初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线课时训练

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线课时训练，共17页。试卷主要包含了4线段垂直平分线与角平分线，故答案为7等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．6B．8C．9D．10
2．如图，，，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分B．垂直平分
C．垂直平分D．与互相垂直平分
3．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
4．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）

A．3B．4
C．5D．6
7．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ．
12．如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
13．如图，的三边 、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 ．
14．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
15．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ．
16．如图，△ABC的周长为16，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若S△ABC=24，则O到BC的距离为____.
17．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是 ．
18．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是 ．
三、解答题
19．在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．
20．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．
（1）若，的周长为48，求的长；
（2）若，，求的度数．
21．如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点D,E.已知△ADE的周长为13 cm.
(1)求线段BC的长;
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为27 cm,则OA的长为 cm.
22．如图，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC．
（1）如图 1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE 平分∠DAB；
（2）如图 2，若 DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．

23．已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）判断线段与的数量关系，并证明．
24．课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
(1)如图1，已知BG,CG 是△ABC 的角平分线，求证：点G到三边AB,BC,AC 的距离相等；
(2)如图2，BP,CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC ，连接AP ．若∠BAC=60 ，求∠PAC 的度数．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
故选A．
2．【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论
【详解】解：∵，，
∴点A、 B 在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
故选C
3．【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．
根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选D ．
4．【答案】A
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
又∵
，
∴，
故选A．
5．【答案】B
【分析】本题考查尺规作图垂直平分线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．
根据题中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，
是线段的垂直平分线，
，
，
故选B
6．【答案】D
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=4，
∴△ODQ的面积=．
故选D．

7．【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解．
【详解】解：由条件可知，
在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
．
故选C．
8．【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得的度数，用的度数减去的度数，即可得的度数．
【详解】解：∵，，，
∴∠BAC=180°−70°−30°=80°，
∵平分，
∴∠CAF=12∠BAC=80°×12=40°，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴∠FAE=40°−30°=10°．
故选A ．
9．【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则．
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故选D．
10．【答案】C
【分析】根据，，分别平分，，，可以分别设，，，利用三角形内角和定理与外角定理以及平行线的性质分别求出：，，可判断①错误，③正确；利用三角形内角和定理可得出，从而得到，故②正确；然后利用角平分线的性质和判定证明是角平分线，继而可求出，进而求出，从而得到④正确．
【详解】解：如图所示：
∵平分，平分，
∴令，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故①错误；③正确；
∵平分，
∴令，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
过点D作分别交、、于点G、M、N，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
综上可知，正确的有3个，故C正确．
故选C．
11．【答案】13
【分析】首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于D、E两点，
∴，
∴的周长为 .
12．【答案】40
【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
13．【答案】
【分析】过点O作，，分别垂直于，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而可得到三个三角形面积的比值．
【详解】如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E．

∵平分，
∴．
同理，
∴．
∵的三边的长分别为40，50，60，
∴
.
14．【答案】4
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长交于E，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，设的面积为m，于是得到结论．
【详解】解：延长交于E，
∵垂直的平分线于P，，
又知，，
∴在与中，
，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
设的面积为m，
∴，
∴．
15．【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形中线的定义，根据三角形中线的定义可得的长，根据相等垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵点是线段的中点，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长.
16．【答案】3
17．【答案】1
【分析】连接，过点D作交的延长线于点M，由角平分线的性质得，由判定，由全等三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可求解
【详解】解：如图，连接，过点D作交的延长线于点M，
是的平分线，
，，
，
，
在和中，
，
（），
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
（），
，

，
，，
，
．
18．【答案】10
【分析】利用垂直平分线将PC转化成为PB，ABP三点共线的时候也就是P点与D点重合的时候周长最小.
【详解】∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长；
∴APC周长的最小值是6+4=10.
19．【答案】见详解
【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点．
【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图，
20．【答案】（1）14；
（2）.
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，，根据三角形的周长公式进而可得，即可求解；
（2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等边对等角进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
又∵的周长为48，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴.
21．【答案】见详解
【详解】(1)∵OM是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,同理,EA=EC.
∵△ADE的周长为13 cm,∴AD+DE+EA=13 cm,∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=13 cm.
(2)∵△OBC的周长为27 cm,∴OB+OC+BC=27 cm.∵BC=13 cm,∴OB+OC=14 cm.
∵OM垂直平分AB,∴OA=OB,同理,OA=OC,∴OA=OB=OC=14÷2=7(cm).故答案为7.
22．【答案】（1）见详解;（2）见详解.
【分析】（1）延长 DE 交 AB 的延长线于 F，易得AB∥CD，∠CDE＝∠F，又E 是 BC 的中点，可得E 是 BC 的中点，△CDE≌△BFE，可得DE＝FE，由已知DE 平分∠ADC，可得∠CDE＝∠ADE，∠ADE＝∠F，AD＝AF，可得结论.
（2）在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF, 同理可得△CDE≌△FDE，可得CE＝FE，∠CED＝∠FED，又E 是 BC 的中点，可得FE＝BE，可证得∠AEF＝∠AEB，可得
△AEF≌△AEB 可得AF＝AB，AD＝AF+DF＝AB+CD．
【详解】解：（1）如图 1，延长 DE 交 AB 的延长线于 F，

∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E 是 BC 的中点，
∴E 是 BC 的中点，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即 E 为 DF 的中点，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE 平分∠DAB；
（2）如图 2，在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF，

∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE， 又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED， 又∵E 是 BC 的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB， 又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
23．【答案】（1）；
（2），见详解．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）利用四边形内角和求出结果；
（2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线的性质得到，根据，，得到，得到≌，即可求出结果；
【详解】（1）解：
（2）
证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴．
24．【答案】（1）解：如图， 过点G作GH⊥AB,GM⊥BC,GN⊥AC ，垂足分别为H，M，N，
∵BG,CG 是△ABC 的角平分线，
∴GH=GM,GM=GN ，
∴GH=GM=GN ，
即点G到三边AB,BC,AC 的距离相等；
（2）解：如图，过点P作PE⊥BA,PF⊥BD ，垂足分别为点E，F，
∵BP,CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC ，
∴PE=PF,PQ=PF ，
∴PE=PQ ，
∴AP 平分∠CAE ，
∴∠PAC=12∠CAE ，
∵∠BAC=60 ，
∴∠CAE=180−∠BAC=120 ，
∴∠PAC=60 ．