（寒假讲义）新高考数学二轮复习高分突破训练第02讲 平面向量范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【分析】如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.
【详解】
如图所示，设所以，,因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，所以 所以，所以四点共圆.在△中，由正弦定理得所以因为.在△中，由余弦定理得，
所以.所以的最大值为60.故答案为：60
例2．锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________.
【答案】
【分析】先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.
【详解】解：中，所以，
，当且仅当时等号成立，此时最小，最大.此时故答案为：.
例3．已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】
【分析】根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，∴当取最大值时，与夹角为.故答案为：.
例4．已知向量，满足，，则的最大值为______.
【答案】
【分析】先求得、，进而平方，计算即得结论．
【详解】设向量的夹角为，，
，则，
令，则，
据此可得：，即的最大值是故答案为：.
例5．已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________.
【答案】
【分析】根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解.
【详解】如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：，
设动点，则由得，化简得出满足，令.则，
所以的最大值为.故答案为：16.
例6．已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】已知展开联立方程组，解得，利用将两者建立起关系，解不等式得的范围﹒
【详解】∵，∴．∵，
∴，∴，且∵，
解得，∴，即的最小值为，故答案为：﹒
例7．已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意，在中结合余弦定理得，进而，进而得答案.
【详解】解：根据题意，在以为圆心，半径为的圆上， 所以在中，，
由余弦定理得，解得，
所以
，
所以当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，；
所以的取值范围是故答案为：
例8．设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立坐标系，探求点C的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答.
【详解】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
因，则，而，解得，
则，设，有，，
因向量与向量的夹角为，则，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令点，，
令，
则，于是得，
又，即有，解得，当时，，
即，而，有，，矛盾，即，
当时，，即有，其中锐角满足，
则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，
所以的取值范围是.故答案为：
过关练习：
1．在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，即可求得答案.
【详解】解析 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.
则 , 设DE的长为x，则 ，则，，所以，解得或，由题意知： ，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是，
故选：B.
2．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到，再利用向量的数量积运算法则进行计算
【详解】因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，
由.故选：B.
3.已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可.
【详解】设向量与的夹角为，由，可得，
即，即关于恒成立，则，即故向量在方向上投影故选：A
4．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算及基底法求向量数量积.
【详解】如图所示，设与交于点，由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，所以，
即的取值范围为，故选：A.
5．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.
【详解】设，如图所示：
则，因为与的夹角为120°，所以，
因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A
6．在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤ 20，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[－5，1] C．[－，] D．[－2，0]
【答案】B
【分析】设P(x,y)，由已知结合向量数量积的坐标表示可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，即知P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，数形结合法判断P的横坐标的取值范围.
【详解】设P(x,y)且·≤20.∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65.则P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，联立得：或，
结合图形(图略)可知.故选：B.
7．已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可.
【详解】解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.故选：C.
8．在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算公式，以及圆外一点到圆上一点的距离问题，即可求解.
【详解】根据题意，令，，则，
即，因此在为圆心，4为半径的圆上，易知，
故，即.故选：C.
9．已知是以为斜边的等腰直角三角形，若，且，则的取值范围是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出关于的表达式，再由的取值范围即可计算得解.
【详解】因是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，，而，
则，
因，即或，于是得或，所以的取值范围是.
故选：A
10．在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】设，则由，得M的方程为，设，
则．故选：D．
11．给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，得到， ，.设，则，根据，解得，然后由，利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则，，即，.设，则.
，，，.
，（此时有，是个锐角）.
.可取到.有最大值，故选：.
12．已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】解：可设，，则，
即，则，，，
当时，取得最大值为6，即的最大值为6.故选：C
13．已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
【详解】解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设，
可得，，，由，，得，，，，，，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.所以的最大值是2.故选：B.
15．已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.故选：B
16．在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值．
【详解】建立如图所示坐标系，设，则，所以，，
故，
所以时，取得最小值．故选：A．
17．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设，由题可得，，进而可得表示圆上点到射线上点的距离，即得.
【详解】设，则由非零向量与的夹角为，得，
∴，即，由，得，∴，
∴表示圆上点到射线上点的距离，
∴的最小值为圆心到射线的距离减去半径1，为故选：A.
18．己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】因为，，与的夹角为，所以，，，
所以满足，因为，
所以，所以，故选：C
19．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．
【答案】A
【分析】作出图形，考虑是线段上的任意一点，可得出，以及，，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的取值范围.
【详解】如下图所示：
考虑是线段上的任意一点，，，圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则，所以，.故选：A.
20．在中，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．[12，16] C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，其中，利用平面向量三角形法则表示出，进而可得其范围.
【详解】因为P在AC上，所以，其中，
则
，因为，所以.
故选：B
二、填空题
21．在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.
【答案】1
【分析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.
【详解】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，
，，，
有，由得：，
而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，所以.
故答案为：1
22.已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.
【详解】如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.，即M、G两点重合.取得最小值为2. 则时，.故向量的模取值范围是
故答案为：