2023-2024学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
3．（4分）若分式的值为0，则应满足的条件是
A．B．C．D．
4．（4分）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
5．（4分）如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为
A．B．C．2D．4
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是
A．B．C．D．
7．（4分）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为
A．B．C．D．3
8．（4分）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行小时可以完成总任务，则可列方程为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）五边形的内角和为 度．
10．（4分）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则点的坐标是 ．
11．（4分）若点与点关于点对称，则 ， ．
12．（4分）如图，在中，对角线与相交于点，若，，，则线段的长为 ．
13．（4分）定义：若关于的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于的不等式组的解集是一个对称集，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）因式分解：
（1）；
（2）．
15．（10分）（1）解不等式组，并将其解集表示在所给数轴上．
（2）解分式方程：．（要求写出检验过程）
16．（8分）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将进行平移得到△，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出△，并直接写出点和的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转得到△，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出△，并直接写出点和的坐标；
（3）连接，，求证：四边形是平行四边形．
18．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点，连接．
（1）分别求点，，的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边作，连接，交于点，分别取的中点，的中点，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若，则代数式的值为 ．
20．（4分）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 ．
21．（4分）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ．
22．（4分）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ．
23．（4分）如图，已知的面积为20，，．现先将沿某一方向平移3个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2024年成都糖酒会于3月20日至3月22日举行．某商店用8000元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用10000元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高50元．
（1）第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？
（2）两批糖果均按每件300元出售，为加快销售，商家决定将最后的20件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于3600元（不考虑其他因素），求的最小值．
25．（10分）【探究发现】
某校数学兴趣小组开展了如下探究活动．
如图1，在中，，于点．设，，．
（1）请完成下列填空．
小明说：可以用含，的代数式表示，则；
小颖说：也可以用含，，的代数式表示，则 ；
小芳说：由此可以用含，的代数式表示，则 ；
亮说：可以用含，的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与的大小关系为 ；
（2）若的面积为6，求的最大值．
【迁移应用】
（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
26．（12分）如图，已知的周长为，．
（1）求线段的长；
（2）若，连接，在线段上取一点，连接．
（ⅰ）当是以为斜边的直角三角形时，求的长；
（ⅱ）作，连接，试问：是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项、、的车标均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项的车标能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2．（4分）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用提公因式法、完全平方公式、公式法和因式分解的定义，逐个分析得结论．
【解答】解：，故选项分解不正确；
故选项分解不正确；
，故选项分解正确；
，结果不是整式积的形式，故选项分解不正确．
故选：．
3．（4分）若分式的值为0，则应满足的条件是
A．B．C．D．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为0，得
且．
解得．
故选：．
4．（4分）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】由图知：①当时，；②当时，；因此当时，；由此可得解．
【解答】解：根据图示知：一次函数的图象轴、轴交于点，；
即当时函数值的范围是；
因而当不等式时，的取值范围是．
故选：．
5．（4分）如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为
A．B．C．2D．4
【分析】先根据旋转的性质得到，，再计算出，则，然后证明为等腰直角三角形，所以，从而得到的长．
【解答】解：绕着顶点顺时针旋转至处，
，，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是
A．B．C．D．
【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题．
【解答】解：如图，
分三种情况：
①当，时，点的坐标为；
②当，时，点的坐标为；
③当，时，点的坐标为；
故选：．
7．（4分）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为
A．B．C．D．3
【分析】过点作于点，由作图过程可知，为的平分线，根据角平分线的性质可得，在中，可得．
【解答】解：过点作于点．
由作图过程可知，为的平分线，
，
．
在中，，
．
故选：．
8．（4分）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行小时可以完成总任务，则可列方程为
A．B．C．D．
【分析】根据题意可知，学生组的工作效率为，家长组的工作效率为，然后根据题意即可得到方程，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）五边形的内角和为 540 度．
【分析】边形内角和公式为，把代入可求五边形内角和．
【解答】解：五边形的内角和为．
故答案为：540．
10．（4分）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则点的坐标是 ．
【分析】根据左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，即可得出答案．
【解答】解：将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则点的坐标是，即．
故答案为：．
11．（4分）若点与点关于点对称，则 1 ， ．
【分析】根据点和点关于点对称，可知点为的中点，据此可解决问题．
【解答】解：因为点与点关于点对称，
所以点为线段的中点，
所以．
故答案为：1，．
12．（4分）如图，在中，对角线与相交于点，若，，，则线段的长为 3 ．
【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的性质和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，．，
在中，．
故答案为：3．
13．（4分）定义：若关于的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于的不等式组的解集是一个对称集，则的值为 4 ．
【分析】解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解得．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
关于的不等式组的解集是一个对称集，
，
解得，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，再利用完全平方公式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式，最后利用平方差公式．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
15．（10分）（1）解不等式组，并将其解集表示在所给数轴上．
（2）解分式方程：．（要求写出检验过程）
【分析】（1）解各不等式后求得不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为，
将其解集在数轴上表示如图所示：
；
（2）原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
16．（8分）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；
（2）根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）由题意得：、3，
当时，原式．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将进行平移得到△，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出△，并直接写出点和的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转得到△，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出△，并直接写出点和的坐标；
（3）连接，，求证：四边形是平行四边形．
【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可；
（2）按要求作图，再确定所求点坐标即可；
（3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
【解答】解：（1）如图，△为所求，且，；
（2）如图，则△为所求，且，；
（3）如图，
，
且，
四边形为平行四边形．
18．（10分）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点，连接．
（1）分别求点，，的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边作，连接，交于点，分别取的中点，的中点，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
【分析】（1）分别求当时，当时，即可求解；
（2）①当点在线段上时，由三角形面积分别求出， 由可求出，代入 ，求出，从而可求出点的坐标，即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求解；
（3）作轴交于，由三角形中位线定理得，可得 ，则取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得，，由即可求解．
【解答】解：（1）对于直线，
当时，，
当时，，
解得，
，，
对于直线 ，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2），
①当点在线段上时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
经检验：是方程的解，
，
解得，
，
，
解得，
直线的函数表达式为：；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，
解得，
，
，
解得，
直线的函数表达式为：；
综上所述：直线的函数表达式为：或；
（3）如图，作轴交于，
由（1）得，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
；
故的面积为6．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若，则代数式的值为 15 ．
【分析】对多项式进行因式分解，然后将代入，即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：15．
20．（4分）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 正十二边形 ．
【分析】利用任意图形一个顶点处的各内角之和为，可以求出第三种正多边形的一个内角的度数，根据多边形外角和公式即可得出答案．
【解答】解：正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
第三种正多边形的一个内角的度数为，
第三种正多边形的边数为，
第三种正多边形的形状是正十二边形．
故答案为：正十二边形．
21．（4分）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 且 ．
【分析】先解分式方程，用含的代数式表示出，再根据分式方程的解是正数，得关于的不等式，求解即可．
【解答】解：，
去分母，得，
整理，得，
．
关于的方程的解是正数，
且．
解得且．
故答案为：且．
22．（4分）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ．
【分析】延长交于，过点作于，先证明，从而得，则，进而得，即为的平分线，再根据等腰三角形性质得：，，再由勾股定理可求出，则，在中由勾股定理可求出，进而可得，然后根据角平分线性质可得点到的距离．
【解答】解：延长交于，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即为的平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
为的平分线，
点到的距离．
故答案为：．
23．（4分）如图，已知的面积为20，，．现先将沿某一方向平移3个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 8 ，线段的最小值为 ．
【分析】根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质及勾股定理求出，；①以点为圆心，半径为3画圆，为，由题意得，沿某一方向平移3个单位长度后得到，则在上运动，连接 ，，，根据三角形三边的关系，当 ，，三点共线且在 ，的中间，此时有最大值；②过点作且，以点为圆心，半径为3画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，根据三角形三边的关系，当与重 合时，此时有最小值．
【解答】解：过点作交于点，连接，
平行四边形的面积为20，
，
，
，
，
，
，
，
①如图，以点为圆心，半径为3画圆，为，
沿某一方向平移3个单位长度后得到，
在上运动，连接 ，，，
在△中，，
当 ，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为8；
的最大值为8；
②如图，过点作且，以点为圆心，半径为3画圆，连接并延长交于于点，
，，
，
点在上运动，，
在上运动，
在 中，，
当与重合时，此时有最小值为，
的最小值为．
故答案为：8；．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2024年成都糖酒会于3月20日至3月22日举行．某商店用8000元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用10000元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高50元．
（1）第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？
（2）两批糖果均按每件300元出售，为加快销售，商家决定将最后的20件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于3600元（不考虑其他因素），求的最小值．
【分析】（1）设第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，利用购进数量进货总价进货单价，结合该商店购进第一批、第二批糖果的件数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即第一批糖果每件的进价），再将其代入中，即可求出两批糖果所购数量；
（2）利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不少于3600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：第一批糖果每件的进价是200元，两批糖果所购数量均为40件；
（2）根据题意得：，
解得：，
的最小值为6．
答：的最小值为6．
25．（10分）【探究发现】
某校数学兴趣小组开展了如下探究活动．
如图1，在中，，于点．设，，．
（1）请完成下列填空．
小明说：可以用含，的代数式表示，则；
小颖说：也可以用含，，的代数式表示，则 ；
小芳说：由此可以用含，的代数式表示，则 ；
亮说：可以用含，的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与的大小关系为 ；
（2）若的面积为6，求的最大值．
【迁移应用】
（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
【分析】（1）利用勾股定理根据在直角三角形中，在直角三角形中分别得到和用，，表示的式子，相加即可得到的值；根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到用，表示的式子；易得的斜边上的中线大于或与重合，可得与的大小关系；
（2）根据的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含的式子表示，即可得到的最大值；
（3）设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值．
【解答】解：（1），
．
，．
．
，
．
整理得：．
（取正值）．
设是的斜边上的中线．
①若为一般的直角三角形，
则．
②若为等腰直角三角形．
则．
综上．
．
故答案为：，，；
（2）的面积为6，
．
．
，
．
，
．
的最大值为；
（3）
设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．
面积为32平方米，
．
由（1）得：，
．
．
．
．
小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米．
26．（12分）如图，已知的周长为，．
（1）求线段的长；
（2）若，连接，在线段上取一点，连接．
（ⅰ）当是以为斜边的直角三角形时，求的长；
（ⅱ）作，连接，试问：是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据，，得出和的长，从而得出的长；
（2）过点作交延长线于点，利用三角形的面积求出；
将绕点顺时针旋转，得到，若，，三点共线，则成立，得出当时，，，三点共线，即当时，成立，通过计算可得．
【解答】解：（1）的周长为，
，
，
，
，，
；
（2）过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
由得，，
，即，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，若，，三点共线，则成立．
，
当时，，，三点共线，
即当时，成立，
此时，
，
，
，
．
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