精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学经开校区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷+ 含答案

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时长：120分钟 分值：120分
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可．
【详解】A选项，，故不符合题意；
B选项，，故符合题意；
C选项，，故不符合题意；
D选项，，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
2. 在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，注意是无理数，是有理数是解答关键．根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：∵，是无理数， ，，，是有理数，
∴无理数有2个，
故选：B．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 的平方根是B. 正数、零和负数都有立方根
C. 是的平方根D. 的立方根是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根与立方根．解题的关键是掌握：如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根；如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根；有平方根的数一定是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数，而任意数都有唯一的立方根．据此解答即可．
【详解】解：A．的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意；
B．正数、零和负数都有立方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
C．是的平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D．的立方根是，原说法不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 展开后不含x的一次项，则m为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．
先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程，求解即可．
【详解】解：
∵展开后不含x的一次项，
∴，
解得：，
故选：B．
5. 下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，掌握公式的特点是解题的关键．根据平方差公式的特点分析即可．
【详解】解：A、满足平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符号题意；
B、，不能用平方差公式计算，不符号题意；
C、，不能用平方差公式计算，不符号题意；
D、两个因式都是两数的差的积，不能用平方差公式计算，不符号题意；
故选：A．
6. 如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（ ）张
A. 2，3，2B. 2，4，2C. 2，5，2D. 2，5，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键．
利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量．
【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：，
∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张．
故选：C．
7. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．
【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意；
B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意；
C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意；
D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识，掌握完全平方公式成为解题的关键．
用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确．
【详解】解：∵大正方形面积为100，小正方形面积为9，
∴大正方形边长为10，小正方形边长为3，
由勾股定理可得：，即①正确；
∵图中4个直角三角形全等，
∴，即②正确；
∵大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积，
∴，
∴，即④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，即③正确．
综上所述，①②③④正确．
故选D．
二．填空题（每题3分，共18分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 若，，则______________．
【答案】28
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解决此题的关键，根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为： ．
11. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
12. 若，，则代数式的值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
13. 如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ________．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．
根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可．
【详解】解：的周长为，即，
DE垂直平分AB，
，
，
，
，
故答案为：8．
14. 如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________．

【答案】81
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解．
【详解】解：∵N到点B，C的距离相等，
∴，
如图作于，于．

是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证明：，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：81．
三．解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根、绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根、绝对值的性质进行计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：
16. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值，其中，．
【答案】，4
【解析】
【分析】运用完全平方公式以及平方差公式化简中括号内的式子，再计算多项式除以单项式，即可化简，再代入计算，即可．
【详解】
，
当 ， 时，
原式．
【点睛】本题主要考查了多项式的混合运算，掌握完全平方公式以及平方差公式，是解答本题的关键．
18. 如图，在中，D为边上的一点，，，，．
（1）请说明；
（2）求面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
（1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出；
（2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
为直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
19. 如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．
（2）若，，求出绿化的总面积．
【答案】（1）绿化的总面积为平方米
（2）绿化的总面积为13200平方米
【解析】
【分析】本题主要考查的是多项式乘多项式和完全平方公式．
（1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案；
（2）把，代入（1）中算出的式子即可得出答案．
【小问1详解】
解：绿化的总面积
平方米，
答：绿化的总面积为平方米；
【小问2详解】
解：当，时，
原式，
答：绿化总面积为13200平方米．
20. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
【答案】（1）
（2）49
【解析】
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式：
（1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论；
（2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
由题意，得：，，
∴，
∴．
21. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
，，
，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）9
【解析】
【分析】本题考查分母有理化，掌握分母有理化和题干给定的解题方法，是解题的关键：
（1）进行分母有理化即可；
（2）先进行分母有理化，再仿照题干的方法，求值即可；
（3）先进行分母有理化，再进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
原式
．
22. 阅读材料：若，求，的值．
解：，
．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则_____，______；
（2）已知，求的值；
（3）已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，偶次方的非负性，勾股定理的应用．
（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把原方程化为，然后由非负数性质求得、，进而根据勾股定理求得，便可求得三角形的周长．
【小问1详解】
解：由，得，
∵≥0，，
∴，，
∴，．
故答案为：3；0．
【小问2详解】
解：由得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵的三边长为，，，
∴或
∴的周长为或．
23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
（1）【直接应用】若，，求的值；
（2）【类比应用】填空：
①若，则______；
②若，则______；
（3）【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1）
（2）①7；②5 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
（1）把，代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；
②利用完全平方公式变形可得，再求值即可；
（3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案．
【小问1详解】
解： ，，而

解得：；
【小问2详解】
解：①，


；
②，，

；
【小问3详解】
解：三点共线，且
三点共线，


，，
，




24. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为秒．
（1）的长为____；（用含的代数式表示）
（2）当的面积是12时，求t的值；
（3）若点P在的角平分线上，求的值；
（4）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）t的值为
（4）或或4
【解析】
【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
（3）根据角平分线的定义可得，进而证明，设，则，根据勾股定理解答即可；
（4）分作为底和腰两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：已知点从点出发，以每秒个单位长度的速度运动，
点运动的长度为：；
故答案为：；
小问2详解】
解：的面积是且，
，
．
当时，，
，解得；
当时，，
，解得；
综上，或3
【小问3详解】
解：过点作于点，如图所示：

在中，，，，
由勾股定理得：，
点P在的角平分线上，
，
，，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
即若点P在的角平分线上，则t的值为；
【小问4详解】
解：当作为底边时，如图所示：

则，设，则，
在中，，
，
解得：
此时；
当作为腰时，如图所示：

，此时；
时，
，
，
此时，
综上分析可知，t的值为或或4．
【点睛】本题主要考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．