（寒假讲义）新高考数学二轮复习高分突破训练第01讲 三角函数的性质与变换（2份，原卷版+解析版）

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1.常见三角函数的值域类型：
（1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域
（2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理
2.正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：；单调减区间：
3.余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间： ； 单调减区间：
4.正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
5.的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。
6.函数图像的平移变换：
（1）：的图像向左平移个单位
（2）：的图像向右平移个单位
（3）：的图像向上平移个单位
（4）：的图像向下平移个单位
7.函数图像的放缩变换：
（1）：的图像横坐标变为原来的
（2）：的图像纵坐标变为原来的倍
典型例题：
例1．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求；
(2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由图象可得、，则可得，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数的解析式；
（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再由的范围得的范围，可得答案.
(1)由最大值可确定，因为，所以，
此时，代入最高点，可得：，
从而，结合，于是当时，，所以.
(2)由题意，，
当时，，则有，所以在区间上的值域为.
例2.已知函数．
(1)若且，求的值；
(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)化简f(x)解析式，根据求值即可；
(2)求出f(x)的最大值b，求出f(x)的单调递增区间，求出与已知区间对应的增区间A，则是区间A的子集.
(1)，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴；
(2)当时，，，∴，
由，，得，，
又∵函数在上单调递增，∴，∴，
∴，∴实数a的最小值是.
例3．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，．
(1)求；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题可得，然后利用正弦定理可得，再利用三角恒等变换及同角关系式即求；（2）利用两角和的正弦公式可化简函数得，，然后利用正弦函数的性质即得.
(1)由A，B，C成等差数列得所以，．
由正弦定理及已知得，所以．
移项，两边平方得，化简整理得．解得或．
又因为，所以．
(2)由（1）可知，所以，，
所以
，∵，∴，∴故的值域为．
例4．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知，若函数在区间[0，]上恰好有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由辅助角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出函数f（x）的单调递增区间；
（2）令，由函数与只有两个交点，结合图象得出a的取值范围.
(1)
由可得，
即函数的单调递增区间为
(2)，，令
函数在区间[0，]上恰好有两个零点函数与只有两个交点
由图象可知，
例5．已知函数，其中常数.
(1)令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.
(2)求出（1）中的对称中心和对称轴.
(3)若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)(2)对称轴：，对称中心：(3)
【分析】（1）由函数图象变换结论求得函数的解析式；
（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；
（3）求条件可得，由此可求的取值范围.
(1)，即.
(2).即对称轴为又.即对称中心为：
(3)当时，，
解得.
又即的取值范围为.
例6．在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.
设函数，且满足___________.
(1)求ω的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）选①，根据题意得到，从而得到，即可得到；选②，根据题意得到，从而得到，即可得到；
（2）根据题意得到，再求解单调区间即可.
(1)选①因为，所以，
若函数在上有且仅有4个零点，则，
即，又，所以；
选②因为，所以，
若函数在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，
则，即，又，所以.
(2)因为，将函数的图象向右平移个单位得到函数，
单调递减区间为，，即，，
因为，所以单调递减区间有，.
过关练习：
1．已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.
【详解】由，可得，因为函数在区间上单调递减，可得且，解得，又由函数的图象过点，可得，即，解得或，当时，可得，所以的值可能为.故选：D.
2．已知函数，当时，取得最大值，且在区间上为减函数，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由当时，取得最大值，求出函数的单调减区间，结合题目所给减区间可解.
【详解】由题意得，当时，取最大值，则当时，取最小值，则的单调减区间为又在上为减函数，则，使得解得，则，故．当时，，则，故的最大值为6．故选：B．
3．将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減 B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称 D．最大值为1，图象关于直线对称
【答案】D
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.
为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；
，，，，函数不单调，故B错误；
的周期为，当时，，故C错误；
g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，
故选：D．
4．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．的图象关于直线对称
D．的单调递减区间是
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】.对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，则的图象关于点成中心对称，B对；
对于C选项，，则的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，由，解得，
即函数的单调递减区间是，故D错.故选：D.
5．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，即可求出，再根据函数过点，代入即可求出，即可可得函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由题意得，，则，∴，∴.∵，∴，又，∴，∴，令，解得，∴的单调递增区间为.故选：C.
6．已知函数，若函数的图象与直线在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，由已知有在上有3个实根，求出对应范围，根据正弦函数的性质求参数范围.
【详解】由，
与直线在上有3个不同交点，即在上有3个实根，
由得：，所以，解得．故选：A．
7．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的图象的对称轴方程为（）
C．的单调递减区间为（）
D．的解集为（）
【答案】D
【分析】由题意，求出函数的解析式，然后根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
【详解】解：对A：因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，故选项A错误；对B：因为，所以，因为，所以，
所以，令（）得（），
即的图象的对称轴方程为（），故选项B错误；
对C：令（）得（），
即的单调递减区间为（），故选项C错误；
对D：令，得，
所以（），解得（），
所以的解集为（），故选项D正确．故选：D．
8．设，若函数的图象关于原点对称，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】，因为函数的图象关于原点对称，所以当时，，，解得：，，因为，所以当时，的最大值.
故选：D
9．已知函数的最大值为M，若存在实数m，n，使得对任意实数x总有成立，则M·|m－n|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两角差为，可以利用诱导公式化简，即可求出最值，利用周期性及对称轴即可得到答案.
【详解】因为所以 M＝2，其最小正周期 ，由题意可知，对应最小值，对应最大值，|m－n|min＝T，∴的最小值为. 故选：B.
10．函数，（，）的部分图象如图所示，若对任意，恒成立，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的解析式，然后利用三角函数的对称中心，列方程，求得的表达式，进而求得的最小正值.
【详解】由图可知，∴，由五点法可得∴，由于，所以令，.
所以.令，由于对任意，恒成立，
所以，即，所以当时，取得最小正值为.故选：D.
11．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】令，则，f(x)和g(x)在上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在，据此可求M＋m，从而求出.
【详解】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，
∴，∴g(x)在上为奇函数，
∴，∴，∴，.
故选：C.
二、多选题
12．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是周期为π的周期函数 B．
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)在区间上单调递减
【答案】AD
【分析】将函数变为，根据其性质可判断每一个选项.
【详解】由，得，故B不正确，，故A正确，，不是最值，故C不正确，函数的减区间所满足的不等式为，解得，所以其单调递减区间为，而，故D正确.故选：AD
13．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
【答案】AB
【分析】根据函数图像易得及函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求得，再根据正弦函数的性质及平移变换逐一分析判断各个选项即可得出答案.
【详解】解：由图可知，，所以，所以，则，
将点代入得：，所以，又，所以，所以，
对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为，为最小值，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为，所以，所以函数在上不单调递减，故C错误；
对于D，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故D错误.
故选：AB.
14.已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．在在单调递增
B．，，
C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象
D．若在上有且仅有两个极值点，则a的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据已知条件求得，然后三角函数函数的单调性、最值、图象变换、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】由于函数的任意两对称轴间的最小距离为，所以的最小正周期为，所以，所以，
，由于的图象关于原点对称，所以，由于，所以.所以.
对于A选项，，所以A选项错误.
对于B选项，，
所以，，，所以B选项正确.
对于C选项，由于，所以C选项错误.
对于D选项，在上有且仅有两个极值点，，
所以，，D选项正确.故选：BD
三、填空题
15．将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】
【分析】求出f(x)平移后的解析式，根据它是偶函数可求的值.
【详解】将函数的图像向右平移个单位变为，要使其为偶函数，则Z，则，∵，∴当时，为其最小值.故答案为：.
16．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，所以，
所以或，
所以或，即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调， ，且，所以在区间中包含在一个对称轴和对称中心之间（）即，所以，而，
所以的最大值为5.故答案为：5.
四、解答题
17．已知向量．记．
(1)求的对称中心；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标运算，根据辅角公式可得，再令，即可求出结果；
（2）由，可得，再根据三角函数的性质，即可求出结果.
(1)解：由题知：
令 ∴∴的对称中心为；
(2)解：由（1）知： ∵；∴，∴.
18．已知函数，.
(1)求；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值集合.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合二倍角公式、两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，再代入，计算即可；（2）令，，原问题可转化为在，上只有一个解，再根据正弦函数的图象，即可得解．
(1)
，
所以．
(2)因为，，所以，，令，则，，所以，
函数只有一个零点等价于方程只有一个解，即，也即在，上只有一个解，根据正弦函数的图象，可得或1，所以，，
故实数的取值集合为，0，．
19．现有下列三个条件：
①函数f(x)的最小正周期为π；
②函数f(x)的图象可以由y＝sinx－csx的图象平移得到；
③函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离．
从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答．
已知向量，ω＞0，函数．且满足_________．
(1)求f(x)的表达式；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，＝2，求csA的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选择条件①与③，结果相同，，选②，则无答案.(2)
【分析】（1）先用辅助角公式化简，然后选①，利用最小正周期求出；选②：不能由由y＝sinx－csx的图象平移得到，无答案；选③：利用相邻两条对称轴之间的距离得到最小正周期，进而求出答案；（2）在第一问的基础上，先求出，再用正弦定理求出及的值，进而利用求出答案.
(1)因为，
若选①：函数f(x)的最小正周期为π；则，解得：，此时；
若选②：，而，故函数f(x)的图象不能由y＝sinx－csx的图象平移得到；
若选③：函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离，则，解得：，即，解得：，此时，
综上：选择条件①与③，结果相同，，选②，则无答案.
(2)由（1）知：，所以，因为，所以，，，又，由正弦定理得：，整理得：，因为，所以，所以，又，所以，所以.