（寒假讲义）新高考数学二轮复习高分突破训练第06讲 不等式的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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1.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围，观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
3.参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
4.多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
典型例题：
例1．已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值；
②若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
例2．已知函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当a=e时，求f(x)的最小值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若存在x∈（0，+∞），使得成立，求a的取值范围.
例3．已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)证明：当时，不等式恒成立.
过关练习：
1．已知函数，，若，，求的最小值
2．已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若，求实数的取值集合．
3．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)讨论函数零点的个数；
(3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
4．已知关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围
5．已知函数，，其中
(1)若，其函数在,的值域；
(2)若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．
6．设．
(1)求的最小值；
(2)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
7．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
(1)若对函数存在极小值，且极小值为0，求的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
8．已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
9．已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
10．已知函数 ，．
(1)求证： 在定义域内有且只有一个零点；
(2)若存在 ，使得 ，求实数的取值范围．
11．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
12．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
13．已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
14．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．