复习专题01 有理数（6重点串讲+15考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1：用正、负数表示具有相反意义的量
具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义；②有数量.
【补充说明】
1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的.
2）在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3）具有相反意义的量必须是同类量，如亏损30元与上升10米就不是具有相反意义的量；
3）与一个量具有相反意义的量不止有一个，即具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与盈利100元是相反意义的量有很多，如亏损50元、亏损150元、亏损200元等；
4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北，收入与支出等.
知识点2：有理数的分类
有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.
例：0.53（分数形式：53100），1.333333…（分数形式：43），4，整数3（分数形式：31）等.
有理数分类：
【易错点】带“非”字有理数分类时忽律0.
知识点3：数轴
数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
数轴的画法：
1）画一条直线；
2）在这条直线上任取一点作为原点，这点表示0；
3）确定正方向：通常规定直线上向右为正方向，画上箭头；
4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
知识点4：相反数
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.
性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.
2）一个有理数有且只有一个相反数；
3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
【补充】0是唯一一个相反数等于本身的数.
知识点5：绝对值
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即
知识点6：有理数比较大小
考点剖析
【考点1】用正、负数表示具有相反意义的量
1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向东运动4m，那么−2m表示 ．
2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）人体正常体温平均为36.5°C，如果某温度高于36.5°C，那么高出的部分记为正；如果温度低于36.5°C，那么低于的部分记为负，国庆假期间某同学在家测的体温为38.3°C应记为 °C；
3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如图所示是某用户微信的账单情况，+41.00元表示收款41.00元，则−5.50元表示 ．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）根据正数或负数的意义填空：
（1）如果收入20元记作+20元，那么支出100元记作 元；
（2）如果水位上升2米时水位变化记作+2米，那么水位下降2米时水位变化记作 米；
（3）如果向南走20米记作−20米，那么向北走70米记作 米．
【考点2】0的意义
5．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数．
A．1B．2C．3D．4
6．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ）
A．0℃是一个确定的温度B．海拔0m表示没有海拔
C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻D．在二进制中，0是基本的数字表示
7．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个．
①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．
【考点3】有理数的分类
8．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：
3，−7，−23，5.6，0，−814，15，19．
正数集合：{____________________…}；
负数集合：{____________________…}；
整数集合：{____________________…}；
分数集合：{____________________…}．
9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的集合里．
0.3，−21，π3，0.6，−57，0，−3.1，215，10，−2.01001（每相邻两个1之间依次多一个0），2.3%．
分数集合：{____________________________________…}；
负有理数集合：{____________________________________…}；
非负整数集合：{____________________________________…}．
10．（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）把下列各数填入相应的括号内．
−12，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%，0．
(1)正分数：｛ }
(2)非负整数：｛ }
(3)负有理数：｛ }
(4)非负数：｛ }
【考点4】用数轴上的点表示有理数
11．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“0
20．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①a−1b−1>0；②a−1b+10；④a+1b−10；
②c−a0；
④aa+bb+cc=1，正确的有 （填入所有正确结论的序号）．
【考点8】化简多重符号
24．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题：
（1）−−2=________；
（2）+−15=________；
（3）−−−4=________；
（4）−−+3.5=________；
（5）−−−−5=________；
问：
①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是________；
②当−5的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；
由①②你能总结出什么规律？
【考点9】相反数的应用
25．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）若a与b互为相反数，c、d互为倒数，则2019(a+b)−2020cd的值是多少？
26．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图是一个长方体的展开图，若将这个展开图折叠成一个长方体后，相对面上的两个数字互为相反数，求xy−z的值．
27．（23-24七年级上·广西来宾·期中）若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m=2．
（1）填空：a+b=______；cd=______；m=______．
（2）求a+b4m+m2−3cd的值．
【考点10】化简绝对值
28．（24-25七年级上·山西大同·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且a>b，则a−b=_____，a+b=_____，a+c=_____，b−c=_____，化简c−a+−b+−a=_____
29．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，a,b,c是数轴上A,B,C三个点所对应的实数．
(1)化简：c2−a−b+3(a+b)3−b−c；
(2)计算：aa+bb+cc．
30．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】
【提出问题】两个有理数a、b满足a、b同号，求aa+bb的值．
【解决问题】
解：由a、b同号，可知a、b有两种可能：①当a，b都正数；②当a，b都是负数．
①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有a=a，b=b，aa+bb则=aa+bb=1+1=2；
②若a、b都是负数，即a