浙江省温州市名校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省温州市名校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是一次函数，故A错误；
B、是二次函数，故B正确；
C、不是二次函数，故C错误；
D、是反比例函数，故D错误；
故选：B．
2. 若，则的值是（ ）
A. B. 3
C. D. 4
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴．
故选：C
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】二次函数的顶点坐标是．
故选：B
4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为2，则的周长为（ ）
A. 4B. 6
C. 8D. 32
【答案】C
【解析】∵，
且和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
的周长为2，则的周长为8．
故选：C．
5. 二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是．
故选：A
6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cmB. 12cm
C. 15cmD. 18cm
【答案】C
【解析】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】由图像开口向上，所以，
又对称轴，所以，
又图像与轴相交于正半轴，
所以时，，
综上，，，．
故选：A．
8. 二次函数的最小值是，则的值是（ ）
A. 1B.
C. 3D.
【答案】B
【解析】二次函数，
，二次函数开口向上，对称轴方程为，
所以时，二次函数取得最小值，
则，解得．
故选：B．
9. 如图，在中，，中线相交于点F．，交于点G．，则的长为（ ）
A. 5B. 6
C. 10D. 12
【答案】D
【解析】如图，连接，
∵中线相交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选D．
10. 勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣．以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理．如图，作斜边上的高，连接，．若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴设，，则，
∵斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
如图，过作交延长线于点， 则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次函数的图像经过点，，则________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】∵二次函数，
∴对称轴为直线，开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵，，，
∴，
故答案为：．
12. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____．
【答案】
【解析】点P是线段的黄金分割点，且，，
，
即，
，
整理得或（不合题意，舍去）
，
故答案为：．
13. 两个相似三角形的相似比为，它们的面积和为50，则较小三角形的面积为___________．
【答案】18
【解析】较大三角形的面积为，则较小的三角形面积为，
∵两个三角形的相似比为，
∴，即，
解得，
∴．
故答案为18．
14. 用长为12m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为_________．
【答案】
【解析】设窗的高度为x m，宽为 m，
由矩形面积公式得： ，
∴当时，S最大值为3．
故答案为：．
15. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值．
则当时，________．
【答案】4
【解析】由表中x，y的对应值可知，当与时，y的值相等，
∴对称轴是直线，
∴当与时，y的值相等，
∴当时，．
故答案为：4．
16. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________．
【答案】
【解析】当点P在上时，在中，，，
．
当时，．
解得 (取正值)，
．
图2中的抛物线经过点．
由图象可知，图2中的抛物线顶点为．
设抛物线解析式为：．
将代入，得，解得：．
．
当时，，
解得或 (舍去)．
．
在中，由勾股定理得：．
的周长为．
故答案为；．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17. 已知线段，满足，且．
（1）求线段，的长．
（2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长．
（1）解：∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵c是线段，，
∴．
18. 已知二次函数的图象经过点和点．
（1）求，的值和二次函数图象的顶点坐标．
（2）当时，则的取值范围是_____________．（直接写出答案）
（1）解：把代入，可得，即，
把和代入，可得，即，解得．
所以二次函数的解析式为，将其化为顶点式：
，所以顶点坐标为；
（2）解： 由（1）知二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线，
当时，取得最小值，，
当时，；
当时，．
因为，所以当时，的最大值为5，最小值为，即．
19. 已知：如图，在矩形中，，，在边上取点，连接，作交边于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（1）证明：在矩形中，，
，，
，
，
又，
，
．
（2）解：由（1）知，
，，，
，
，
解得，
．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画线段，点，分别在，边上，且．
（2）在图②中作格点与相似，使与的相似比．
（1）解：点，分别在，边上，且，所作线段如图所示：
（2）解：格点与相似，使与的相似比，所作如图所示：
21. 已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若面积为6，，求长．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值．
解：（1）因为二次函数以直线为对称轴，
所以可设二次函数表达式为，
又函数过点，，
所以，解得，
则二次函数表达式为．
（2）向左平移个单位坐标为，
点向右平移个单位为，
又平移后的点都在函数图象上，
所以两点关于对称轴对称，
则，解得，
当时，图象过点，
当时，，
所以的值为．
23. 公园草坪上安装了自动喷灌器，从喷水口喷出的水柱形如抛物线．图1是喷灌器喷水时的截面示意图．喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围墙和地面的交界点处，建立如图平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求喷灌器与围墙的距离．
（3）现准备在公园内沿围墙建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图2），其中高为，宽为，请问水柱是否能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌的效果，请说明理由．
（1）解：设抛物线解析式为，把代入得：
，
解得，
∴抛物线表达式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴喷灌器与围墙的距离为；
（3）解：水柱能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌的效果，理由如下：
∵，
∴，，
在中，当时，解得
（舍去）或，
∵，
∴，
∴，
∴水柱能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌效果．
24. 中，，，对角线．
（1）如图1，求的长．
（2）如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为．
①当，且是等腰三角形时，求的值．
②当时，求的值．
（1）解：过点作于点．
∵在中，，，
∴,．
∴．
．
在中，，，由勾股定理得：
．
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵,，
∴．
由知，，，
∴．
又∵，
∴是直角三角形，．
当时，，
过作交于，则．
∴，即：．
又∵，
∴．
∴．
当时，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴是等边三角形，
过作交于，则．
∴．
∵，
∴．
当时，过作于，
在中，，，
∴，．
在中，，，
∴．
∴，即与重合，不符合题意，舍去．
综上，．
②解：过作交延长线于G．
∵，，
∴，．
又∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即：．
∴．
又∵，，
∴．
故答案为：①，②．
…
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…
…
4
…