人教版初中数学八年级上册-第一十四章专题练习：角平分线中常用的作辅助线的方法（含答案）

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第十四章 全等三角形 专题 角平分线中常用的作辅助线的方法 方法1截等边构造对称图形法 1.如图，在△ABC中,AD平分.∠BAC,∠C=2∠B.求证：AC+CD=AB. 方法2 作两边或一边垂线构造对称图形法 2.如图,点F,G是OA上两点,点M,N是OB上两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由. 3.如图,AC平分∠BAD,CE⟂AB于点E,∠B+∠D=180∘.求证：AE=AD+BE. 方法3 延长垂线构造对称图形法 4.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:BD=2AE. 参考答案 1.【证明】如图,在AB上截取AE=AC,连接DE,过点E作EG⊥BD于点G. 易证△AED≌△ACD.∴ED=CD,∠AED=∠C. ∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠B+∠EDB. 又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB. ∵EG⊥BD,∴∠EGB=∠EGD=90°. ∵EG=EG,∴△EBG≌△EDG.∴BE=DE.∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD. 2.【解】点P在∠AOB的平分线上. 理由如下:如图,作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E. ∵S△PFG=12FG·PD,S△PMN=12MN·PE,S△PFG=S△PMN,∴12FG⋅PD=12MN⋅PE.又∵FG=MN,∴PD=PE,∴OP平分∠AOB,即点P在∠AOB的平分线上. 点方法 等线段证角平分线法就是利用角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上这一定理，通过证明角内部的点到角的两边距离相等从而得到点在角的平分线上，即距离相等→角平分线. 3.【证明】如图,过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,∴CE=CF. ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠CDF=∠B. 在△CDF和△CBE中,∠CDF=∠B,∠F=∠CEB=90∘,CF=CE,∴△CDF≌△CBE(AAS),∴DF=BE. 在Rt△ACF和Rt△ACE中,AC=AC,CF=CE,∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),∴AE=AF. ∵AF=AD+DF,∴AE=AD+BE. 4.【证明】如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE,∴∠AEB=∠FEB=90°. ∵BD平分∠ABO,∴∠ABE=∠FBE. 又∵BE=BE,∴△ABE≌△FBE(ASA).∴AE=FE.∴AF=2AE. ∵∠AOF=∠BEF=90°,∴∠OAF+∠AFO=90°,∠OBD+∠AFO=90°. ∴∠OAF=∠OBD. 又∵OA=OB,∠AOF=∠BOD=90°, ∴△AOF≌△BOD(ASA).∴AF=BD.∴BD=2AE.