（寒假讲义）新高考数学二轮复习高分突破训练第05讲 数列中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）
典型例题：
例1．设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__．
【答案】，，
【分析】根据题意求出等差数列的首项和公差，写出前项和公式，求出的最小值，再求关于的不等式的解集．
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，
又，所以当或5时，取得最小值，最小值为，
所以取得最大值，最大值为10，由任意的恒成立，所以，
解得或，所以实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
例2．设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得；
（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解.
(1)解：设等比数列的公比为，则，
由，故.
(2)解：，则，整理得，
当为偶数时，，不合乎题意；
当为奇数时，则，可得，可得.
因此，的最大值为.
例3．已知数列和满足，，.
(1)求与；
(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，；(2).
【分析】(1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前n项和公式计算得，再借助前n项和第n项的关系推理计算作答.
(2)由(1)求出，变形给定不等式，再分奇偶讨论计算作答.
(1)依题意，当时，，则
，而满足上式，故有；
，，当时，，
两式相减得：，则，而，满足上式，即有，
所以，.
(2)由(1)知，，
两边同乘-2得：，
两式相减得：，
，由得：，
依题意，对一切，都成立，
当n为正奇数时，，而数列是递增数列，
当时，，则，
当n为正偶数时，，解得，因此，，所以实数的最小值.
例4．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值.
【答案】(1)；(2)2.
【分析】(1)设等差数列公差d，由已知条件求出公差d即可得其通项公式；
(2)采用裂项相消的方法求得，求出的最大值即可.
(1)在等差数列中，设公差为，则，
由已知得，解得，.
(2)由(1)知，，则，
∴，
，∴要使恒成立，只需，解得，∴的最小值为2.
例5．已知是等差数列，满足，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．
【答案】(1)，；(2).
【分析】(1)设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程求解作答.
(2)由(1)的结论求出，利用裂项相消法求出，再借助均值不等式计算作答.
(1)设等差数列的公差为，依题意，，解得，
于是得，，所以数列、的通项公式分别为：，.
(2)由(1)知，，
因此，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为81.
例6．已知公差不为0的等差数列的前项和为， 且
(1)求数列的前项和；
(2)在数列中， ， 且 若对任意的正整数， 不等式 恒成立， 求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题设求得与，即可求得其通项公式；
（2）根据，可得，两式作差，在根据题意，可证明数列为等比数列，进而求得，再根据，可得，对，，三种情况进行分类讨论，解决恒成立问题，即可求出结果.
(1)解：等差数列的公差为，
由，得解得，
所以；
(2)解：由，得，相减得，即．
又，，得，
故对任意成立，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；所以；
将代入，得，即有对任意恒成立．
（ⅰ）当时，成立，所以符合题意-
（ⅱ）当时，由恒成立，即
易知当时，；当时，，故．
所以，且，可解得；
（ⅲ）当时，由恒成立，即由，
可知当时，，即；
当且时，，即，
又当时，，当时，，当时，，
所以．
所以．即且，得，解得；综上，
例7．已知数列的前项和为，数列满足，
(1)求数列与的通项公式；
(2)若，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）首先由与的关系求得数列的通项公式，再以累加法求得数列的通项公式；
（2）以裂项相消法对求和，并求得其最小值即可解决.
(1)数列中，，由，得，
时，，则
则，故数列是首项为1，公比为2的等比数列.则
由，得，
故
(2)由，可得
，
则，当为偶数时，；当为奇数时.
故实数的取值范围为.
例8．已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求数列的任意相邻两项的关系计算作答.
(2)①由(1)及已知求出，再用错位相减法计算得解；②根据给定不等式，分类分离参数，探讨数列单调性即可求解作答.
(1)数列的前项和为，，
，，当时，，两式相减得：，即，
当时，，，即，有，
因此，，，且，
于是得是首项为，公比为的等比数列，则有，
所以数列的通项公式是.
(2)①由(1)及，得，
则，
于是得，
两式相减得：
，所以
②由，得恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立，即，
当时，恒有，此时，数列是递增的，当时，，则有，
当时，恒有，此时，数列是递增的，，恒有成立，则有，综上得，，所以实数的取值范围为.
过关练习：
一、单选题
1．已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【分析】根据给定条件利用等差数列的性质化简，再分析判断求出公差、首项即可计算作答.
【详解】设等差数列的公差为，则，
，，因，即，
显然，否则，矛盾，于是得，又，否则，公差，矛盾，
因此，，解得，而，则公差，，
由得，，于是有等差数列是递减数列，其前5项都是非负的，从第6项起为负，
当或时，，所以的最大值为20.故选：B
2．已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
【答案】C
【分析】根据给定条件求出数列{}的通项，再求出并进行推理计算作答.
【详解】依题意，等比数列{}的通项公式是：，
因此，，
，当时，，即，
当时，，即，数列递减，，
所以取最大值时n为3或4.故选：C
3．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】因为数列满足，，（且）
所以，
，因为恒成立，所以，则M的最小值是，故选：C
4．设为等差数列的前n项和，若，且．则使的n的最小值为（ ）．
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【分析】求得和公差的关系，利用等差数列前项和公式列不等式，由此求得的最小值.
【详解】设等差数列的公差为，，，
由于，，所以，所以，所以的最小值为.
故选：B
5．已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列递推关系利用累加法可知，进而化简的表达式，利用基本不等式计算即得结论.
【详解】由，得
，累加可得，
又，.当，，也满足上式.
所以数列的通项公式为.，
令，在单调递减，在单调递增.
因为.
故选：C.
6．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先求得数列的通项公式，再根据数列的正负项求解.
【详解】因为，，所以，公差，所以，
故在数列中，，，，，均小于0，中其余项均大于0．又因为，，
所以当取得最小值时，的值为6．故选：C．
7．在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合等比数列通项公式可得，进而有，再应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】令公比为，由题设，又，所以，可得或(舍)，由，即，可得，所以，又，则，，当且仅当时等号成立，所以，故当时.故选：C
8．已知数列满足，对任意中存在一项是另外两项之和，且，记数列的则前项和为，则的最小值为（ ）
A．1361 B．1481 C．1681 D．2021
【答案】A
【分析】由题意可知，要使得有最小值，则要尽可能的小，根据题意，利用列举法可知数列从第九项起，是以3为周期的数列，由此即可求出结果.
【详解】因为对任意中存在一项是另外两项之和，所以，
或，或又，所以，要使得有最小值，则要尽可能的小；则根据对任意中存在一项是另外两项之和，且要尽可能的小，
利用列举法可知数列为：，可知数列从第九项起，是以3为周期的数列，
又，所以的最小值为.故选：A.
9．设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断、、的符号即可.
【详解】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，
所以，，
使得的正整数n的最小值为.故选: D.
10．设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．1
【答案】A
【分析】先求出，得到，求出数列的前项和为，解不等式即可求解.
【详解】因为数列的前项和为满足，所以.
当n=1时，；当时，；
经检验，对n=1也成立，所以.所以，
所以数列为首项为1，公差为的等差数列，所以数列的前项和为.
由可得：，解得：（舍去）.所以的最小值为12.故选：A.
11．已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.
【详解】由，则当时，得，
两式相减得，变形可得：，
又，，所以，，
∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.
12．已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据裂项相消法，结合数列的单调性进行求解即可.
【详解】解：，前项和为
，可得为递增数列，且有取得最小值；且，
当为偶数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，
由，可得①
当为奇数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，
由，可得，即②由①②解得．故选：A
二、多选题
13．已知等差数列{}中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BC
【分析】由题设及等差数列的性质可得，结合及数列的单调性，即可确定最大时n的取值.
【详解】由题设，易知：且，所以，即，所以要使前n项和取得最大，只需保证前n项均为非负数，故当或5时，取得最大值.故选：BC
14．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
【答案】ABC
【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；当且时，，
所以，当且时，，当且时，，当且时，.
由题意可知单调递减，所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有， 所以，
由不等式的性质可得，从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.故选：ABC.
15．设等差数列前n项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，n的最小值为29
【答案】BC
【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】由.
A：因为，所以有，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，所以当，或时，取得最小值，故本选项说法正确；
C：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，所以，因此本选项说法正确；
D：因为，所以由，可得：，因此n的最小值为，所以本选项说法不正确，故选：BC
三、填空题
16．已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【分析】根据递推关系，多递推一项再相减，得，进而求出的通项公式，研究数列的单调性，得到前项和的最小值。
【详解】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．故答案为：11
17．在等差数列中，，当取得最小值时，______.
【答案】7
【分析】根据等差中项的性质得到，把化为关于公差的关系式，进而得到时取得最小值，进而求出答案.
【详解】由题意得：，则；，
所以：当时，取得最小值.此时故答案为：7
18．已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】首先利用递推关系式求出数列和的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系，进一步求出参数的范围．
【详解】因为，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
又所以，
所以，又是单调递增数列，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，即当时，恒成立，所以；
又，即，所以．综上，．故答案为：．
19．设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为__．
【答案】或
【分析】利用等差数列前项和公式将转化为关于的一元二次方程，，即可求得的取值范围.
【详解】，由等差数列的求和公式可得，整理得，
由于方程可看作关于的一元二次方程，方程一定有根，故，
整理得，解得，或
故答案为：或.
20．设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是_______
【答案】，
【分析】把已知等式用表示，关于公差的二次方程有实数解，由判别式不小于0可得的范围．
【详解】解：，可得，化为：，
△，，．解得．的取值范围是，．
故答案为：，．
21．设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围为__．
【答案】
【分析】化简，根据已知即得解.
【详解】解：，
又，，．
故答案为：．