第02讲 平行线的性质与判定（知识串讲+12考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD.
【补充说明】
1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件.
2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的前提条件：经过直线外一点.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.
【拓展】
1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.
2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
平行线的判定
平行线的性质：
【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.
【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
考点一： 平面内两直线的位置关系
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
∴ a∥b，
故选：C．
2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线l1，l2，l3，⋯l12，若l1⊥l2， l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，…，依此类推，则l1与l12的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”）
【答案】平行
【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知l1与l12的位置关系是平行．
【详解】解：∵l1⊥l2， l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8…，
∴l2⊥l12，
∵l1⊥l2，
∴l1∥l12，
故答案为∶平行．
3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设a，b，l为平面内三条不同直线．①若a∥b，l⊥a，则l与b的位置关系是 ；②若l⊥a，l⊥b，则a与b的位置关系是 ；③若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是 ．
【答案】 垂直 平行 平行
【分析】本题考查平行线的判定．利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③．
【详解】解：①如图，∵l⊥a，
∴∠1=90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠1=90°，
∴l⊥b，
∴l与b的位置关系是垂直；
②若l⊥a，l⊥b，则a与b的位置关系是平行；
③若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是平行．
故答案为：垂直；平行；平行．
4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
（1）若a与b没有公共点，则a与b ；
（2）若a与b有且只有一个公共点，则a与b ；
（3）若a与b有两个公共点，则a与b ．
【答案】 互相平行 相交 重合
考点二： 用直尺、三角尺画平行线
5．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线a,b，用推三角尺的方法验证，其中a∥b的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定．
【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中a∥b的有①②③，
故答案为：①②③．
6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线l以及直线l外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ．
【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案．
【详解】解：直线l以及直线l外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行；
故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行；
7．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线a和直线外一点P，我们可以用直尺和三角尺，过点P画已知直线a的平行线b．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线b；④用三角尺的一边紧贴住直线a；正确的操作顺序是： ．（填序号）

【答案】④②①③
【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点P画已知直线b的平行线a的操作步骤”即可作答；
【详解】解：正确的步骤是：
④用三角尺的一边贴住直线a；
②用直尺紧靠三角尺的另一边；
①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；
③沿三角尺的边作出直线b；
故答案为：④②①③；
QUOTE ? 考点三： 平行公理推论的应用
8．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，AB是地平线，当∠1=∠2时，PM∥AB；∠3=∠4时，PN∥AB，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴PM∥AB，
∵∠3=∠4，
∴PN∥AB，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点N，P，M在同一条直线上，
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，AB∥CD，AB∥EO，经测量发现∠1=106°，则∠2的度数是 度．
【答案】74
【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出∠OCD，再根据平行公理的推论得出EO∥CD，最后平行线的性质得到∠2=∠OCD，即可求解．
【详解】解：∵∠1=106°，
∴∠OCD=180°−∠1=74°
∵AB∥CD，AB∥EO，
∴EO∥CD
∴∠2=∠OCD=74°
故答案为：74．
10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠2=56°，则∠1= ．
【答案】34°/34度
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差等相关知识，作BD∥l2，则∠2=∠ABD=56°，则BD∥l1∥l2，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】如图，作BD∥l2，则∠2=∠ABD=56°，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠CBD=∠1，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠1=90°，
∴∠1=34°，
故答案为：34°．
11．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF=130°，∠BCD=120°，则∠CDE的度数为 ．

【答案】100°/100度
【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点D作DH∥AC，过点E作EG∥MN，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点D作DH∥AC，过点E作EG∥MN，则DH∥AC∥MN∥EG ,

∴∠ACD+∠CDH=180°,∠GEF+∠EFN=180°,∠GEF=∠MFM,∠HDE=∠DEG,
∵EF⊥MN，∠DEF=130°，∠BCD=120°，
∴∠CDH=60°，∠GEF=∠EFM=90°，∠DEG=∠DEF−∠GEF=40°，
∵DH∥EG，
∴∠HDE=∠DEG=40°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=100°，
故答案为：100°．
考点四： 根据已知条件判定两直线能否平行
12．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（ ）
①∵∠1=∠3，∴AB∥CD；
②∵∠2=∠4，∴AD∥BC；
③∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AD∥CD；
④∵∠1+∠2+∠B=180°，∴BC∥AD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解．
【详解】解：①∵∠1=∠3，
∴AD∥BC，故错误；
②∵∠2=∠4，
∴AB∥CD，故错误；
③∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，故错误；
④∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴AD∥BC，故正确．
故选：A．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠1=∠4
C．∠2+∠3=180°D．∠3=∠5
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键．根据两直线平行同旁内角互补，同位角、内错角相等逐项判断即可．
【详解】解：A、∠1和∠3不是同位角，也不是内错角，所以∠1=∠3不能判断l1∥l2，故A选项符合题意；
B、∠1和∠4是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以∠1=∠4能判断l1∥l2，故B选项不符合题意；
C、∠2和∠3是同旁内角，所以∠2+∠3=180°能判断l1∥l2，故C选项不符合题意；
D、∠3和∠5是同位角，所以∠3=∠5能判断l1∥l2，故D选项不符合题意；
故选：A．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．其中能判定AB∥CD的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选：D．
考点五： 添加一个条件使两直线平行
15．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，B，D分别在AF,CE上，添加条件， 即可判定AD∥BC．（写出一个即可）
【答案】∠BAD=∠CBF（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解．
【详解】解：添加∠BAD=∠CBF，理由：
∵∠BAD=∠CBF，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠BAD=∠CBF（答案不唯一）
16．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知∠EBF，点A，C分别在射线BE，BF上，点D为∠EBF内一点，连接AD，CD，不添加辅助线，请添加一个条件使得AD∥BF，则可添加为 ．（写出一个即可）
【答案】∠EAD=∠B（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．
【详解】解：添加∠EAD=∠B利用同位角相等，两直线平行判定AD∥BF；
添加∠D=∠DCF利用内错角相等，两直线平行判定AD∥BF；
添加∠DAB+∠B=180°利用同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BF．
故答案为：∠EAD=∠B(答案不唯一)·
17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在DC的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使AB∥CD．
【答案】∠3=∠4 (答案不唯一)
【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
根据平行线的判定求解作答即可．
【详解】解：由题意知，∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，
故答案为：∠3=∠4（答案不唯一）．
18．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线l1∥l2”，需要添加的条件是 （只填一个即可）
【答案】∠1=∠3（或∠4=∠5或∠2+∠4=180°）
【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案．
【详解】解：要使直线l1∥l2，则需要添加的条件可以为∠1=∠3，也可以为∠4=∠5，也可以为∠2+∠4=180°，
故答案为：∠1=∠3（或∠4=∠5或∠2+∠4=180°）．
QUOTE 考点六： 证明两直线平行
19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，试说明AD∥CF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由∠A+∠1=180°可得AD∥BE，又由∠2+∠C=180°可得CF∥BE，则AD∥CF．
【详解】解：∵∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，
∴∠A+∠1=114°+66°=180°，
∴AD∥BE，
∵∠C+∠2=135°+45°=180°，
∴CF∥BE，
∴AD∥CF．
20．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE与CF平行吗？
【答案】BE∥CF，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到∠EBC=∠BCF是解题的关键．由AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠BCD=90°，继而∠EBC=∠BCF，即可求证．
【详解】解：BE∥CF，理由如下，
证明，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠BCF，
∴BE∥CF．
21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BF=CE．AE与DF平行吗？请说明理由．
【答案】AE∥DF，理由见解析
【分析】本题考查的知识点是平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
先根据平行线的性质推得∠ABE=∠DCF，再推得BE=CF即可根据“边角边”证明△ABE≌△DCF，根据全等三角形性质可得∠AEB=∠DFC，结合点E、F在BC上，推得∠AEF=∠DFE即可证明AE∥DF．
【详解】解：AE∥DF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵BF=CE，
∴BF−EF=CE−EF，
即BE=CF，
∵在△ABE和△DCF中，
AB=CD∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCFSAS，
∴∠AEB=∠DFC，
又点E、F在BC上，
∴180°−∠AEB=180°−∠DFC，
即∠AEF=∠DFE，
∴AE∥DF．
22．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知∠E=∠1，∠3=∠2，试说明：AB∥EC．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用∠E=∠1，∠1=∠2，∠3=∠2，等量代换得出∠E=∠3，即可判定．
【详解】证明：∵∠E=∠1，∠1=∠2，
∴∠E=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AB∥EC（内错角相等，两直线平行）．
考点七： 补全两直线的证明过程
23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形ABC中，点E在BC上，CD⊥AB于D，EG⊥AB于G，∠FDC=∠BEG．求证：∠DFC+∠FCB=180°．请将下列证明过程补充完整：
证明：∵CD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BGE=90°，∠BDC=90°（____________________）
∴∠BGE=∠BDC=90°
∴GE∥DC（____________________）
∴∠BEG=∠BCD（____________________）
∵∠FDC=∠BEG
∴∠FDC=__________
∴DF∥__________（____________________）
∴∠DFC+∠FCB=180°
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BCD；BC；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得∠BGE=∠BDC=90°，推出GE∥DC，根据平行线的性质得∠BEG=∠BCD，继而得到∠FDC=∠BCD，DF∥BC，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵CD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BGE=90°，∠BDC=90°，（垂直的定义）
∴∠BGE=∠BDC=90°，
∴GE∥DC，（同位角相等，两直线平行）
∴∠BEG=∠BCD，（两直线平行，同位角相等）
∵∠FDC=∠BEG，
∴∠FDC=∠BCD，
∴DF∥BC，（内错角相等，两直线平行）
∴∠DFC+∠FCB=180°．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BCD；BC；内错角相等，两直线平行．
24．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB．
解：因为BE平分∠ABC，
所以 （ ）
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以 （ ），
所以∠A+∠ABC=180°（ ）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以DF∥AB（ ）
【答案】∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】解：因为BE平分∠ABC，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以∠A+∠ABC=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以∠3=∠A（同角的补角相等），
所以DF∥AB（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ∠1=∠2，∠3+∠4=180°，试说明：a∥c．
解：因为∠1=∠2，
所以 ∥ （ ）
又因为∠3+∠4=180°，
所以 ∥ （ ）
所以a∥c（ ）
【答案】a,b；内错角相等，两直线平行；b,c；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出a∥b，b∥c，即可推出答案．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b (内错角相等，两直线平行)，
∵∠3+∠4=180°，
∴b∥c (同旁内角互补，两直线平行)，
∴a∥c (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，
故答案为：a,b；内错角相等，两直线平行；b,c；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点E,F分别在AB,CD上，BC交AF于点G，交DE于点H,∠1=∠2,∠A=∠D．
(1)AF与ED平行吗？请说明理由．
(2)试说明∠B=∠C．
解：（1）AF∥ED．理由如下：
因为∠1=∠2，（已知），∠1=∠CHD（_______），
所以∠2=∠_______（_______），
所以_______∥_______（_______）．
（2）因为AF∥ED（已知），
所以∠AFC=∠_______（________）．
又因为∠A=∠D，（已知）
所以∠A=∠______（_______）．
所以_______∥_______（_______），
所以∠B=∠C（_______）．
【答案】(1)AF∥ED．理由见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
（1）首先根据对顶角相等得到∠1=∠CHD，然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可；
（2）首先得到∠AFC=∠D，推出∠A=∠AFC，然后证明出AB∥CD，即可得到∠B=∠C．
【详解】（1）解：（1）AF∥ED．理由如下：
因为∠1=∠2（已知），∠1=∠CHD（对顶角相等），
所以∠2=∠CHD（等量代换），
所以AF∥ED（同位角相等，两直线平行）；
（2）因为AF∥ED（已知），
所以∠AFC=∠D（两直线平行，同位角相等）．
又因为∠A=∠D（已知），
所以∠A=∠AFC（等量代换），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
所以∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
考点八： 利用平行线的性质求解
27．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，AB∥CD，∠A=105°，∠C=120°，则∠1= ．
【答案】45°/45度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点E作EF∥AB，分别得∠2=75°，∠3=60°，再根据邻补角互补列式计算，即可作答．
【详解】解：过点E作EF∥AB，如图所示：
∵EF∥AB，
∴∠2+∠A=180°，
∵∠A=105°，
∴∠2=75°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠3+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠3=60°，
∴∠1=180°−∠2−∠3=45°，
故答案为：45°．
28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC．如果∠ABC=31°，∠ADE= ．
【答案】31°
【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．直接根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】解：∴DE∥BC, ∠ABC=31°，
∴∠ABC=∠ADE=31°，
故答案为：31°
29．（2024·江苏常州·一模）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，AB⊥BC，若∠1=44°，则∠2= °．
【答案】46
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点B作射线BD∥a，再根据a∥b，得出∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，再根据AB⊥BC即可求解．
【详解】解：过点B作射线BD∥a，如图所示，
∵BD∥a，
∴∠1=∠ABD，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠CBD，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠1+∠2=90°，
∵∠1=44°，
∴∠2=90°−∠1=46°．
故答案为：46．
30．（22-23九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=24°，则∠2等于 度．
【答案】114
【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得∠BAC=∠C,又∠BAC=∠1+∠DAC=24°+90°=114°，即可得∠2=114°.
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠BAC=∠2,
∵∠BAC=∠1+∠DAC=24°+90°=114°
∴∠2=114°.
故答案为：114.
考点九： 利用平行线的性质解决实际生活问题
31．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果管道AB与纵向联通管道的夹角∠A=100°，那么管道CD与纵向联通管道的夹角∠C的度数等于 ．
【答案】80°/80度
【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A=80°；
故答案为：80°．
32．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠2=58°，则∠1的度数为 ．
【答案】122°/122度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出∠3=58°，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵水中的两条光线平行，∠2=58°，
∴∠2=∠3=58°，
∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1=122°，
故答案为：122°．
33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=120°，若此时CD平行地面AE，则∠BCD= 度．
【答案】150
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作BF∥CD，可得∠ABF=90°，进而得到∠FBC=120°−90°=30°，由∠BCD+∠FBC=180°即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
∵CD平行地面AE，
∴BF∥AE，
∵AB⊥AE，
∴∠ABF=90°
∵∠ABC=120°，
∴ ∠FBC=120°−90°=30°，
∵ BF∥CD，
∴∠BCD+∠FBC=180°，
∴∠BCD=180°−30°=150°，
故答案为：150．
34．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=79°，∠ECD=108°．则∠E的度数为 ．
【答案】29°/29度
【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出∠EAB=∠EFC=79°，进而利用三角形的外角得出答案；
【详解】如图所示：延长DC交AE于点F，
∵ AB∥CD，∠EAB=79°，
∴∠EAB=∠EFC=79°，
∵∠ECD=∠E+∠EFC，
∴∠E=∠ECD−∠EFC，
∵∠ECD=108°，
∴∠E=108°−79°=29°．

故答案为：29°．
35．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=110°．
(1)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数；
(2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数．
【答案】(1)60°
(2)60°
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点C作CF//BE，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作CF∥BE，
∴∠BCF+∠CBE=180°，
∵∠CBE=130°，
∴∠BCF=50°，
∵∠BCD=110°，
∴∠DCF=∠BCD−∠BCF=60°，
∵BE∥MN，
∴CF∥MN，
∴∠CDM=∠DCF=60°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠ABC=70°，
∵∠CBE=130°，
∴∠ABE=∠CBE−∠ABC=60°．
考点十： 利用平行线间的距离解决问题
36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形ABCD内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，试判断：S△ABD_________S△ACD（请填 “>”、“”、“