2023-2024学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是
A．B．
C．D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是
A．B．C．D．
4．（4分）若，则下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
5．（4分）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在中，对角线，相交于点．若，，，则的长为
A．8B．9C．10D．12
7．（4分）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为
A．B．C．D．
8．（4分）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式： ．
10．（4分）分式的值为0，则 ．
11．（4分）如图，在正五边形中，连接、，则的度数是 度．
12．（4分）已知，一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连结，相交于点．若，则的大小为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
15．（8分）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将旋转得到△，请画出△；
（2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标；
（3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）．
16．（8分）依法纳税是每个公民应尽的义务，自2018年10月1日起，个人所得税的起征点是5000元，具体税率如表所示：
（1）某电脑组装公司实行“基础工资计件工资”制，基础工资为每月3000元，每组装1台电脑10元．请直接写出纳税前月工资（元与组装电脑台数之间的函数关系式；
（2）如果小王在6月份组装了电脑700台，那么小王6月份纳税后应领取工资多少元？
17．（10分）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由．
18．（10分）如图1，在中，是对角线的中点，过点的直线分别与，交于点，，将四边形沿折叠得到四边形，点在上方，交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，，，，求的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知，，则代数式的值是 ．
20．（4分）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为 ．
21．（4分）已知关于的不等式组有且仅有4个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ．
22．（4分）如图，在中，，，．将沿射线平移得到△，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，△的周长的最小值为 ．
23．（4分）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与轴、轴分别相交于点，．点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点重合，则点的坐标为 ；点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛40千米，舰艇距离该小岛60千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的2倍，结果舰艇提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务．
（1）求舰艇，的速度；
（2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月天），已知舰艇，的巡航费用分别为50万元天，40万元天．
①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式；
②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇应巡航多少天？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）若是直角三角形，求点的坐标；
（3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围．
26．（12分）如图，在下方的直线．
（1）为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
（2）如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为3，求长的最大值．
2023-2024学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项、、的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是
A．B．
C．D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：是单项式，则不符合题意；
，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，则不符合题意；
，符合因式分解的定义，则符合题意；
，是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意；
故选：．
3．（4分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】把点的横坐标加4，纵坐标不变得到点平移后的对应点的坐标．
【解答】解：点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为．
故选：．
4．（4分）若，则下列各式中一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：．，
，
故本选项不符合题意；
．，
，
故本选项不符合题意；
．当时，，
故本选项不符合题意；
．，
，
，
故本选项符合题意；
故选：．
5．（4分）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在一次函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
【解答】解：直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故选：．
6．（4分）如图，在中，对角线，相交于点．若，，，则的长为
A．8B．9C．10D．12
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
故选：．
7．（4分）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为
A．B．C．D．
【分析】设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，依题意得到，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
依题意得，，
故选：．
8．（4分）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】过作，垂足为，利用角的直角三角形和等腰直角三角形可求解的长度，由角平分线的性质可得，再进而可求解．
【解答】解：过作，垂足为，
在和中，，，
，
解得，
，
，平分，
，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式： ．
【分析】先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：，
，
．
10．（4分）分式的值为0，则 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式值为0，所以有，．故答案为3．
11．（4分）如图，在正五边形中，连接、，则的度数是 36 度．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为，得到，，，先求出和的度数，再求就很容易了．
【解答】解：根据正五边形的性质，，
，
．
12．（4分）已知，一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是 ．
【分析】由一次函数中，值随值的增大而减少，列出不等式，即可求得．
【解答】解：一次函数中，值随值的增大而减少，
，
解得：．
故答案为：．
13．（4分）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连结，相交于点．若，则的大小为 ．
【分析】由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案．
【解答】解：由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
，，，
，
，
，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得，
去括号，得，
解得：，
当时，分母，
故原分式方程的解为；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
15．（8分）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将旋转得到△，请画出△；
（2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标；
（3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（3）根据平行线的判定画图即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）根据题意建立平面直角坐标系，
则点的坐标为．
（3）如图，即为所求．
16．（8分）依法纳税是每个公民应尽的义务，自2018年10月1日起，个人所得税的起征点是5000元，具体税率如表所示：
（1）某电脑组装公司实行“基础工资计件工资”制，基础工资为每月3000元，每组装1台电脑10元．请直接写出纳税前月工资（元与组装电脑台数之间的函数关系式；
（2）如果小王在6月份组装了电脑700台，那么小王6月份纳税后应领取工资多少元？
【分析】（1）根据总工资基础工资计件工资列出函数解析式即可；
（2）根据先求出时小王的工资，然后根据税率表求出小王应纳税，再用总工资税款实发工资计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
纳税前月工资（元与组装电脑台数之间的函数关系式为；
（2）当时，，
小王6月份纳税前的工资为10000元，
小王6月份应纳税（元，
小王6月份纳税后应领取工资为（元．
17．（10分）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线平行线等腰三角形的“双平模型”即可得出；
（2）由可推出，从而得到的度数；
（3）根据中位线定理可得，再证即可得出结论．
【解答】（1）证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：是中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，，
，
，，
是中点，
是中点，
是的中位线，
，
．
18．（10分）如图1，在中，是对角线的中点，过点的直线分别与，交于点，，将四边形沿折叠得到四边形，点在上方，交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，，，，求的长．
【分析】（1）利用证明，可得，根据折叠得，再利用等量代换即可证得结论；
（2）延长交的延长线于，延长交的延长线于，先证得，得出，，推出，进而推出，再运用等腰直角三角形的性质即可证得结论；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，连接，先求得，可得，，运用含角直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，得出，进而证得是等腰直角三角形，得出，，再得出，结合勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：是对角线的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
将四边形沿折叠得到四边形，
，
；
（2）证明：延长交的延长线于，延长交的延长线于，如图1，
四边形是平行四边形，
，，
，
将四边形沿折叠得到四边形，
，，，
，，
，即，
同理，
，
，
，，
，
由（1）知：，
，
，即，
；
（3）解：如图2，过点作，交的延长线于，过点作于，连接，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的长为．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知，，则代数式的值是 3 ．
【分析】首先求出，即可得出答案．
【解答】解：，，
．
故答案为：3．
20．（4分）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为 ．
【分析】由等边三角形的性质可得，，由平行四边形的性质，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求，的长．
【解答】解：是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
故答案为：．
21．（4分）已知关于的不等式组有且仅有4个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ．
【分析】根据不等式组有且仅有4个整数解，可得整数解为0，1，2，3，根据分式方程有增根，可得，所以不等式为，解得，和3是不等式的解，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组有且仅有4个整数解，
整数解为0，1，2，3，
，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的分式方程有增根，
，
解得，
不等式为，
解得，
和3是不等式的解，
不等式组的整数解是不等式的解的概率为．
故答案为：．
22．（4分）如图，在中，，，．将沿射线平移得到△，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，△的周长的最小值为 ．
【分析】将△的周长转化的周长，因为是定值，所以要求周长最小就转化成求，也就是我们熟悉的最短路线问题，做对称点再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，作，使，
则易得四边形是平行四边形，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
△的周长的周长，
在中，，
要求的周长最小值，就是求的最小值，
作关于的对称点 “，连接 “，则 “，
延长交延长线于，
，，，
，
，
“，
“，
在△ “中， “，
△的周长的周长，
即△的周长的最小值是，
故答案为：．
23．（4分）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与轴、轴分别相交于点，．点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点重合，则点的坐标为 ， ；点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为 ．
【分析】依据题意，设为，可得为，又与重合，进而建立方程计算可以得解；依据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为或，则为或，又在上，求出即可得解．
【解答】解：由题意，设为，
为．
又与重合，
．
．
，．
如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于．
所在直线为或．
故可设为或．
为或．
又在上，
或．
或．
，或，．
故答案为：，；，或，．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛40千米，舰艇距离该小岛60千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的2倍，结果舰艇提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务．
（1）求舰艇，的速度；
（2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月天），已知舰艇，的巡航费用分别为50万元天，40万元天．
①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式；
②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇应巡航多少天？
【分析】（1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据“舰艇比舰艇提前10分钟到达”列出方程，解方程即可；
（2）①根据总费用，两种舰艇的费用之和列出函数解析式；
②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的2倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
此时，
答：舰艇的速度的速度为60千米小时，则舰艇的速度的速度为120千米小时；
（2）①根据题意得：，
总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；
②，
解得，
在中，
，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为220，
答：舰艇应巡航10天，巡航的费用最少．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）若是直角三角形，求点的坐标；
（3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为斜边时，列出等式，即可求解；当或为斜边时，同理可解；
（3）当直线过点时，将点的坐标代入函数表达式得：，解得：，当直线过点时，同理可解值，进而求解．
【解答】解：（1），点的坐标为，则点，即，
则的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
故直线的表达式为：；
（2）设点，
，则点，
由、、的坐标得，，，，
当为斜边时，
则，
解得：（舍去）或1，即点；
当或为斜边时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或2，即点；
综上，点或；
（3）点是线段上一点，直线的表达式为，
，，
，即直线故点，
由（2）可知是的中点，
点坐标为，
点坐标为，代入函数表达式得：，
解得：（舍去）或3，
，
．
26．（12分）如图，在下方的直线．
（1）为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
（2）如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为3，求长的最大值．
【分析】（1）①通过等角转化即可证出两组对边平行；
②根据边的关系，设和，用勾股定理求出，再用等面积即可得出，然后用未知数把的边长用未知数表示出来，再利用勾股定理建立方程即可求解．
（2）解直角三角形斜边往外作直角，优先考虑取斜边中点构造三角形．由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可．
【解答】（1）①证明：，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形．
②解：过作于点，交于点，则四边形是矩形，
设，则，
，
根据等面积可得：，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
．
（3）解：如图，过作交于点，作交于点，则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
取中点，连接、，则，
在中，，
是直角三角形，是中点，
，
根据三角形三边关系可得，，
最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/15 12:15:54；用户：陆兴华；邮箱：[email protected]；学号：22443339每月工资（元
个人税率
不超过5000
免税
超过5000至不超过8000的部分
超过8000至不超过17000的部分
每月工资（元
个人税率
不超过5000
免税
超过5000至不超过8000的部分
超过8000至不超过17000的部分