复习专题06 几何图形初步（3重点串讲+17考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1：认识几何图形
1.立体图形
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
【补充】
1）同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
2）不是所有的立体图形都有平面展开图，比如：球.
3）常见的立体图形的种类：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
4）常见立方体图形平面展开图：
2.平面图形
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.
【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.
【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.
3.点、线、面、体
1）定义
2）点、线、面、体之间的关系
知识点2： 直线，射线，线段
2、有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
3、线段的性质
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量.
线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
4、线段的中点
线段的中点：如图，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.
几何描述：∵点C为线段AB的中点 ∴AC=BC=12AB 或AB=2AC=2BC
【补充说明】
1）线段的中点只有一个；
2）某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：
①点必须在这条直线上.②它把这条线段分为两条相等的两条线段.
[易错点]若AM＝BM，则点M不一定是线段AB的中点（点M可能在线段AB外）.
3）线段的三等分点有两个，四等分点有三个，且这些点都在线段上.
知识点3： 角
1、角的定义
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.
2、角的表示方法
角的几何符号为“∠”，表示方法有以下四种：
注意：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.
3、角的换算方法：
1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；
2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，.
4、角平分线
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
角平分线的性质：若OC是∠AOB的角平分线，则；反之，若，则OC是∠AOB的角平分线.
考点剖析
【考点1】几何图形的初步
1．（24-25七年级上·全国·期中）（1）如图是一些基本立体图形，在括号里写出它们的名称．
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．
【答案】（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；（2）见解析
【分析】本题考查的是几何体的分类；
（1）根据各个几何体的特征即可得到结果；
（2）可按面分，也可按柱体分，方法不一．
【详解】解：（1）（从左至右）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；
（2）按面分：曲面：球、圆柱、圆锥；平面：长方体、三棱柱．
2．（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体按名称分类：
柱体有______；
锥体有______；
球体有______．（请填写序号）
【答案】（1）（2）（3），（5），（4）
【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．根据柱体、锥体、球体进行分类求解．
【详解】解：根据图形可知
柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）；
锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）
球体属于单独的一类，球有（4）．
故答案为：（1）（2）（3），（5），（4）．
3．（2022七年级上·浙江·专题练习）例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图．
(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入表中（其中（a）已填好）．
(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边？
【答案】(1)见解析
(2)顶点数+区域数−边数=1
(3)边数为1997条
【分析】（1）根据图示分析即可解；
（2）根据表格的分析结果可解；
（3）根据（2）中所得出的关系即可得出答案．
【详解】（1）解：所填表如下所示：
（2）解：由（1）中的结论得：设顶点数为n，
则边数=n+n2=3n2；区域数=n2+1，即顶点数+区域数−边数=1；
（3）解：某一平面图有999个顶点和999个区域，根据（2）中推断出的关系有999+999−边数=1，
解得：边数为1997条．
【点睛】本题考查了平面图形的知识，注意从特殊情况入手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本题的关键．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱锥；⑥球．回答下面的问题：（用序号填空）
(1)表面都是平面的是 ，表面没有平面的是 ，表面既有平面又有曲面的是 ；
(2)只有一个表面的是 ，有两个表面的是 ，有三个表面的是 ，有四个表面的是 ，有六个表面的是 ；
(3)面与面相交都是直线的是 ，面与面相交都是曲线的是 ．
【答案】(1)①②⑤，⑥，③④
(2)⑥，④，③，⑤，①②
(3)①②⑤，③④
【分析】本题主要考查了常见的立体图形的特征，
（1）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；
（2）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；
（3）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；
熟练掌握它们的特征是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵正方体①由六个完全相同的正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，三棱锥⑤由多个三角形平面组成，
∴表面都是平面的是①②⑤，
∵ 球体⑥的表面是完全弯曲的，没有平的面，
∴表面没有平面的是⑥，
∵ 圆柱③由两个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，圆锥④由一个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，
∴表面既有平面又有曲面的是③④，
故答案为：①②⑤，⑥，③④；
（2）∵ 球体⑥整个外表面是一个连续的曲面，只有一个表面，
∴只有一个表面的是⑥，
∵圆锥④由一个底面圆形平面和一个弯曲的侧面组成，共两个面，
∴有两个表面的是④，
∵圆柱③由两个圆形底面和一个弯曲的侧面组成，共三个面，
∴有三个表面的是③，
∵三棱锥⑤由三个三角形侧面和一个三角形底面组成，共四个面，
∴有四个表面的是⑤，
∵正方体①由六个正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，
∴有六个表面的是①②；
故答案为：⑥，④，③，⑤，①②；
（3）∵正方体①、长方体②、三棱锥⑤的面与面相交的线都是直线，
∴面与面相交都是直线的是①②⑤，
∵圆柱③和圆锥④的面与面相交的线都是曲线，
∴面与面相交都是曲线的是③④，
故答案为：①②⑤，③④．
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【考点2】识别正方体的展开图
5．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）请在下图中①②③的方格纸上分别用阴影补画一个正方形，使它与原有的阴影正方形拼在一起折叠后可以围成一个正方体．（每图画一种）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作图应用与设计作图，正方体的展开图，熟记正方体展开图的常见的11种形式是解题的关键．根据正方体11种展开图进行求解即可．
【详解】解：如图，（画出一种即可）
如图，（画出一种即可）
如图，（画出一种即可）
6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图．

(1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体；
(2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值．
【答案】(1)见解析
(2)x=1，y=−1
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（1）根据正方体的展开与折叠解答即可；
（2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值．
【详解】（1）解：如图所示．（答案不唯一，任选两种即可）
（2）解：根据题意，得x+1=2，即x=1，
因为−x=y，
所以y=−1．
7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）问题情景：2024年6月5日是第53个世界环境日，某校七（5）班综合实践小组进行废物再利用的环保小达人行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；（填字母）
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“达”字相对的是_________；
(3)在活动中发现，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小刚准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为xcmxb，其他条件都不变，直接写出MN的长度．
【答案】(1)6cm或14cm
(2)MN=12(a+b)或MN=12(a−b)
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，注意分类讨论：
（1）分点C在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况进行讨论求解即可；
（2）同法（1）进行求解即可．
【详解】（1）解：当点C在线段AB上时：
∵M，N分别为线段AB,BC的中点，
∴AM=BM=12AB，CN=BN=12BC，
∴MN=BM−BN=12BC−12AB=10−4=6cm；
当点C在线段AB的延长线上时：
∵M，N分别为线段AB,BC的中点，
∴AM=BM=12AB，CN=BN=12BC，
∴MN=BM+BN=12BC+12AB=10+4=14cm；
综上：MN=6cm或14cm；
（2）解：当点C在线段AB上时：
∵M，N分别为线段AB,BC的中点，
∴AM=BM=12AB，CN=BN=12BC，
∴MN=BM−BN=12BC−12AB=12a−b；
当点C在线段AB的延长线上时：
∵M，N分别为线段AB,BC的中点，
∴AM=BM=12AB，CN=BN=12BC，
∴MN=BM+BN=12BC+12AB=12a+b；
综上：MN=12(a+b)或MN=12(a−b)．
【考点10】与线段有关的动点问题
30．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，线段AB=24，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示PB的长
(2)当点P在射线AB上运动时，出发多少秒后PB=2AM？
(3)当点P在线段AB的延长线上运动时，点N为BP的中点，有下列结论：①MN的长度不变；②MA+PN的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值．
【答案】(1)24−2t或2t−24；
(2)当点P在射线AB上运动时，出发6秒后PB=2AM；
(3)①，12．
【分析】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）先表示出AP=2t，再根据点P的位置分别表示出PB的长即可；
（2）根据题意得AM=12AP=t，根据点P的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可；
（3）当点P在线段AB的延长线上运动时，根据线段中点，得到AM=12AP=t，BN=PN=12PB=t−12，再计算线段的和差即可．
【详解】（1）解：设点P运动的时间为t秒，则AP=2t，
当点P在线段AB上时，PB=AB−AP=24−2t，
当点P在AB的延长线上时，PB=AP−AB=2t−24，
综上可知，PB的长为24−2t或2t−24；
（2）解：∵AP=2t，点M为AP的中点，
∴AM=12AP=t，
①当点P在线段AB上时，此时0