2023-2024学年四川省成都市青羊区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区八年级（下）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）对称性揭示了自然的秩序与和谐，体现数学之美．下列几种数学曲线是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）多项式中，各项的公因式是
A．B．C．D．
3．（4分）如果，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，正确的是
A．B．
C．D．
5．（4分）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，已知点坐标，点坐标，将沿轴正方向平移，使平移到点，得到，若点的坐标为，则线段的值为
A．3B．4C．5D．6
7．（4分）如图，在中，，平分，交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
8．（4分）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解集为
A．无解B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
10．（4分）若关于的不等式的解集如图所示，则 ．
11．（4分）如图，等边中，为中点，，，则线段的长度为 ．
12．（4分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到△．点的对应点在边上（不与点、重合）．若，则的度数为 ．
13．（4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，，，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（14分）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形△；
（2）画出绕点按顺时针旋转后的图形△；
（3）在平面直角坐标系内作点．使得点、、、围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点的坐标为 ．
16．（8分）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线的全程是27千米，但交通比较拥堵，路线比路线的全程多6千米，但平均车速比走路线时能提高．若走路线能比走路线少用10分钟．求走路线和路线的平均速度分别是多少？
17．（8分）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的周长．
18．（10分）已知中，，过点作直线，是边上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转交直线于点，为线段延长线上一点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，，求的面积．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，，则 ．
20．（4分）若关于的分式方程的解是正数，则的最小整数值为 ．
21．（4分）如图，，垂足为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接、，则线段的长度为 ．
22．（4分）如图，在中，，是的中点，平分，，连结，．若，，则的周长为 ．
23．（4分）如图，直线交坐标轴于、两点，为中点，点为上一动点，点在轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）中华人民共和国生态环境部第32号令《排污许可管理办法》将自2024年7月1日起施行．我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买10台污水处理设备，现有、两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
（1）设购买型号设备台，要求购买污水处理设备的资金不高于52万元，并且该月要求处理污水量不少于2000吨，请列不等式组求出所有可能的取值．
（2）设购买设备的总资金为万元，写出与的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及的最小值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于、两点，直线交轴、轴的正半轴于、两点，，两直线相交于点．
（1）求的值与线段的长；
（2）若为直线上一动点，连接、，当时，求点的坐标；
（3）若为线段上的动点，为线段上的动点，当时，求点的坐标．
26．（12分）【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”
经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至，使，连接．请在此基础上完成求解过程．【迁移应用】
（2）如图2，是等边三角形，点是平面上一点，连接、，将绕点沿逆时针方向旋转得到，连接，点是中点，连接，．判断与的数量关系与位置关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，若，点、分别是，上的动点，且满足，连接，点为中点，连接，求线段的最小值．
2023-2024学年四川省成都市青羊区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）对称性揭示了自然的秩序与和谐，体现数学之美．下列几种数学曲线是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项、、的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
2．（4分）多项式中，各项的公因式是
A．B．C．D．
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母、，其中的最低次数是2，的最低次数是1，因此多项式中各项的公因式是．
故选：．
3．（4分）如果，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
、当时，那么，故本选项正确，符合题意．
故选：．
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可．
【解答】解：，因此选项不符合题意；
，因此选项不符合题意；
，因此选项符合题意；
的分子、分母没有公因式2，不能约分，因此选项不符合题意．
故选：．
5．（4分）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解：、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，故选项符合题意；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意；
、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判断为平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
6．（4分）如图，已知点坐标，点坐标，将沿轴正方向平移，使平移到点，得到，若点的坐标为，则线段的值为
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据点平移后得点，则沿轴正方向平移1个单位长度，根据得出，再根据，即可求解．
【解答】解：点平移后得点，
沿轴正方向平移1个单位长度，
，
，
，
．
故选：．
7．（4分）如图，在中，，平分，交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】首先根据等腰三角形的性质求得的度数，然后求得其一半的度数，从而利用三角形内角和定理求得答案即可．
【解答】解：，，
，
平分，
，
．
故选：．
8．（4分）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解集为
A．无解B．C．D．
【分析】观察函数图象得到在轴上的左边，对应于每一个的值，函数值都落在轴的下方，即不等式的解集为；在轴上5的左边，对应于每一个的值，函数值都落在轴的上方，即不等式的解集为；再根据“同小取较小”即可得出不等式组的解集．
【解答】解：观察函数图象得到
不等式的解集为，
不等式的解集为；
所以不等式组的解集为．
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
【分析】提取公因式后继续用公式法分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
10．（4分）若关于的不等式的解集如图所示，则 7 ．
【分析】首先解得关于的不等式的解集即，然后观察数轴上表示的解集，求得的值．
【解答】解：关于的不等式，
得，
由题目中的数轴表示可知：
不等式的解集是：，
因而可得到，，
解得，．
故答案为：7．
11．（4分）如图，等边中，为中点，，，则线段的长度为 ．
【分析】根据含角的直角三角形的性质得出，进而得出即可．
【解答】解：等边，
，，
为中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（4分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到△．点的对应点在边上（不与点、重合）．若，则的度数为 ．
【分析】由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．（4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，，，则的值为 1.6 ．
【分析】根据题意可知垂直平分，即可得到，再根据勾股定理从而可以求得的长．
【解答】解：由题意可得，
垂直平分，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：1.6．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（14分）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式解集的口诀“大小小大中间找”，求出不等式组的解集即可；
（2）先把方程两边同时乘，把分式方程化成整式方程，然后按照解一元一次方程的方法，求出，再进行检验即可；
（3）先把括号内的1写成，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分子和分母分解因式，把除法化成乘法，从而进行约分，最后求出，再代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：（1），
由①得：，
，
，
，
由②得：，
，
，
，
不等式组的解集为：；
（2），
，
，
，
，
，
检验：当时，，
原分式方程无解；
（3）原式
，
，
原式．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形△；
（2）画出绕点按顺时针旋转后的图形△；
（3）在平面直角坐标系内作点．使得点、、、围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点的坐标为 或 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）结合平行四边形的判定可得答案．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）如图，点，均满足题意，
符合要求的点的坐标为或．
故答案为：或．
16．（8分）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线的全程是27千米，但交通比较拥堵，路线比路线的全程多6千米，但平均车速比走路线时能提高．若走路线能比走路线少用10分钟．求走路线和路线的平均速度分别是多少？
【分析】设走路线的平均速度是千米小时，则走路线的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合走路线能比走路线少用10分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即走路线的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线的平均速度．
【解答】解：设走路线的平均速度是千米小时，则走路线的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：走路线的平均速度是30千米小时，走路线的平均速度是45千米小时．
17．（8分）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质，同理可证，得到，根据勾股定理求出，即可求得答案．，
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
同理可证，
，
在中，，
在中，
的周长．
18．（10分）已知中，，过点作直线，是边上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转交直线于点，为线段延长线上一点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，，求的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论；
（2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得；
（3）由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：，
，
直线，
，
，
平分；
（2）证明：如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
将射线绕点顺时针旋转交直线于点，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，，
的面积．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，，则 6 ．
【分析】直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：，，
．
故答案为：6．
20．（4分）若关于的分式方程的解是正数，则的最小整数值为 7 ．
【分析】方程两边同乘以，化为整式方程，求得，再列不等式得出的最小整数值．
【解答】解：方程两边同乘以，得，，
解得，
分式方程的解为正数，
且，
即且，
且，
的最小整数值为7，
故答案为：7．
21．（4分）如图，，垂足为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接、，则线段的长度为 ．
【分析】先证明是等边三角形，再过点作，在中求出和值，则值可求，最后在中利用勾股定理可求长．
【解答】解：线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
所以，
所以是等边三角形，
所以，，
．
过点作于点，
所以在中，，．
．
在中，利用勾股定理可得．
故答案为：．
22．（4分）如图，在中，，是的中点，平分，，连结，．若，，则的周长为 ．
【分析】延长、交于点，可证明，得，，由，，，得，则，求得，则，，所以，，则的周长为，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长、交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
是的中点，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
23．（4分）如图，直线交坐标轴于、两点，为中点，点为上一动点，点在轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ．
【分析】要求的最小值，我们可以联想到“将军饮马”问题，但是因为系数不为1，所以可以转化，要么转化，要么转化，我们发现提取，可以构造等腰直角三角形，从而将最值转化为求线段的长度，再利用构造全等三角形，得到是等腰直角三角形，进而求出的坐标，再求长度即可．
【解答】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接，
则，
，
当、、三点共线时最小，此时即有最小值，
作关于轴对称点，则，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
由题可得，，
是中点，
，
，
，
，
，
此时．
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24．（8分）中华人民共和国生态环境部第32号令《排污许可管理办法》将自2024年7月1日起施行．我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买10台污水处理设备，现有、两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
（1）设购买型号设备台，要求购买污水处理设备的资金不高于52万元，并且该月要求处理污水量不少于2000吨，请列不等式组求出所有可能的取值．
（2）设购买设备的总资金为万元，写出与的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及的最小值．
【分析】（1）根据“型号设备的价格型号设备的数量型号设备的价格型号设备的数量”和“型号设备每月每台的处理污水量型号设备的数量型号设备每月每台的处理污水量型号设备的数量”列一元一次不等式组并求解，再由为非负整数确定的可能值即可；
（2）根据“购买设备的总资金型号设备的价格型号设备的数量型号设备的价格型号设备的数量”写出与的函数关系式，根据该函数的增减性和的可能值，确定当取何值时值最小，求出的最小值及的值即可．
【解答】解：（1）购买型号设备台．
根据题意，得，
解得，
为非负整数，
所有可能的取值为4，5，6．
（2）根据题意，得，
与的函数关系式为，
，
随的减小而减小，
所有可能的取值为4，5，6，
当时，值最小，，（台，
购买型号设备4台、型号设备6台最省钱，的最小值为48．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于、两点，直线交轴、轴的正半轴于、两点，，两直线相交于点．
（1）求的值与线段的长；
（2）若为直线上一动点，连接、，当时，求点的坐标；
（3）若为线段上的动点，为线段上的动点，当时，求点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，得到值，直线交轴、轴于、两点，则点、的坐标分别为：、，则；
（2）由，则，即可求解；
（3）由，得到，，即可求解．
【解答】解：（1）直线交轴于，则点，
，则点，
将点的坐标代入函数表达式得：，则，
则直线的表达式为：，
直线交轴、轴于、两点，则点、的坐标分别为：、，
则；
（2）过点作直线交轴于点，设点，
则直线的表达式为：，
则点，，则，
，则，
解得：或，
则点或，；
（3），
则，
则轴，则，
设点，则点，，
则，
解得：，
则点，．
26．（12分）【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”
经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至，使，连接．请在此基础上完成求解过程．【迁移应用】
（2）如图2，是等边三角形，点是平面上一点，连接、，将绕点沿逆时针方向旋转得到，连接，点是中点，连接，．判断与的数量关系与位置关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，若，点、分别是，上的动点，且满足，连接，点为中点，连接，求线段的最小值．
【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出，进一步得出结果；
（2）延长至，使，连接，，可得出，，进而证明，从容得出，，进而得出是等边三角形，进一步得出结论；
（3）延长至，使，连接，，作于，可推出，，从而得出，进而得出，从而得出点在与成的直线上运动，所以当时，最小，即最小，，解直角三角形求得结果．
【解答】解：如图1，
延长至，使，连接，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
延长至，使，连接，，
同理（1）可得，
，
，，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，；
（3）如图3，
延长至，使，连接，，作于，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，
点在与成的直线上运动，
当时，最小，即最小，，
作的垂直平分线，交于，
则，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
，
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/15 12:00:31；用户：陆兴华；邮箱：[email protected]；学号：22443339型
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