2023-2024学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若分式有意义，则实数满足的条件是
A．B．C．D．
2．（4分）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上有重要影响．在下列四幅图形（杨辉三角、中国七巧板、刘徽割圆术、赵爽弦图）中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．（4分）在数轴上表示不等式的解集，正确的是
A．B．
C．D．
4．（4分）如果，那么下列不等式正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，且，，则的周长是
A．10.5B．12C．15D．18
7．（4分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
10．（4分）若分式的值为零，则的值为 ．
11．（4分）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ．
12．（4分）某网店护眼灯的进价为240元，标价320元出售．“6.18“期间，网店为扩大销量，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
13．（4分）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
15．（10分）（1）解方程：；
（2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为的值代入求值．
16．（8分）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
17．（10分）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买型充电桩与用20方元购买型充电桩的数量相等．
（1），两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划花费不超过26万元购买，两种型号的充电桩共计25个，且型充电桩的数量不少于型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？
18．（10分）如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，交于点．
（1）求证：；
（2）求证；；
（3）在点运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由．
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19．（4分）已知实数，，满足，，则的值为 ．
20．（4分）关于的分式方程有增根，则 ．
21．（4分）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于95“为一次程序操作．如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的的取值范围是 ．
22．（4分）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为4的等腰直角三角形硬纸片（其中，，，分别为，，的中点，，分别为，的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为 ．
23．（4分）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ．
二、解答题（本大题有3个小题，共30分）
24．（8分）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米秒，用了32秒．
（1）问小明第一次训练的速度是多少米秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？
（2）若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米秒？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，，的顶点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）直线经过的中点，与直线交于点（点在轴下方），且的面积为，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为轴上的动点，则在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，，连接．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点；
（3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？
2023-2024学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）若分式有意义，则实数满足的条件是
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
2．（4分）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上有重要影响．在下列四幅图形（杨辉三角、中国七巧板、刘徽割圆术、赵爽弦图）中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
3．（4分）在数轴上表示不等式的解集，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】解不等式得：，即可解答．
【解答】解：，
解得，
在数轴上表示为：
故选：．
4．（4分）如果，那么下列不等式正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：、在不等式的两边同时乘2，不等号的方向不变，即，符合题意；
、在不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，不符合题意；
、在不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，即，不符合题意；
、在不等式的两边同时加上1，不等号的方向不变，即，不符合题意；
故选：．
5．（4分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】直接根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当时，直线在直线的下方，
不等式的解集是．
故选：．
6．（4分）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，且，，则的周长是
A．10.5B．12C．15D．18
【分析】由是的边的垂直平分线，可得，则所求的周长，再将已知代入即可．
【解答】解：是的边的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：．
7．（4分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可知，装裱后的长为，宽为，再根据整幅图画宽与长的比是，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
8．（4分）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可得，根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长．
【解答】解：在平行四边形中，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
10．（4分）若分式的值为零，则的值为 2 ．
【分析】根据且即可求解．
【解答】解：依题意，且
解得：，
故答案为：2．
11．（4分）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ．
【分析】由五边形是正五边形，求得，若点在的延长线上，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：五边形是正五边形，
，
点在的延长线上，
，
，
旋转的最小度数为，
故答案为：．
12．（4分）某网店护眼灯的进价为240元，标价320元出售．“6.18“期间，网店为扩大销量，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 32 元．
【分析】设该护眼灯可降价元，根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价元，
根据题意，得，
解得，
故答案为：32．
13．（4分）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 5 ．
【分析】根据基本作图可判断平分，过点作于，再利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过作于，
由作图得：平分，
，，．
，
，
，
又，平分，
，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号，移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为．
15．（10分）（1）解方程：；
（2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为的值代入求值．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后把的值代入最简公分母进行检验即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1），
方程两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
经检验是原分式方程的解；
（2）
，
，且为整数，
，0，1，2，
，，，
，1，，
当时，原式．
16．（8分）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
【解答】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
即线段的长度为．
17．（10分）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买型充电桩与用20方元购买型充电桩的数量相等．
（1），两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划花费不超过26万元购买，两种型号的充电桩共计25个，且型充电桩的数量不少于型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？
【分析】（1）设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元，根据用15万元购买型充电桩与用20方元购买型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据该停车场计划花费不超过26万元购买，两种型号的充电桩，且型充电桩的数量不少于型充电桩数量的一半．列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型充电桩的单价是0.9万元，型充电桩的单价是1.2万元；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，15，16，
共有3种购买方案：
①购买14个型充电桩、11个型充电桩；
②购买15个型充电桩、10个型充电桩；
③购买16个型充电桩、9个型充电桩．
型机床的单价低于型机床的单价，
购买方案③总费用最少（万元）．
18．（10分）如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，交于点．
（1）求证：；
（2）求证；；
（3）在点运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）证即可得证；
（2）证得出，，从而得到，再利用勾股定理和等线段转化求证即可；
（3）等腰三角形的存在性问题首先要分类讨论，画出图形进行计算即可，在计算的过程中要用关键条件．
【解答】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
．
（2）证明：连接，
，和分别是和的中点，
，
，，
，
，，
，
，即，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
．
（3）解：，，
，
，
①当时，
，
，
，
此时，
．
②当时，则、、三点重合，此时．
③当时，
，
，
，
过作于点，过作于点，则，，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
综上，在点运动过程中，可以为等腰三角形，此时的长为：或或3．
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19．（4分）已知实数，，满足，，则的值为 42 ．
【分析】利用因式分解得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
．
故答案为：42．
20．（4分）关于的分式方程有增根，则 ．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘得：，
由题意得：是该整式方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
21．（4分）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于95“为一次程序操作．如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的的取值范围是 ．
【分析】根据运算程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得：
，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
22．（4分）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为4的等腰直角三角形硬纸片（其中，，，分别为，，的中点，，分别为，的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为 或或或 ．
【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长即可．
【解答】解：根据题意求出各个线段的长如图所示：
第一种方法：拼成平行四边形，周长；
第二种方法：拼成矩形，周长；
第三种方法：拼成直角梯形，周长．
第四种方法：拼成正方形，周长．
综上所述．拼成的四边形的周长或或或．
故答案为：或或或．
23．（4分）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ．
【分析】过作于，过作于，根据等边三角形的性质求出，设，则，结合解直角三角形求出，再根据二次函数的极值求解即可．
【解答】解：过作于，过作于，如图，
和是等边三角形，
，，，，
，
设，则，
，，
，，
，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，
故答案为：．
二、解答题（本大题有3个小题，共30分）
24．（8分）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米秒，用了32秒．
（1）问小明第一次训练的速度是多少米秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？
（2）若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米秒？
【分析】（1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；路程速度时间，代入数据解答即可；
（2）利用速度路程时间解答即可．
【解答】解：（1）由题意，设小明第一次训练的速度是米秒，
则第二次训练的速度是米秒，
，
解得：，
从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：（米，
答：小明第一次训练的速度是4米秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米；
（2）小明从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为米秒，所用时间为秒，
，
当要使所用时间小于20秒时，即，
．
要使所用时间小于20秒，则速度应不低于8米秒．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，，的顶点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）直线经过的中点，与直线交于点（点在轴下方），且的面积为，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为轴上的动点，则在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直线与轴和轴分别交于点，，则点、的坐标分别为：、，则，即可求解；
（2）由的面积，求出点，，进而求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）直线与轴和轴分别交于点，，则点、的坐标分别为：、，
则，
即点；
（2）点是的中点，则点，则，
设点，
则的面积，
解得：，
则点，，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（3）存在，理由：
设点、点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，即，
则点，；
当或为对角线时，
同理可得：或，
则，
即点，或，；
综上，点的坐标为：，或，或，．
26．（12分）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，，连接．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点；
（3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可求，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，，，由“”可证△，可得，即可得结论；
（3）由平行四边形的性质可得，，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，同理可得的长，即可求的长，即可求解．
【解答】（1）解：，，，
，
，
，
将绕点顺时针旋转得到△，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作，交于，
，
将绕点顺时针旋转得到△，
，，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
△，
，
点是的中点；
（3）解：如图2，连接，过点作于，于，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
若四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
．
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