第05讲 平方根（知识串讲+11考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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1. 算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1.
性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
算术平方根 QUOTE QUOTE (a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；
2）算术平方根本身具有非负性，即 QUOTE QUOTE ≥0；
【小结】即在式子 QUOTE 中，a≥0且 QUOTE QUOTE ≥0.
两个重要等式：1） QUOTE ?2=???? ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
2. 平方根
定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.
【补充】平方根等于本身的数只有0.
性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
3. 开平方
定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号.
【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数；
2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；
3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
考点一： 求一个数的算术平方根
1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：4= ．
【答案】2
【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：4=2．
故答案为：2．
2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）16的算术平方根等于（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简16，再根据算术平方根的意义求解即可．
【详解】解：∵16=4，
∴16的算术平方根等于4=2．
故选：C．
3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A．3B．9C．3D．−3
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．
【详解】解：第一次输入x=81，则81=9，是有理数；
第二次输入x=9，则9=3，是有理数；
第三次输入x=3，则3不是有理数，所以输出y=3，
故选：A．
考点二： 利用算术平方根的非负性求解
4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若a−17+b−12=0，则a−b的算术平方根为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到a−17=0，b−1=0，则a=17，b=1；对于两个实数a、b若a为非负数且满足a2=b，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵a−17+b−12=0，a−17≥0，b−12≥0，
∴a−17=b−12=0，
∴a−17=0，b−1=0，
∴a=17，b=1，
∴a−b=17−1=16=4，
∴a−b的算术平方根为2，
故答案为：2．
5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若x+8+|y+2|=0，则xy的值为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x+8+|y+2|=0，，
∴x+8=0,|y+2|=0，
∴x+8=0,y+2=0，
∴x=−8,y=−2，
∴xy=−8×−2=16．
故答案为：16．
6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足x−4+y+11=0，则x−y+1的值为 ．
【答案】16
【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵ |x−4|+y+11=0，
∴x−4=0，y+11=0，
解得：x=4，y=−11，
则x−y+1=4−−11+1=16，
故答案为：16．
7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知x、y为实数，且y=x−2009+2009−x+1，则x+y=
【答案】2010
【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由x−2009≥02009−x≥0得到x=2009，则y=1，即可求解x+y的值．
【详解】解：由题意得x−2009≥02009−x≥0，
则x=2009，
∴y=1，
∴x+y=2009+1=2010，
故答案为：2010．
考点三： 估计算术平方根的取值范围
8．（2024·湖南长沙·二模）若3