2023-2024学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）已知，下列不等式中，一定正确的是
A．B．C．D．
3．（4分）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是
A．B．C．D．
4．（4分）要使分式无意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
5．（4分）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，C．，D．，
6．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形．
A．三B．四C．五D．六
7．（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为
A．B．C．D．
8．（4分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
10．（4分）已知一次函数，则的最大整数解是 ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点，已知点坐标为，则点坐标为 ．
12．（4分）如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为 ．
13．（4分）如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为 ．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
15．（8分）先化简，再求值：，其中．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到△，画出△，写出点的坐标为 ；
（2）画出绕点逆时针旋转后的图形△；写出点的坐标为 ．
（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）
17．（10分）在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
18．（10分）如图，在中，，，，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，，则 ．
20．（4分）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
21．（4分）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
22．（4分）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有、两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍．
（1）求、两种商品的单价；
（2）现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式：
（2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？
26．（12分）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，连接，点是的中点，求的长；
（3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点，，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长．
2023-2024学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
2．（4分）已知，下列不等式中，一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可．
【解答】解：，
，
选项正确，符合题意；
，
，
选项错误，不符合题意；
，
，
选项错误，不符合题意．
，
也可能，
选项错误，不符合题意；
故选：．
3．（4分）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是
A．B．C．D．
【分析】分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：若为腰长，为底边长，
，
能组成三角形，
它的第三边是；
若为底边长，为腰长，
，
不能组成三角形；
故选：．
4．（4分）要使分式无意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
．
故选：．
5．（4分）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
6．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形．
A．三B．四C．五D．六
【分析】利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．
【解答】解：设这个多边形边数为，内角和为，
多边形外角和为，
解得：，
故选：．
7．（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得．
【解答】解：由，将绕点逆时针旋转得到，
得，，
得，
得．
故选：．
8．（4分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式： ．
【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
10．（4分）已知一次函数，则的最大整数解是 2 ．
【分析】根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论．
【解答】解：，即，
，
的最大整数解是，
故答案为：2．
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点对应点，点对应点，已知点坐标为，则点坐标为 ．
【分析】根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位，
的对应点的坐标为．
故答案为：．
12．（4分）如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为 12 ．
【分析】设与之间的距离为，则，，，求得，，进而求得的面积．
【解答】解：四边形是平行四边形，为边的中点，
，
设与之间的距离为，
，，，
，
，
，
故答案为：12．
13．（4分）如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为28，，则的周长为 18 ．
【分析】根据题意得平分，再根据平行线的性质求解．
【解答】解：由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
故的周长为18．
故答案为：18．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）解各不等式后即可求得不等式组的解集；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为；
（2）原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
15．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到△，画出△，写出点的坐标为 ；
（2）画出绕点逆时针旋转后的图形△；写出点的坐标为 ．
（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）
【分析】（1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．
由图可得，点，
故答案为：；
（2）如图所示，△即为所求．
由图可得，点，
故答案为：．
17．（10分）在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）根据为的中垂线，可得，，从而，又因为，根据等角的余角相等可得，从而得到，故，再根据，可得四边形是平行四边形；
（2）在中，根据，，可得，，根据为的中垂线，可得，根据平行四边形面积公式即可求得面积．
【解答】（1）证明：为的中垂线，
，，
，
，，
，，
，
又，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：设于交于点，
在中，，，
，，
为的中垂线，
，
．
18．（10分）如图，在中，，，，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值．
【分析】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得；
（2）连接，证明，得，，从而，根据为的中点，有，证明，得，故；
（3）在上取，使，连接，证明，得，故当最小时，最小，此时，求出，从而知的最小值为．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
线段的长为；
（2），理由如下：
连接，如图：
把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，，，
，
，
；
（3）在上取，使，连接，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
把线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
当最小时，最小，此时，如图：
，
是等腰直角三角形，
，
，
的最小值为．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，，则 24 ．
【分析】求出，可得结论．
【解答】解：，，
．
20．（4分）若关于的分式方程有增根，则的值是 2 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【解答】解：方程两边都乘以，得：，
分式方程有增根，
，即，
将代入，得：，
故答案为：2．
21．（4分）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：的解集是，
，，
，
，
，
．
22．（4分）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则 ．
【分析】要求线段长度，优先考虑勾股定理，所以可围绕构造直角三角形，根据题干条件有等腰三角形、对称、中点，先连接证是直角三角形，从而求出长度，再利用等腰三角形三线合一作，求出，证△得到，作于点，得到，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：对称，
，，，
，
，，
，
根据三角形内角和可得，
连接，则是直角三角形，
在中，，
在中，，
作于点，
，
，
又，，
△，
，
作于点，
在中，，
是中点，
，
在中，，
，
在中，．
故答案为：．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是 ， ．
【分析】连接，将绕点逆时针旋转至，则点在直线上，作轴于，设，先表示出的坐标，进而表示出点坐标，进一步得出结果．
【解答】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转至，则点在直线上，
作轴于，设，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，．
二、解答题（共30分）
24．（8分）2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有、两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍．
（1）求、两种商品的单价；
（2）现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？
【分析】（1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，利用数量总价单价，结合360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即种商品的单价），再将其代入中，即可求出种商品的单价；
（2）设购买件种商品，则购买件种商品，根据“购买费用不超过4590元，且购买种商品数量少于种商品数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有10种采购方案．
【解答】解：（1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种商品的单价为36元，种商品的单价为45元；
（2）设购买件种商品，则购买件种商品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，
共有10种采购方案．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式：
（2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？
【分析】（1）直线关于轴对称的直线与轴交于点，则直线和关于轴对称，即可求解；
（2）由题意得，点和点关于轴对称时，符合题设条件，当且也符合题意，即可求解；
（3）求出点、的坐标分别为：、，，设（定值），即可求解．
【解答】解：（1）直线关于轴对称的直线与轴交于点，
则直线和关于轴对称，
则直线的表达式为：；
（2）由题意得，点和点关于轴对称时，符合题设条件，
即点；
当且也符合题意，设点，
则且，
解得：，即点，，
综上，或，；
（3）点在直线上，横坐标为，则点，，
设直线的表达式为：，
则点、的坐标分别为：、，，
设（定值），
则，
解得：．
26．（12分）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，连接，点是的中点，求的长；
（3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点，，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长．
【分析】（1）分别求出和长，利用面积公式计算即可；
（2）过作的垂线，垂足为，交与，与的延长线交于，求出，，证明出，求出，在中利用勾股定理计算即可；
（3）延长、，交于点，取、中点、，连接，当点位于点处时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点处时，点与点重合，中点与中点重合，即中点的运动路径长为的长，再利用中位线定理求出即可．
【解答】解：（1）如图1，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，过作的垂线，垂足为，交与，与的延长线交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图3，延长、，交于点，取、中点、，连接，
当点位于点处时，
，
点与点重合，中点与中点重合，
当点运动到点处时，
，
点与点重合，中点与中点重合，
中点的运动路径长为的长，
、为、的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
中点的运动路径长为8．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/15 12:17:28；用户：陆兴华；邮箱：[email protected]；学号：22443339