新高考数学二轮复习高分突破训练第15讲 解三角形中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习高分突破训练第15讲 解三角形中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习高分突破训练第15讲解三角形中的范围与最值问题原卷版doc、新高考数学二轮复习高分突破训练第15讲解三角形中的范围与最值问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
1.解三角形中处理范围与最值问题的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值
典型例题：
例1．（2022·海南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积，求ab的最小值.
【答案】(1)；
(2)48.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及三角形内角的性质可得，即可得C的大小；
（2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求ab的最小值，注意等号成立条件.
(1)
由已知及正弦定理得：，又，
所以，即且，
所以.
(2)
由题意知：，即，
由余弦定理知：，即，因此，当且仅当时取等号，
所以ab的最小值为48.
例2．（2022·重庆·模拟预测）在中，角的对边分别为的面积为1.
(1)若，边上的高分别为，求；
(2)当取最小值时，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知及余弦定理、三角形内角的性质可得，根据三角形的面积公式有、即可求.
（2）由三角形面积公式可得根据基本不等式可得求的范围并确定等号成立条件，进而可得a、b、c，即可知的周长.
(1)
则，且，
∴，
的面积为1，
可得，
又则，
.
(2)
则
，当时等号成立且，即，
代入得：即故，
∴则
∴周长为.
例3．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求a的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)化成含 的一元二次方程求解；
(2)利用余弦定理和基本不等式求最小值.
(1)
因为，所以，
所以，或（舍去）．
又为锐角三角形，所以．
(2)
因为，
当且仅当时，等号成立，所以．故a的最小值为.
例4．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理））在中，角、、所对的边分别为、、，向量，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由向量共线的坐标表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；
（2）由利用基本不等式可得的范围，再由面积公式可得答案.
(1)
∵，∴，
由正弦定理得
即，
由余弦定理得
∴，∴．
(2)
∵，，
∴，当且仅当等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理得到，从而得到；（2）利用正弦定理得到，根据余弦定理和基本不等式求出，进而求出面积的最大值.
(1)
因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，故，，因为，所以
(2)
根据正弦定理得：，解得：，
根据余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为
例6．（2022·辽宁·大连市一0三中学高三开学考试）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
(1)
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
(2)
选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的.
【详解】
由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．
又cs C＝＝≥＝.
当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cs C取到最小值，从而角C取到最大值.
当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．
所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．
故选：.
2．（2022·江西吉安·高三期末（文））在中，，点D是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先设，再根据三角形面积，余弦定理，列式，变形，换元后转化为在上有解，即可求得的取值范围.
【详解】
设，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，设，则方程在上有解，所以，解得，即．
故选：C．
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用外心的性质以及正弦定理，转化已知条件，从而求得关于的表达式，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】
设三角形的外接圆半径为，因为O是三角形ABC的外心，故可得，
且，，
故，
即，
也即，则，
又，由正弦定理可得：
，则，
故，
当且仅当，即时取得最大值.
故选：A.
4．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答.
【详解】
在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.
5．（2022·安徽淮南·一模（文））在中，内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知无解或有两个相等的解，即，再由余弦定理得角的范围．
【详解】
解：因为无极值点，
所以无解或有两个相等的解，
所以，
所以，
因为，所以．
故选：A．
二、双空题
6．（2022·浙江·高三期末）在△ABC中，内角所对的边分别为a，b，c，且；则角B=___________；a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，进而可得，利用正弦定理化简可得，即可求出角B；根据诱导公式可得，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.
【详解】
由，
所以，
由正弦定理，得，
有，又，故；
，
因为，所以，则，
所以，即.
故答案为：；
7．（2022·安徽合肥·高三期末（文））锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则__________，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理及和角公式可得，即求；由题可得，然后利用辅助角公式及正弦函数的性质即求.
【详解】
∵，
∴，
又，
∴，又，
∴，即，又为锐角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，其中，
由，可知，
∴当时，取得最大值为，
又时，时，
∴的取值范围是.
故答案为：；.
三、填空题
8．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得
（当且仅当时取等号），所以．
故答案为：
9．（2022·福建福州·高三期末）在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据给定条件，把正三棱柱的上底面与侧面矩形放在同一平面内，再求两点间距离作答.
【详解】
依题意，把正三棱柱的上底面与侧面矩形放在同一平面内，连接，交于点F，如图，
此时点F可使取最小值，大小为，而，
，
所以的最小值为.
故答案为：
10．（2022·山西运城·高三期末（理））锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，D为AB的中点，则中线CD的范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理及切化弦等得，再由余弦定理及向量知识得，再由正弦定理统一角与函数名称求解即可.
【详解】
由，
则，，.
，
由余弦定理有：，
所以，，
由正弦定理
，，因为为锐角三角形，所以且，则，，
故答案为：
11．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，进而得到，，然后在中通过余弦定理得到的关系式，在和中通过正弦定理得到的关系式和的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.
【详解】
如图，根据题意，设，，则，，在中，由余弦定理有…①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，则，由①，…②，
且，
设，则，由题意，，所以，而，由对勾函数的性质可知.
由②，，易知函数在上单调递减，于是.
故答案为：.
【点睛】
本题难度较大，注意以下几个细节的处理，首先“”这一步，开根号的目的是降低运算量；其次，在“”这个等式里发现了倒数关系，故而进行了换元，否则通分化简运算量特别大；再次，“” 这一步变形目的在于可以直接判断函数的单调性，而函数的单调性需要借助导数.
12．（2022·江西景德镇·模拟预测（文））已知中，，以为边在外部作等边，记的周长为，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，，可得出，，求出的取值范围，可得出，利用导数求出函数在上的值域，即为的取值范围.
【详解】
如下图所示，设，，，
由已知可得，，
由余弦定理可得，
，
，当且仅当时，等号成立，
设，则
，
令，其中，，
令，其中，则函数在上单调递减，
，则，故函数在上单调递减，
因为，，故，则.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
13．（2022·安徽六安·一模（理））在中，、、分别为三个内角、、的对边，，若的外接圆面积为，则周长的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化得，，进而根据正弦定理得，余弦定理得，最后根据基本不等式求解即可.
【详解】
解： ，由正弦定理得：，
即，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为1
所以由正弦定理得：，解得：
由余弦定理得：，则
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立
所以，解得：，周长的最大值是
故答案为：
14．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.
【详解】
设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
15．（2022·山东滨州·高三期末）在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______．
【答案】24
【解析】
【分析】
首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】
设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为24．
故答案为：24.
16．（2022·山西临汾·一模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】
在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
17．（2022·山西临汾·一模（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角关系式，可得，即求．
【详解】
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
又，所以，
∴.
故答案为：．
18．（2022·全国·模拟预测）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
【答案】 3
【解析】
【分析】
连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案.
【详解】
连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
【点睛】
解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则，三点共线定理等知识，并灵活应用，难点在于将周长比转化为的表达式，利用二次函数的性质，结合导数，即可得答案，属中档题.
19．（2022·广东·模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设出边长，通过做辅助线，将转化为，然后利用解三角形的知识，把和表示出来，建立函数关系求解最值即可.
【详解】
如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设，，
，
在中，由勾股定理得，则，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等边中，F为MN中点，则，，
，
在中，由余弦定理得
，
当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，
当且仅当时等号成立．
∵关于b的函数在上单调递增，
∴，当且仅当时等号成立．
∴，当且仅当，时等号成立.
故答案为：．
【点睛】
在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.
四、解答题
20．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））在中，AD是底边BC上的高，垂足为点D，且.
(1)若边长，，成等比数列，求的正弦值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，，，，根据等面积法可得，再由，即可得到，最后由三边成等比数列，即可得到，从而得解；
（2）设由余弦定理及（1）中的结论可得，再两边同除，即可得到，最后利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：设，，，.
由面积公式可得.又已知，代入上式可知.
又由于a，b，c成等比数列，即，代入上式，得.
(2)
解：设，在中，由余弦定理可知，
由（1）可知，代入上式可知，
于是，
其中，为锐角，故当时，.
21．（2022·河南南阳·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的内切圆半径，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦
定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.
(1)
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因为，所以，即
，
所以，又因为，所以，
所以，解得.
所以.
(2)
令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
当且仅当时取等号
所以，
或
所以的最小值为.
22．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求C；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化为整式，再利用正弦定理化简为，结合角的关系可求;
（2）根据及基本不等式求出的最大值，利用面积公式可得结果.
(1)
由得，
，
故，
由正弦定理得，
即，
即，
故，即，故；
或，不合题意，舍去．
故．
(2)
因为，故，
则，
当且仅当时，取得最大值，
故面积的最大值为．
23．（2022·山西吕梁·一模（文））在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若，求三角形面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得，即可求得；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，即可求得面积的最大值.
(1)
由，结合正弦定理，得，
所以，又因为，所以
(2)
由余弦定理，得
即（当且仅当等号成立）
所以，
即当时，三角形面积的最大值为.
24．（2022·山西运城·高三期末（理））如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求△的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别在△和△中运用正弦定理并结合已知条件即可证得；
（2）利用，列出等式，利用基本不等式即可求出△的面积的最小值.
(1)
在△中，利用正弦定理可知，
即，
同理，在△中，利用正弦定理可知，
即，
由已知条件，可得，
即
，∴；
(2)
设，, ,
∴，，，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，（当且仅当时等号成立）
∴，
即的最小值为.
25．（2022·云南保山·模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
(1)求角C；
(2)已知边上的点P满足，求线段的长度取最大值时的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合三角恒等变换、正弦定理求得，由此求得.
（2）利用正弦定理、余弦定理求得的最大值以及此时的大小，结合三角形的面积公式求得的面积.
(1)
由，得，
即．
由正弦定理得：，
因为，，所以．
因为，所以．
(2)
在中，由正弦定理得：．
所以．
由及，可得，在中，由余弦定理可得：
．
．
所以，当且仅当即时，取最大值.
所以，取最大值时，，，，
，
26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理可求出角A;
（2）设则，利用正弦定理表示出的周长，利用三角函数求出范围.
(1)
由正弦定理可得：；
整理得：，由余弦定理可得：，
因为，所以；
(2)
由题意可得：，则的外接圆直径，
设则，
则的周长，
27．（2022·江西吉安·高三期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)设D为边上一点，，且________，求面积的最小值．
从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．
注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，再利用两脚和的正弦公式及三角形内角的关系，从而可得出答案；
（2）选①，由，得，化简得，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案.
选②，由，可得，则，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案.
(1)
解：因为，
由正弦定理，得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以；
(2)
解：选①，
由，得，化简得，
由余弦定理，得，即，
解得（当且仅当时取等号），
所以的面积，
故面积的最小值为．
选②，
由，
得，
即，化简得，
由，得（当且仅当时取等号），
所以的面积，
故面积的最小值为．
28．（2022·浙江温州·高三开学考试）锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用正弦定理边化角，借助和差角的正弦公式变形，再用三角函数性质推理作答.
(2)利用正弦定理边化角，由(1)及余弦函数的性质计算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
即,
，
因是锐角三角形，即，有，而正弦函数在上递增，
于是得，即，
所以.
(2)
由(1)及已知得，，解得，,
由正弦定理得，
所以的取值范围是.
29．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.
(1)判断的形状；
(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理结合条件可得或，又为非直角，从而判断三角形为等腰三角形；
（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，设，，将周长的最大值转化为三角函数的最大值问题，可求得结果．
(1)
，
，
可得．
即
根据正弦定理，得．代入式，化简得．
即，为外接圆的半径）
化简得，
或，即或，又非直角，
因此是等腰三角形．
(2)
在△ABD和△ABC中，
由余弦定理可得，又，
所以，所以，
设，，，
所以△ABC的周长2a+ c=，
所以当时，2a+ c有最大值为,
即△ABC周长的最大值为.
30．（2022·四川绵阳·二模（理））在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；
(1)
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
(2)
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
31．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））在中，内角A、B、C的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的面积，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合题干条件可得，结合，求解即可；
（2）利用面积公式可得，由余弦定理，结合均值不等式即得解
(1)
由
利用正弦定理：
可得
得
因为且，
所以
(2)
因为，所以
由（1）易知
故，
即，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为2.
32．（2022·重庆·高三开学考试）在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）选①，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选②，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选③，利用同角三角函数的平方关系、正弦定理以及余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求出角的取值范围，利用正弦定理以及三角恒等变换可得出关于的三角函数关系式，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
(1)
解：选①，由已知可得，
所以，，
、，则，，可得，
，故；
选②，因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为，则，可得，
，故.
选③，，
则，即，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
，故；
(2)
解：因为为锐角三角形，则，可得，
由正弦定理可得，则，，
所以，
，
因为，则，则，
故.
33．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））在中，分别是角所对的边，满足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角公式整理计算即可得答案；
（2）利用消去中的，再利用三角公式变形，利用三角函数的性质求范围.
(1)
，
由正弦定理知：．
即：
，
又；
(2)
，且．
，
故的取值范围是.
34．（2022·广东·模拟预测）三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理由即可求出C；
(2)方法一：由余弦定理结合基本不等式即可求解；方法二：正弦定理边化角，利用三角函数最值求解即可.
(1)
由，得，
∵，∴．
又，∴，
∴，解得．
(2)
(方法一)∵，∴，化简得．
又，∴，即，当且仅当时，等号成立．
∴△ABC的面积，当且仅当时，等号成立，故，即△ABC的面积S的取值范围为．
(方法二)∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
∴△ABC的面积．
又∵，∴，∴，
即△ABC的面积S的取值范围为．
35．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）在中，，，所对的边分别为，，，且满足，．
(1)求边长；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）运用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）运用余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.
(1)
由正弦定理知，，
因为，
所以，即，
所以；
(2)
在中，由余弦定理得
，
∴（当且仅当取“=”），
∴，
∴，
又∵，
∴，即面积最大值为.
36．（2022·辽宁大连·高三期末）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若点为的中点，且，求边的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理的边化角公式得出角的大小；
（2）由向量的运算得出，结合基本不等式得出边的最大值.
(1)
由，得
所以
所以
因为，所以，由，得.
(2)
因为，所以
，即①
因为，所以
，即②
将①式代入②式，得
又由①式可知
所以，当且仅当时等号成立.
所以，即
所以边的最大值为，此时.
37．（2022·辽宁·沈阳二十中高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积，求周长的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理边化角，再结合同角公式计算作答.
(2)由(1)结合三角形面积定理求出bc，再由余弦定理结合均值不等式计算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
而，即，则，即，
因此，，又，即，
于是得，解得，
所以.
(2)
由(1)及三角形面积定理得：，，
由余弦定理得：，
则周长，当且仅当时取“=”，
所以周长的最小值为.
38．（2022·山东菏泽·高三期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【解析】
【分析】
若选①，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；
若选②，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；
若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值.
【详解】
若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得，
由，得，
由，得，
∵，∴，，
由正弦定理，有，
∴，，
∴
，(其中，)
∵，∴存在A，使得，
此时取得最大值为.
若选②：，
∵A＋B＋C＝π，
∴，
，
化简得，
由，得，∵，∴.
下同①；
若选③：，
，
由正弦定理得，
∴由余弦定理得，
∵，∴.
下同①.
39．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）选择①，运用正弦定理及同角三角函数关系求解；选择②，运用面积公式及同角三角函数关系求解；选择③运用正切两角和公式及诱导公式求解.
（2）根据正弦定理及正切函数的单调性求解
(1)
选择①：条件即，由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
选择②：条件即，即，
在中，，所以，则，
所以，所以.
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以.
(2)
由（1）知，，所以，
由正弦定理可知，，
由是锐角三角形得，所以.
所以，所以，故的取值范围为.
40．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）锐角中，角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
(1)
解：由正弦定理得
因角、为锐角，所以，，于是，即，
又角为锐角，则.
(2)
解：由余弦定理得，于是，
因，
两边同时平方得
，
由正弦定理得，
所以
，
因，解得，则，于是，
，，，
所以中线长的取值范围为.