的值。
2.先化简，再求值：(2x - 3)2−(x+2)(x−2)，其中x = -1。
四、应用题（10 分）
一个正方形桌面的边长为(2a - 1)分米，现要给桌面边缘镶一圈宽 1 分米的木条，求镶木条后新桌面的面积比原桌面大多少平方分米（用含a的式子表示）
五、拓展拔高题（共 35 分）
1.（10 分）已知x2−6x+y2+4y+13=0，求x + y的值.
2.（12 分）规律探究：
观察下列等式：
① (2× 1 + 1)2=(2ח1 - 1)2+8ח1
② (2ח2 + 1)2=(2ח2 - 1)2+8ח2
③ (2ח3 + 1)2=(2ח3 - 1)2+8ח3
……
（1）写出第n个等式（用含n的式子表示）；
（2）证明第n个等式成立。
3.（13 分）已知关于x的方程(x + m)2=n（m、n为常数）：
（1）若n = 4，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若n = -1，方程无实数根，说明理由
完全平方公式（二）
一、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1.直接展开：(2x - 12)2=
2.若9x2+ kx + 1是完全平方式，则k =
3.已知a + b = 6，ab = 4，则a2+b2=
4.化简：(x - 3)2−(x−2)(x+2)=
5.若(2n + 1)2=0，则n =
二、计算题（每题 6 分，共 24 分）
1.(-4x + 3y)2 2.(a - b - 2)2 3.(x + 5)2−(x−5)2
4.(2m + n)2−2(2m+n)(m−n)+(m−n)2
三、化简求值题（每题 8 分，共 16 分）
1.已知a2−5a+1=0，求a2+1a2的值
先化简，再求值：(3x + 1)2−(3x−2)(3x+2)，其中x = 13
四、应用题（10 分）
一个长方形花坛的长为(3x + 4)米，宽为(x - 1)米。现对花坛进行扩建，将长和宽都增加 2 米，求扩建后花坛的面积比原来增加多少平方米（用含x的式子表示）
五、拓展拔高题（共 35 分）
1.（10 分）已知a2+b2+2a−6b+10=0，求ab的值
3.（12 分）规律探究：
观察下列等式：
① 42−12=6ח1 + 9
② 52−22=6ח2 + 9
③ 62−32=6ח3 + 9
……
（1）写出第n个等式（用含n的式子表示）；
（2）证明第n个等式成立
3.（13 分）已知代数式M = (x - 1)2+(y+2)2，N = -5：
（1）判断M与N的大小关系，并说明理由；
（2）若M = (x + a)2+(y−b)2（a、b为常数），且M的最小值为 0，求a + b的可能值
参考答案与解析（一）
19x2+43x+4（解析：(13x)2+2ח13xח2 + 22=19x2+43x+4）
2.±8（解析：16 = 42或(−4)2，故kx = ±2חxח4，得k = ±8）
3.31（解析：a2+b2=(a−b)2+2ab=52+2ח3 = 25 + 6 = 31）
4.4x + 2（解析：(4x2+4x+1)−(4x2−1)=4x+2）
5.2（解析：平方为 0 则底数为 0，m - 2 = 0 ⇒m=2）
二、计算题
1.解：(-3a + 2b)2=(2b−3a)2=(2b)2−2ח2bח3a + (3a)2=4b2−12ab+9a2（或9a2−12ab+4b2）
2.解：(x + y + 1)2=[(x+y)+1]2=(x+y)2+2(x+y)ח1 + 12=x2+2xy+y2+2x+2y+1
3.解：(3y - 2)2−(3y+2)(3y−2)=(9y2−12y+4)−(9y2−4)=9y2−12y+4−9y2+4=−12y+8
4.解：(a + b)2+(a−b)2=(a2+2ab+b2)+(a2−2ab+b2)=2a2+2b2
三、化简求值题
1.解：由x2+y2=(x+y)2−2xy，代入x + y = 4，x2+y2=10：10 = 42−2xy⇒10=16−2xy⇒2xy=6⇒ xy = 3
2.解：化简：(2x - 3)2−(x+2)(x−2)=(4x2−12x+9)−(x2−4)=3x2−12x+13
代入x = -1：3ח(−1)2−12ח(-1) + 13 = 3 + 12 + 13 = 28
四、应用题
解：原桌面面积：(2a - 1)2=4a2−4a+1
新桌面边长：(2a - 1) + 2ח1 = 2a + 1（镶 1 分米宽木条，两边各加 1 分米）
新桌面面积：(2a + 1)2=4a2+4a+1
面积差：(4a2+4a+1)−(4a2−4a+1)=8a
答：大8a平方分米
五、拓展拔高题
1.解：配方：x2−6x+9+y2+4y+4=0⇒(x−3)2+(y+2)2=0
由平方非负性：x - 3 = 0 ⇒x=3；y + 2 = 0 ⇒y=−2
故x + y = 3 + (-2) = 1
2.解：（1）第n个等式：(2n + 1)2=(2n−1)2+8n
（2）证明：左边(2n + 1)2=4n2+4n+1；右边(2n - 1)2+8n=4n2−4n+1+8n=4n2+4n+1
左边 = 右边，等式成立
3.解：（1）当n = 4时，方程为(x + m)2=4，开方得x + m = ±2，即x = -m + 2或x = -m - 2
方程有两个不相等实数根，需-m + 2 ≠-m - 2，恒成立，故m为任意实数
（2）当n = -1时，方程为(x + m)2=−1
因任意实数平方≥0，故(x + m)2不可能等于-1，方程无实数根
参考答案（二）
一、填空题
1.4x2−2x+14（解析：根据(a - b)2=a2−2ab+b2，其中a = 2x，b = 12，则(2x)2−2ח2xח12+(12)2=4x2−2x+14）
2.±6（解析：9x2=(3x)2，1 = 12或(−1)2，完全平方式中间项为±2ח3xח1，即kx = ±6x，故k = ±6）
3.28（解析：利用公式a2+b2=(a+b)2−2ab，代入a + b = 6，ab = 4，得62−2ח4 = 36 - 8 = 28）
4.-6x + 13（解析：先展开完全平方和平方差，(x2−6x+9)−(x2−4)=x2−6x+9−x2+4=−6x+13）
5.−12（解析：平方为 0 则底数为 0，即2n + 1 = 0，解得n = −12）
二、计算题
1.解：根据(a + b)2=a2+2ab+b2，先将(-4x + 3y)2变形为(3y - 4x)2，其中a = 3y，b = 4x
则(3y)2−2ח3yח4x + (4x)2=9y2−24xy+16x2（或16x2−24xy+9y2）
2.解：将(a - b - 2)2变形为[(a - b) - 2]2，利用(m - n)2=m2−2mn+n2（其中m = a - b，n = 2）
则(a - b)2−2ח(a - b)ח2 + 22=(a2−2ab+b2)−4a+4b+4=a2+b2−2ab−4a+4b+4
3.解：逆用平方差公式A2−B2=(A−B)(A+B)，其中A = x + 5，B = x - 5
则(x + 5 - x + 5)(x + 5 + x - 5) = 10ח2x = 20x
4.解：逆用完全平方公式(m - n)2=m2−2mn+n2，其中m = 2m + n，n = m - n
则[(2m + n) - (m - n)]2=(2m+n−m+n)2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2
三、化简求值题
1.解：由a2−5a+1=0，因a ≠0（若a = 0，左边为 1≠0），两边同时除以a得：a - 5 + 1a=0，即a + 1a=5
再利用a2+1a2=(a+1a)2−2，代入a + 1a=5得：52−2=25−2=23
2.解：先化简代数式：(3x + 1)2−(3x−2)(3x+2)=(9x2+6x+1)−(9x2−4)=9x2+6x+1−9x2+4=6x+5
代入x = 13得：6ח13+5=2+5=7
四、应用题
解：先计算原花坛面积：
原面积 = 长 × 宽 = (3x + 4)(x - 1) = 3x2−3x+4x−4=3x2+x−4
扩建后长 = (3x + 4) + 2 = 3x + 6，扩建后宽 = (x - 1) + 2 = x + 1
扩建后面积 = (3x + 6)(x + 1) = 3x2+3x+6x+6=3x2+9x+6
面积增加量 = 扩建后面积 - 原面积 = (3x2+9x+6)−(3x2+x−4)=8x+10
答：扩建后花坛面积比原来增加(8x + 10)平方米
五、拓展拔高题
1.解：对代数式进行拆项配方：a2+2a+1+b2−6b+9=0，即(a + 1)2+(b−3)2=0
因平方数具有非负性（任意实数的平方≥0），故：a + 1 = 0，解得a = -1；b - 3 = 0，解得b = 3
则ab = (-1)ח3 = -3
2.解：（1）观察等式规律，左边为(n + 3)2−n2，右边为6n + 9，故第n个等式为：(n + 3)2−n2=6n+9
（2）证明：左边展开(n + 3)2−n2=(n2+6n+9)−n2=6n+9，与右边相等，故等式成立
3.解：（1）M > N，理由如下：
因(x - 1)2≥ 0，(y + 2)2≥0（平方非负性），故M = (x - 1)2+(y+2)2≥ 0
而N = -5，所以 M > -5，即M > N
（2）由M = (x + a)2+(y−b)2，其最小值为 0（当且仅当x + a = 0且y - b = 0时取到），与M = (x - 1)2+(y+2)2对比可得：a = -1，b = -2（或a、b对应等式结构一致即可）
则a + b = (-1) + (-2) = -3；若考虑代数式等价变形，仅当a = -1且b = -2时M表达式一致，故a + b = -3
（注：核心是根据完全平方结构匹配a = -1，b = -2，故a + b唯一值为-3）