十五章 轴对称 微专题03 等腰（等边）三角形的手拉手模型通关专练(原卷版+解析版）-人教版初中数学8上

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微专题03 等腰（等边）手拉手模型通关专练 一、单选题1．如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD =∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长．【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得kBC+ECDC为定值a，则k和a分别是（    ）    A．k=12，a=1B．k=13，a=1C．k=1，a=32D．k=2，a=3【答案】A【分析】在BC上截取CG=CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG=EC，即可求解．【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，  ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∵ F是AC的中点，∴CF=CG=12AB=12BC，∴△FCG是等边三角形，∴∠GFC=60°，FG=CF，∵△DFE是等边三角形，∴FD=FE，∠DFE=60°，∴∠DFG=∠EFC，在△DFG与△EFC中，FD=EF∠DFG=∠EFCFG＝CF，∴△DFG≌△EFCSAS．∴DG=EC，∴CF+EC=CD，∴12BC+EC=CD，∴12BC+ECCD=1，∴ k=12，a=1；故选：A．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）  A．∠AOB=60°B．AP=BQC．PQ∥AED．DE=DP【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB与△CPA中，{∠ACP=∠BCQAC=BC∠PAC=∠CBQ，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．5．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【分析】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AE＝CD，∠AHD＝∠ABG＝60°；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，BA=BD∠ABE＝∠DBCBE=BC ∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确；在△AGB和△DFB中，∠BAG=∠BDFAB=DB∠ABG＝∠DBF＝60° ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB＝∠ABD＝60°，∴FG∥AC，故⑤正确；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误；根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解．6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；则下列结论中正确的有（　　）  ①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=S四边形ADCE；④BC−12EF=2AD−CFA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，由SAS证得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，则∠ECB=90°，即EC⊥BF，易证∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，则BD=12EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-12EF=2AD-CF，即可得出结果．【详解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，∴∠ECB=90°，∴EC⊥BF，∵∠B=45°，∠BAD=15°，∴∠ADF=60°，∴∠F=30°，∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，∴BD=12EF，∵BC-BD=DF-CF，∴BC-12EF=2AD-CF，∴①、②、③、④正确．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．7．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　　）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】由题意易得∠AOC=∠BOD，然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD（AAS），∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正确；所以正确的个数有4个；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ）  A．43B．23+6C．3+3D．63【答案】A【分析】以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，先根据“SAS”证明△FBE≅△ABD，从而得出FE=AD，然后根据∠FAB=60°，∠BAC=120°可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得AD+CE的最小值为CF，即可求解．【详解】解：以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，  ∵△BED和△ABF都是等边三角形，∴∠ABF=∠EBD=60°=∠FAB，BE=BD，BF=AB=AF，∴∠FBE=∠ABD，∴△FBE≅△ABD（SAS），∴FE=AD，∵∠FAB=60°，∠BAC=120°，  ∴∠FAB+∠BAC=180°∴F，A，C在同一条直线上，∵FE=AD，∴AD+CE=FE+CE≥CF，当C，E，F在同一直线上时，AD+CE取最小值，最小值为CF，∵AB=AC=23，AB=AF，∴AF=23，∴CF=43，即AD+CE的最小值为43．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造△FBE≅△ABD，从而把求AD+CE的最小值转化为EF+CE的最小值的解题的关键．9．如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列结论中正确的是（    ）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】B【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，S△PCD=S△QCE，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴12PD•CG=12QE•CE，∴CG=CH，∴OC平分∠AOE，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）A．①B．①②C．①②③D．①②④【答案】D【分析】由SAS证明ΔAOC≅ΔBOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明ΔOCG≅ΔODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由ΔAOC≅ΔBOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出ΔCOM≅ΔBOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在ΔAOC和ΔBOD中，{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在ΔOCG和ΔODH中，{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴ΔOCG≅ΔODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM∵ΔAOC≅ΔBOD，∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，在ΔCOM和ΔBOM中，{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，∴ΔCOM≅ΔBOM(ASA)，∴OB=OC，∵OA=OB∴OA=OC与OA>OC矛盾，∴③错误；综上所述，正确的是①②④；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD．若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是 ．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性质得出∠ACD=∠B，CD=BE，则可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CADAD=AE，∴△ACD≌△ABESAS，∴∠ACD=∠B，CD=BE，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S△DCE=12CE⋅DC=12×2×6=6，故答案为：6．12．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为 ．  【答案】10【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周长等于AB+AC．【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，  ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为98，则线段CD的长度为 ．【答案】32【分析】过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，由题意易得△EBD是等腰直角三角形，然后可证△BCD≌△BEA，则有∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，进而根据三角形面积公式可进行求解．【详解】解：过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠CBD，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=12CD⋅AE=98，∴CD2=94，∴CD=32；故答案为32．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征．14．如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 °.【答案】120【分析】先得出∠DAC=∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E=∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．【详解】如图所示：∵∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC和△AEB中，AD＝AB∠DAC＝∠EABAC＝AE ,∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠E=∠ACD，又∵∠AFE=∠OFC，∴∠EAF=∠COF=60°，∴∠DOE=120°．故答案是：120．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出△ADC≌△AEB是解题关键．15．在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°, AB=4,点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 ．【答案】3【分析】在AC的左侧作等边三角形ACF，连接CE、BF、FD、CF，再证明△ADF≌△AEC, 可得CE=DF, 再利用DF⊥BC时，DF最短，从而可得答案.【详解】解： 在AC的左侧作等边三角形ACF，连接CE、BF、FD、CF，∵∠ACB=90°,∠B=60°,则∠BAC=30°, 则∠FAB=∠FAC−∠BAC=60°−30°=30°，故点C、F关于AB对称，则∠ABF=∠ABC=60°，BF=BC=12AB=12×4=2，∵△AFC,△ADE均为等边三角形，∴∠FAD+∠DAC=60°，∠DAC+∠EAC=60°，AF=AC,AD=AE, ∴∠FAD=∠EAC，∴ΔADF≅ΔAEC(SAS)，∴DF=EC，当DF⊥BC时，DF最小，由∠ABC=∠ABF=60°,BC=BF=2, ∴∠FBD=60°,∠DFB=30°, 故BD=12BF=12×2=1，故CD的长度为BD+CB=1+2=3，故答案为：3.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30°的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.16．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．【答案】65°【分析】先判断出ΔACD≅ΔBCE，再判断出ΔACM≅ΔBCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出结论．【详解】解：如图，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在ΔACD和ΔBCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE∴ΔACD≅ΔBCE(SAS)；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵ΔACD≅ΔBCE，∴∠CAM=∠CBN，在ΔACM和ΔBCN中，∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC∴ΔACM≅ΔBCN，∴CM=CN，在RtΔCMH与RtΔCNH中CM=CNCH=CH∴RtΔCMH≅RtΔCNH(HL)，∴∠MCH=∠NCH，∴CH平分∠AHE；∵ΔACD≅ΔBCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AFC=∠BFH，∴∠AHB=∠ACB=50°，∴∠AHE=180°−50°=130°，∴∠CHE=12∠AHE=12×130°=65°，故答案为：65°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，点C在线段AB上（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ADC和△BCE，且AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=α连接AE，BD交于点P，下列结论正确的是（填序号） ．AE=BD；②AD=BE；③∠APB=180∘−α；④PC平分∠DCE； 【答案】①③/③①【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．根据SAS证明△ACE≌△DCB即可求解①；AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=α，△ACD和△BCE是顶角相等的等腰三角形，故②错误；由①得△ACE≌△DCB从而得到∠CAE=∠CDB，从而求解③；借助三角形面积相等即可证明④．【详解】解：①∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中，CA=CD∠ACE=∠DCBCE=CB∴△ACE≌△DCBSAS，∴AE=BD，故①正确；②∵AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=α，∴△ACD和△BCE是顶角相等的等腰三角形，因为AC不一定等于BC，所以AD不一定等于BE，故②错误；③由①得△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠CAD+∠CDA=180°−α，∴∠PAD+∠PDA=180°−α，∴∠APD=α，∴∠APB=180∘−α，故③正确；④如图，过C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE=S△DCB，AE=BD，∴12AE⋅CG=12BD⋅CH，∴CG=CH，∴PC平分∠APB，∴∠APC=∠BPC，∵∠DPA=∠EPB，∴∠DPC=∠EPC，因为∠CDP不一定等于∠CEP，所以∠DCP不一定等于∠ECP，所以PC不一定平分∠DCE，故④错误；故答案为：①③．18．△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转到如图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，线段PA、PB、PC之间的数量关系是 ．【答案】PB=PC+PA【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．证明△ABD≌△ACESAS和△BAF≌△CAPSAS，得AF=AP，∠BAF=∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论．【详解】解：如图，在BP上截取BF=PC，连接AF，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACESAS，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BF=CP，∴△BAF≌△CAPSAS，∴AF=AP，∠BAF=∠CAP，∴∠BAC=∠PAF=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA，∴PB=BF+PF=PC+PA，故答案为：PB=PC+PA．19．如图，在等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列说法：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有 （只填序号）【答案】①③④【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出∠ABC=∠C=60°，AC=BC=5，由旋转的性质得出∠BAE=∠C=60°，AE=CD，推出∠BAE=∠ABC，即可判断①；由旋转的性质得出∠DBE=60°，BD=BE=4，即可判断③；求出∠ADEBD，∴∠BDC>∠C，即∠BDC>60°，∴∠ADE