浙教版（2024）八年级上册（2024）1.6 线段垂直平分线的性质精品达标测试

这是一份浙教版（2024）八年级上册（2024）1.6 线段垂直平分线的性质精品达标测试，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以点A，C为圆心，适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线交AB于点D，连接CD；再作射线BP，交CD于点P.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是 ( )
A. AD=CDB. ∠ABP=∠CBP
C. ∠PBC=∠AD. ∠BPC=115°
2.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
3.如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.若∠BAD=120∘，AE=1，AB=2，则线段BF的长是( )
A. 7+1B. 3+ 2C. 3D. 7
4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为( )
A. 105°B. 100°C. 95°D. 90°
5.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q
6.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H；
下列叙述错误的是( )
A. BH垂直平分线段AD
B. AC平分∠BAD
C. S△ABC=12BC⋅AH
D. AH=DH
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.用直尺和圆规作AB的垂直平分线交BC于点D，则BD的长为( )
A. 3.2B. 4C. 4.8D. 5
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 172
9.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若AC=7，BC=12，则△ADC的周长为( )
A. 12
B. 14
C. 19
D. 26
10.如图，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10.分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，连接直线EF，分别交BC，AB于点M，N，连接CN，则△CAN的面积为( )
A. 10B. 12C. 14D. 16
11.已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点P作直线l的垂线.其中作法正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
12.如图，在▵ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在平行四边形ABCD中，AD>CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为______．
14.如图，在▵ABC中，AB=AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP.若∠1=21 ∘，则∠B的度数为 ∘．
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为______．
16.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠APB的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知：如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF．
18.(本小题8分)
如图1，在等腰直角三角形DBC中，∠BDC=90∘，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到点A，使DA=DF．

(1)求证：△BDF≅△CDA．
(2)如图2，延长BF交AC于点E，求证：CE=12BF．
(3)如图3，在(2)的条件下，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
19.(本小题8分)
尺规作图：已知▵ABC，求作：
(1)▵ABC的角平分线AD；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)▵ABC的中线AE；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)▵ABC的高线AF.(保留作图痕迹，不写作法)
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC是锐角三角形(AB>AC)．
(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BM=5，BC=6，求ON的长．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆，以大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O.连接AF，CE．
(1)根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是_____；
(2)求证：四边形AFCE是菱形．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，AC>AB．
(1)作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ.(尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)
(2)在(1)的条件下，若BC=14，求△APQ的周长．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AB、AC于点D和E．
(1)尺规作图：求作DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接EB，求∠EBC的度数．
24.(本小题8分)
如图，在钝角△ABC中，∠C=30∘，请用尺规作图法，求作一个等边△BDE，使得顶点D，E均在△ABC的边上.(作出符合题意的一个等边三角形即可.保留作图痕迹，不写作法)
25.(本小题8分)
如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°．
(1)请用尺规作图法，在AD上找点F；使AF=BF(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BF，求∠ABF的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
根据基本作图得到D点为AC的垂直平分线与AB的交点，BP平分∠ABC，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据角平分线的定义得到∠ABP=∠CBP，所以∠ACD=∠A=40°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=70°，则可计算出∠PBC=35°，∠PCB=30°，然后计算出∠BPC，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：由作法得D点为AC的垂直平分线与AB的交点，BP平分∠ABC，
∴DA=DC，∠ABP=∠CBP，
∴∠ACD=∠A=40°，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=12×(180°−40°)=70°，
∴∠PBC=12∠ABC=35°，∠PCB=∠ACB−∠ACD=30°，
∴∠BPC=180°−35°−30°=115°．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【解答】
解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】A
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形内角和等于180°得出即可．
本题考查的是作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：MN垂直平分BC，
∴DC=BD，
∴∠DCB=∠DBC=25°，
∴∠BDC=130°，
∴∠CDA=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°−50°−25°=105°．
故选A．
5.【答案】B
【解析】解：∵ΔABC经过旋转后得到ΔEFD，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，
作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，它们的交点为N点，如图，
即旋转中心为N点．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：连接CD，BD．
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AH，故A，C，D正确，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的画法，勾股定理的有关知识，根据垂直平分线的性质，设AD=BD=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】
解：根据垂直平分线的性质可知：DA=DB，
设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2=AC2+CD2，
∴x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴BD=5．
8.【答案】A
【解析】解：由作图可知EF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+CB=3+4=7．
故选：A．
证明DA=BD，推出△ADC的周长=AC+CB，可得结论．
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，MN垂直且平分AB，
∴AD=DB，
∴C△ADC=AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=7+12=19，
故选：C．
由题意可得MN垂直且平分AB，根据垂直平分线的性质可得AD=DB，从而可得C△ADC=AC+BC，求解即可．
本题考查作图−线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出MN垂直且平分AB是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】C
【解析】解：根据角平分线、线段垂直平分线和垂线的尺规作图方法由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下：
图②和图③作法正确，
故选：C．
根据角平分线、线段垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可．
本题主要考查了垂线，掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
由∠ADC=2∠B且∠ADC=∠B+∠BCD知∠B=∠BCD，据此得DB=DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】解：∵∠ADC=2∠B且∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠B=∠BCD，
∴DB=DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
13.【答案】20
【解析】解：如图，连接EC．
由作图可知：直线FG垂直平分线段AC，
∵FG垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∵△ECD的周长=EC+ED+CD=EA+ED+CD=AD+CD=10，
∴平行四边形的周长=2(AD+CD)=20，
故答案为：20．
如图，连接EC，利用线段的垂直平分线的性质求出DA+DC=10，即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】67
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接AP,BP，设m，AB交于点D，根据题意得出∠PBC=∠PCB，设∠ABP=α，则∠BPD=90 ∘−α，进而得出∠BPC=180 ∘−∠PBC+∠PCB=4α，根据∠DPB+∠BPC+∠1=180 ∘得出α=23 ∘，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AP,BP，设m，AB交于点D
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线
∴PA=PB,PA=PC
∴PB=PC
∴∠PBC=∠PCB
∴∠ABC−∠PBC=∠ACB−∠PCB，即∠PBA=∠PCA
设∠ABP=α，则∠BPD=90 ∘−α
∴∠PAB=∠PBA=∠PCA=∠PAC=α，则∠BAC=2α
∴∠BPC=180 ∘−∠PBC+∠PCB
=180 ∘−180 ∘−∠PBA−∠PAB−∠PAC−∠PCA
=4α
又∵∠DPB+∠BPC+∠1=180 ∘
∴90 ∘−α+4α+21 ∘=180 ∘
解得：α=23 ∘
∴∠ABC=12180 ∘−2α=12180 ∘−2×23 ∘=67 ∘
故答案为：67．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差．
设MN交BC于点D，连接EC，由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，即得
BE=CE=4，由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠B=45°，从而根据三角形的外角性质求得∠AEC=90°，进而在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE=3，最后根据线段的和差即可求得AB的长．
【解答】
解：如图，设MN交BC于点D，连接EC．
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE=4，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2−CE2= 52−42=3，
∴AB=AE+BE=3+4=7．
16.【答案】100°
【解析】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PC=PB，
∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，
∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC=180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠PAB+∠PBA=80°，
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=100°，
故答案为：100°．
先根据线段垂直平分线的性质可得PA=PC=PB，从而利用等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠PAB+∠PBA=80°，从而再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】证明：因为AD垂直平分BC，
所以AB=AC，BD=CD．
在△ABD和△ACD中，AB=AC,BD=CD,AD=AD,
所以△ABD≌ △ACD(SSS)，所以∠ABD=∠ACD．
因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEB=∠DFC=90°．
在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC,∠DBE=∠DCF,BD=CD,
所以△BDE≌ △CDF(AAS)，所以DE=DF．

【解析】见答案
18.【答案】【小题1】
解：证明：在△BDF和△CDA中，
∵BD=CD,∠BDF=∠CDA=90∘,DF=DA,∴△BDF≅△CDASAS．
【小题2】
证明：由(1)知△BDF≅△CDA，∴BF=CA，∠DBF=∠ACD．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，
∴∠FBC+∠ACD+∠BCD=∠FBC+∠ABF+∠BCD=90∘，
∴∠BEC=90∘，∴BF⊥AC，∴△ABC为等腰三角形，
∴BE是AC边上的中线，∴CE=12AC，∴CE=12BF．
【小题3】
BG2=GE2+CE2.证明：如图，连结GC，∵△BDC是等腰三角形，H是BC边的中点，
∴DH是线段BC的垂直平分线，∴BG=CG．
∵△CEG是直角三角形，∴CG2=GE2+CE2，∴BG2=GE2+CE2．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
19.【答案】【小题1】
解：如图，AD即为所求．
【小题2】
解：如图，AE即为所求．
【小题3】
解：如图，AF即为所求．

【解析】1.
本题考查作图−复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键．
根据角平分线的作图方法作图即可．
2.
作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE即可．
3.
结合三角形的高的定义作图即可．
20.【答案】解：(1)如图，直线l，点O即为所求；
(2)过点O作OH⊥AB于点H．
∵BO平分∠ABC，ON⊥BC，OH⊥AB，
∴ON=OH，
∵MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=3，
∵BM=5，
∴MN= BM2−BN2= 52−32=4，
∵S△BMN=S△BMO+S△BON，
∴12×3×4=12×5×OH+12×3×ON，
∴ON=OH=32．
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)过点O作OH⊥AB于点H.利用勾股定理求出MN，证明OH=ON，利用面积法求解即可．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用面积法解决问题．
21.【答案】(1)EF⊥AC
(2)证明：由作法得EF垂直平分AC，
∴OA=OC，EF⊥AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OF=OE，
∴AC和EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形
【解析】【分析】
本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，基本作图，全等三角形的判定与性质有关知识
(1)利用基本作图得到EF垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EF⊥AC
(2)先证明△AOF≌△COE得到OF=OE，然后利用AC和EF互相垂直平分可判断四边形AECF为菱形，从而得到AE=AF；
【解答】
解：(1)由作图可知：EF垂直平分AC
∴EF⊥AC
(2)见答案
22.【答案】解：(1)分别以点A、B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于点M、N，
作出过点M、N的直线，与BC交于点P；
分别以A、C为圆心，大于12AC为半径画弧，两弧交于点E、F，
作出过点E、F的直线，与BC交于点Q，
如图，图形即为所求．
(2)∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∵EF垂直平分线段AC，
∴QA=QC，
∴△PAQ的周长=PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=14．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质等知识，
(1)作线段AB，AC的垂直平分线MN，EF，MN交BC于点P，EF交BC于点Q，连接AP，AQ即可．
(2)证明△APQ的周长=BC的长即可．
23.【答案】解：(1)如图，DE即为所求；
(2)在△ABC中，
∵∠A=50°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°−50°−60°=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE=50°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=70°−50°=20°．
【解析】【分析】
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
(1)根据DE是AB的垂直平分线，即可求作DE；
(2)根据垂直平分线的性质即可求∠EBC的度数．
24.【答案】解：如图，△BDE即为所求作的三角形，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
25.【答案】解：(1)如图所示，点F即为所求；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=75°，DC/​/AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识．
(1)分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线交AD于点F即可；
(2)根据菱形的性质和垂直平分线的性质计算即可．