精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 含答案

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满分: 120 分 时间: 120分钟
一 选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. “3的算术平方根”可用数学式子表示为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键；因此此题可根据算术平方根直接进行求解．
【详解】解：“3的算术平方根”可用数学式子表示为；
故选A．
2. 在，， ，， ， （相邻两个之间的个数逐次加） 这些数中，无理数的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是无理数，符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是整数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无限循环小数，是有理数，不符合题意；
（相邻两个之间的个数逐次加）是无理数，符合题意；
综上可知：共有无理数个，
故选：．
3. 对于无理数，添加关联的数或者运算符号后，运算结果为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，选项A、B根据二次根式的加减法法则判断即可；选项C根据乘方的定义以及二次根式的性质判断即可；选项D根据二次根式的除法运算算出结果即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故A选项不合题意；
B、，结果不是有理数，故B选项不合题意；
C、，结果不是有理数，故C选项不合题意；
D、，故D选项符合题意．
故选：D．
4. 下列计算中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则判断A；根据幂的乘方法则判断B和D；根据合并同类项的法则判断C．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ）

A. 80B. 96C. 192D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴，，
则．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键．
6. 若面积为的正方形的边长为，则的值在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出的值，再利用夹逼法估算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵面积为的正方形的边长为，
∴，
∵，即，
∴的值在和之间，
故选：．
7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用．利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：由题意可知：，，，．
如图，连接，
在直角和中，，
即，
，，
．
故选：B．
8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
如图，连接，则，由图可知，，
由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，连接，则，
由图可知，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
二. 填空题（共6小题，每题3分，共24分）
9. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根求得每个式子的值，再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的求解．
10. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2
11. 已知， ， 为直角的三边，若， b=4， 则的长度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分b=4为直角边和b=4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可，解题的关键掌握知识点的应用．
【详解】解：当b=4为直角边时，
则；
当b=4为斜边时，
则；
故答案为：或．
12. 若去括号后不含的一次项，则的值为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算多项式乘以多项式，再根据积去括号后不含的一次项，再建立方程解题即可．
【详解】解：．
积去括号后不含的一次项，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，熟记运算法则理解不含的一次项的含义是解本题的关键．
13. 若x+3y﹣3＝0，则2x•8y＝_____．
【答案】8．
【解析】
【详解】∵x+3y﹣3=0，
∴x+3y=3，
∴2x•8y=2x•23y=2x+3y=23=8.
故答案为8.
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，先化成底数为2的幂的形式，再进行同底数幂的乘法运算即可．
14. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主题考查了勾股定理的证明，完全平方公式变形求值．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积为49，
∴大正方形的边长为7，
则由勾股定理得，．
故①正确．
∵小正方形的面积为4，
∴小正方形的边长为2，
∴；
故②正确．
∵，
∴，
∴．
故③正确．
∵，
∴（舍负值）．
故④错误．
故答案为：①②③．
三. 解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质分别化简，二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可得出答案；
（）利用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式法则计算，然后合并同类项即可；
本题考查了二次根式运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 利用因式分解进行简便运算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用平方差公式进行计算即可；
（）根据完全平方公式进行因式分解即可；
此题考查了平方差公式和因式分解的运用，掌握知识点的应用是解题的关键
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 先化简，再求值：其中 ．
【答案】，2024
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算以及求值，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
，
当时，则原式．
18. 计算：已知，，，求的值．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从的高空落到地面的时间．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】（1）
（2）；严禁高空抛物
【解析】
【分析】（1）根据公式，代入计算即可．
（2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
【小问1详解】
∵，,
∴．
【小问2详解】
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
20. 我们知道面积为的正方形的边长a是无理数．如图，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图．
（1）图中拼成的正方形的面积是 ；边长是 （填有理数或无理数）
（2）能在方格图（图）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为的正方形吗？若能，请用虚线画出．
（3）你能把图中个小正方形组成的图形剪开，拼成正方形吗？若能，请仿照图（4）用虚线画出．
【答案】（1）5；
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）利用图2补全正方形即可得出答案；
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，利用网格的特点和割补法，画图即可．
【小问1详解】
解：∵拼成的正方形的面积与原面积相等，
∴拼成的正方形的面积是，
∴边长为，
故答案为：5；；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求；
21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．

（1）求边的长；
（2）求这块空地的面积．
【答案】（1）；
（2）这块空地的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键．
（1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解；
（2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
【小问2详解】
解：连接，如图，

∵，E是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴这块空地得面积为：．
答：这块空地的面积为．
22. 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．
又例如：
∵，即 ，
∴的整数部分是，小数部分为 ．
（1）的整数部分是 ， 小数部分是 ；
（2）点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可）
，均为有理数；
；
；
．
（3）若，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）10．
【解析】
【分析】（）仿照题意求解即可；
（）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可；
（）仿照题意求解即可；
本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键．
小问1详解】
解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知，
∴，，故，说法错误；
∴，
∵，
∴，
∴，故说法错误；
由，，
则，
∵，
∴，故说法正确；
故选：；
【小问3详解】
解：∵，即，
∴，即，
∴，，
∴．
23. 【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法． 比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图（1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2 可得等式： ； 由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论， 解决问题：若，，则= ；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ；
（4）如图4，若有9张边长为a的正方形纸片，6张边长分别为的长方形纸片，10张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
【答案】（1），
（2）36 （3）16
（4）
【解析】
【分析】本题考查用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合思想，用代数角度解决图形问题，也可以利用图形问题解决代数．
（1）利用图形面积相等公式；
（2）把已知代入（1）中的公式；
（3）利用面积公式展开可以得到面积关系，进而问题可求解；
（4）利用面积公式，根据整体与部分的关系可得：．
【小问1详解】
解：利用长方形面积公式，
利用正方形面积公式；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由（1）得：若，，则有：
；
故答案为：36；
【小问3详解】
解：长方形面积为可得：，
所以；
故答案为：16；
【小问4详解】
解：，
由图可知：，
∴，
所以，正方形的边长最长是；
故答案：．
24. 如图，中，，，，若动点P 从点C开始，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P 运动的时间为t秒．
（1） ．
（2）当时，的周长为 ；
（3）当点 P落在角平分线上时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时t的值．
【答案】（1）8 （2）
（3）
（4）t的值为或或或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，计算求解即可．
（2）由题意可知当时，则，则得出，利用勾股定理求出，最后根据三角形的周长求解即可．
（3）作于H，利用角平分线的性质定理即可得出，设，根据，求出x的值，进一步即可得出时间．
（4）分当P在上时，；当P在上时，分三种情况，，和．分四种情况讨论，分别画出图形，利用勾股定理的等腰三角形合一的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
∴的长为8；
【小问2详解】
解：当时，则，
∴，，
∴的周长为：．
【小问3详解】
解：作于H，
∵为的角平行线，，，
∴，
设，
∵
∴，
解得，
∴，
∴．
【小问4详解】
解：当P在上时，
∵，
∴只有时，可以使为等腰三角形，
此时，
∴；
当P在上时，分三种情况，，和．
当时，过点P作点E，交与点G，
则，
∵
∴，
即
则，
∴，
∴，
∴点P的运动路程为：，
∴．
当时，
则，
∴，
∴点P的运动路程为：，
∴；
当时，过点C作于点F，
则，
设，则，
在中，，
在中，
∴
即，
整理得：，
∴
∴，
∴，
∴点P的运动路程为：，
∴．
综上：当为等腰三角形时t的值为或或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．