十五章 轴对称 专题01 轴对称【六大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-人教版初中数学8上

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专题01 轴对称 考点类型 知识串讲（一）轴对称（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．（二）轴对称图形（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。（三）尺规作图（1）过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线（1）作已知线段的垂直平分线作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 ②连接CD，即为所求（四）垂直平分线（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 考点训练考点1：轴对称图形典例1：下列垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（    ）    A．①②B．②③C．①③D．②④【变式1】中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ）A．  B．  C．  D．  【变式2】下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号）【变式3】如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用−1，1表示，两人都将第4枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第4枚方形棋子的位置可能是 ．故答案为：(−1,2)．考点2：轴对称图形的实际应用典例2：如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）A．点PB．点QC．点MD．点N【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )A．A点B．B点C．C点D．D点【变式2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．【变式3】如图，弹性小球从点P0,3出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn.则点P2017的坐标是 .  考点3：垂直平分线的性质典例3：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（    ）A．4B．5C．6D．7【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（    ）A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm【变式2】如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于点F，若AB=7，BF=1，则BC= ．【变式3】如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12， 则BF的长为 ．考点4：垂直平分线的判定典例4：如图，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论成立的是（    ）①OP平分∠AOB；②OA=OB；③PO平分∠APB；④AB垂直平分OP．A．①③B．②③C．①②③D．①②③④【变式1】如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ）A．“筝形”是轴对称图形B．BD垂直平分ACC．BD平分一组对角D．AC平分一组对角【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，下列结论：①BE=DE；②AE=AF；③EG=AG；④AD⊥EF；⑤∠EDA=∠FDA，正确的是 （填序号）．  【变式3】如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，AD=PD．若△ABC的周长是28cm，CQ=6cm，则AB+AD的长是 ．考点5：垂直平分线的实际应用典例5：如图，在公路l1异侧、l2同侧有两个村庄A，B，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有（   ）A．4处B．3处C．2处D．1处【变式1】某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ）A．△PQR三边的垂直平分线的交点处B．△PQR的三条角平分线的交点处C．△PQR的三条高线的交点处D．△PQR的三条中线的交点处【变式2】《中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．  【变式3】某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，连接CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？ （填“对”，“错”）；理由： （如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）．考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）典例6：要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．已知：如图，∠MON和A，B两点．(1)作∠MON的平分线OP；(2)求作一点Q，使Q点在ON上，且QA=QB．【变式1】作图题：如图所示，(1)在△ABC中：画出BC边上的高AD和中线AE．(2)如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．【变式2】如图， 已知△ABC,AB>AC， 根据下列要求画图并回答问题：(1)画边BC上的高AD；(2)边BC上有一点E， 连接AE，如果S△ABE=S△AEC,那么线段AE是△ABC的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”)(3)在（1）（2）的条件下， 如果ED:CD=2:3,S△AED=6，那么S△ABC= 【变式3】根据下列要求进行作图，并写出相应结论．(1)在图1中过点C作三角形AB边上的高，并写出表示点C到直线AB的距离的线段．(2)在图1中过点B作一条直线，将三角形ABC分成面积相等的两部分．(3)在图2中点P是三角形ABC内一点，连接BP，试在线段AC上找一点D，使得折线BPD将三角形ABC分成面积相等的两部分．