精品解析：吉林省长春市五十二+中学赫行实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 含答案

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1. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数为；
故选D．
2. “的平方根是”的数学表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是，
故选：A．
3. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等知识是解题的关键．
根据整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选：D ．
4. “白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据0.0000086用科学记数法表示为，则的值是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，据此解答即可．
【详解】解：，
所以，，
故选：D．
5. 在下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 同旁内角互补
C. 负数的立方根是负数D. 垂线段叫做点到直线的距离
【答案】C
【解析】
【分析】有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据立方根的定义可判断C；点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此可判断D．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、负数的立方根是负数，原命题是真命题，符合题意；
D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，立方根的定义，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键．
6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据尺规作图可知，可证，得到，即可得到结论．
【详解】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故选：A ．
7. 如图，在中，平分，于点E，若，，，则长是（ ）
A. 5B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．如图，过作于，证明，再利用面积公式建立方程求解即可.
【详解】解：如图，过作于，
∵平分，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
故选：B
8. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
∵，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘以多项式的各项，再把所得积相加，即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
10. 分式和的最简公分母为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
【详解】解：分式和的最简公分母为，
故答案为：．
11. 数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，若要拼出一个面积为的长方形，则需要C号卡片________张．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可．
【详解】解：∵；
∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，
∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片13张．
故答案为：13．
12. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________．
【答案】61
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：61．
13. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D、E，连接，过点A作于F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是_________．
【答案】48．
【解析】
【分析】和矩形BCHG的面积相等．
【详解】在和中，
同理可得：△AFE≌△CHE
，，
且
．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是和矩形BCHG的面积相等．
14. 如图，是等边三角形，D是上一点，于点E，F为上一点且，连接，垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．正确结论的序号有________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故④正确；根据，即可判断，故③错误．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，即是等腰三角形，故①正确；
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
∵垂直平分，，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故③错误．
综上可知正确的结论为①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键．
三、解答题（本题有10个小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，实数的混合运算，先计算立方根，算术平方根，乘方运算，零次幂，再合并即可．
【详解】解：
；
16. 化简求值：，其中，．
【答案】，0
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式以及合并同类项法则化简，然后把x，y的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式
17. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接提取公因式即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
18. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．求乙种商品每件的价格是多少元？
【答案】每件乙种商品价格为40元．
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设每件乙种商品价格为x元，根据用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同列方程求解．
【详解】解：设每件乙种商品价格为x元，则每件甲种商品价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：每件乙种商品的价格为40元．
19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，________；
（2）在图①中，在上确定一点D，连接，使；
（3）图②中，在内确定一点E，连接、、，使．
【答案】（1）
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）利用割补法求解三角形的面积即可；
（2）如图，取格点，连接交于，则即为所求；
（3）如图，取格点，连接交于，取格点，，连接交于，连接，，则即为所求；
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：如图，取格点，连接交于，则即为所求；
理由如下：连接，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，如图，取格点，连接交于，取格点，，连接交于，连接，，则即为所求；
理由如下：
由（2）可得：是的垂直平分线，，
∴，，
∴为格点，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定与性质，格点作图，熟练的作图是解本题的关键.
20. 如图，点E在边上，与交于点F，，，．
（1）求证：；
（2）若，则________．
【答案】（1）见解析 （2）72
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识；
（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形外角的性质可得出，最后结合已知即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
故答案为：72．
21. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程
（2）这片绿地的面积是
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识．
（1）连接，求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走路程；
【小问2详解】
解：，，，
是直角三角形，，
，，
，
答：这片绿地的面积是．
22. 如图，已知点P为线段上的一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，过点A作交射线于点H，交射线于点Q，连接．
（1）点Q在线段的延长线上时，求证：；
（2）连接，在点P从点A向终点B运动的过程中，
①的度数是________；
②当时，直接写出线段长度最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由旋转可得：，，证明，可得，即可得到结论；
（2）①如图，在上截取，证明，可得，，证明，进一步可得答案；
②证明，可得在射线上运动，当时，最短，此时，再进一步解答即可.
【小问1详解】
解：由旋转可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴在射线上运动，
当时，最短，
此时，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.
23. 【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”）
（ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知，，且，利用（1）发现结论，求的最小值．
【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ），见详解；（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式；理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键．
（1）（ⅰ）根据图形即可求解；
（ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解；
（ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解；
（2）由（1）得，即可求解；
【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得
①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形的面积为，
（ⅱ）由图②得
当时，，
（ⅲ）当时，，
甲同学：当时，
，
，
当时，；
乙同学：
当时，；
（2）
，
∵，，结合（1）得：
，
∵，
，
，
的最小值为．
24. 如图，在中，，，M是边的中点，动点P从点A出发沿折线向终点C运动，点P在边上的速度为，点P在边上的速度为，连结，将绕点M逆时针旋转，点P的对应点为点Q，连接、、．设点P运动的时间为t秒．
（1）________．
（2）点P在边上运动时；
①求点Q到边的距离d（用含t的代数式表示）；
②直接写出的度数：
（3）在点P运动的过程中，直接写出是锐角三角形时t的取值范围．
【答案】（1）
（2）①当时，距离，当时，距离；②当时，，当时，；
（3）或，
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得答案；
（2）①如图，过作于，过作于，证明，可得，，可得，可得，在直线上运动，当为的中点时，可得，当时，当时，如图，过作于，过作于，再进一步解答即可；
②由①得：当时，；当时，可得，可得；
（3）如图，当时，由（2）得：，，，当时，求解，可得当时，为锐角三角形；当时，如图，为钝角三角形；不符合题意；当时，如图，为钝角三角形；不符合题意；当时，此时，为锐角三角形；符合题意；从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，过作于，过作于，结合旋转：
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，而，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，
当为的中点时，，则，
当时，
∵，即，
∴；
当时，如图，过作于，过作于，
同理可得：，，，，
∴；
②由①得：当时，
；
当时，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当时，
由（2）得：，，，
当时，
∴，即，
∴当时，为锐角三角形；
当时，如图，
结合（2）可得：为钝角三角形；不符合题意；
当三点共线时，如图，
∵，，，，
∴，
∴，
此时，
当时，如图，
为钝角三角形；不符合题意；
当时，
此时，为锐角三角形；符合题意；
综上：当时或当时，为锐角三角形；
【点睛】本题考查的全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．