人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用当堂达标检测题，文件包含人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题16空间角的向量求法+随堂检测原卷版docx、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题16空间角的向量求法+随堂检测原卷版pdf、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题16空间角的向量求法+随堂检测解析版docx、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题16空间角的向量求法+随堂检测解析版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
1．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60∘.

(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值.
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）通过已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两直线所成角的余弦值即可.
【解答过程】（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA⊥BD，
又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
（2）设AC∩BD＝O 因为∠BAD=60°,PA=AB=2，所以BO=1,AO=CO=3
以O为坐标原点,射线OB,OC分别为x轴,y轴的正半轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图：

则P(0,−3,2),A(0,−3,0),B(1,0,0),C(0,3,0)，所以 PB=(1,3,−2),AC=(0,23,0)，
设PB与AC所成角θ，所以csθ=PB⋅AC|PB‖AC|=1×0+3×23+−2×012+32+−22×02+232+02=622×23=64，
即PB与AC所成角的余弦值为64.
2．如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC=12，∠BAC=π3，E，F都在AC上，且AE:EF:FC=3:4:5，BE//FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P−EFGB，如图2.

(1)求异面直线PF，BG所成角的余弦值；
(2)若M为PB的中点，求钝二面角B−FM−E的余弦值.
【解题思路】（1）（2）依题意可得BE⊥EF，BE⊥PE，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【解答过程】（1）由题意可知AE=3，EF=4，CF=5，所以AE2+EF2=CF2，
故PE⊥EF，且AB=ACcsπ3=6，∴AEAB=ABAC=12，∴△ABE∽△ACB，∴∠AEB=∠ABC=π2，所以BE⊥AC，
又BE//FG，所以FG⊥AC，即BE⊥EF，BE⊥PE，
故可以EF，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系E−xyz如图所示，

易知BE=ABsinπ3=33，FG=FCtanπ6=533，则F4,0,0，B0,33,0，G4,533,0，P0,0,3，
∴PF=4,0,−3，BG=4,−433,0，∴csPF,BG=PF⋅BGPF∣⋅BG=165×83=235，
故异面直线PF，BG所成角的余弦值为235；
（2）由（1）可知M0,332,32，∴MF=4,−332,−32，BF=4,−33,0，EF=4,0,0，
设平面BFM法向量为m=x1,y1,z1，由m⋅MF=0m⋅BF=0，则4x1−332y1−32z1=04x1−33y1=0，令y1=4得m=33,4,43，设平面EFM法向量为n=x2,y2,z2，由n⋅MF=0n⋅EF=0，则4x2−332y2−32z2=04x2=0，令y2=1得n=0,1,−3，所以csm,n=m⋅nm⋅n=4−1291×2=−49191，所以钝二面角B−FM−E的余弦值为−49191.
3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角．动点D在线段AB上．

(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值．
【解题思路】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角；
（2）设BD=λBA可得D0,21−λ,4λ，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算.
【解答过程】（1）由题意可得：AO⊥OB,AO⊥OC，平面AOB⊥平面AOC，
平面AOB∩平面AOC=AO，OB⊂平面AOB，所以OB⊥平面AOC，
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则O0,0,0,A0,0,4,C2,0,0,B0,2,0，
若D为AB的中点，则D0,1,2，可得OA=0,0,4,CD=−2,1,2，
设异面直线AO与CD所成角θ∈0,π2，则csθ=csOA,CD=OA⋅CDOA⋅CD=84×3=23.
故异面直线AO与CD所成角的余弦值为23.
（2）若动点D在线段AB上，设Dx,y,z,BD=λBA,λ∈0,1，
则BD=x,y−2,z,BA=0,−2,4，可得x=0y−2=−2λz=4λ，解得x=0y=21−λz=4λ，
即D0,21−λ,4λ，则CD=−2,21−λ,4λ，由题意可知：平面AOB的法向量为n=1,0,0，

设CD与平面AOB所成角为α∈0,π2，则sinα=csn,CD=n⋅CDn⋅CD=24+41−λ2+16λ2=15λ2−2λ+2，
对于y=5λ2−2λ+2开口向上，对称轴为λ=15∈0,1，
可得当λ=15时，y=5λ2−2λ+2取到最小值ymin=5×152−2×15+2=95，
所以sinα的最大值为195=53，因为α∈0,π2，故CD与平面AOB所成角的正弦最大值为53.
4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．

(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；
【解题思路】（1）根据线面平行的判断，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，求平面ACE的法向量，利用线面角的向量公式，即可求线面角的正弦值.
【解答过程】（1）连结BD，交AC于点O，连结OE，因为点O,E分别是BD,PD的中点，
所以PB//OE，PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以PB//平面ACE；
（2）如图，以点A为原点，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，A0,0,0，C1,2,0，P0,0,2，E0,1,1，AC=1,2,0，AE=0,1,1，PC=1,2,−2，设平面ACE的法向量为n=x,y,z，
则AC⋅n=0AE⋅n=0，即x+2y=0y+z=0，令y=1，则x=−2,z=−1，所以平面ACE的法向量为n=−2,1,−1，
设直线CP与平面ACE所成角为θ，所以sinθ=csPC,n=PC⋅nPCn=−2+2+236=69.

5．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

(1)求证：MN//平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BH所成角的余弦值为721，求线段AH的长．
【解题思路】（1）以点A为原点，以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得MN//平面BDE；
（2）设AH=ℎ0≤ℎ≤4，则H0,0,ℎ，利用空间向量法可得出关于ℎ的方程，解出ℎ的值，即可得出结论.
【解答过程】（1）证明：因为PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘，
如图，以点A为原点，以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A0,0,0、B2,0,0、C0,4,0、P0,0,4、D0,0,2、E0,2,2、M0,0,1、N1,2,0，
DE=0,2,0，DB=2,0,−2，设平面BDE的法向量为n=x,y,z，则n⋅DE=2y=0n⋅DB=2x−2z=0，
取x=1，可得n=1,0,1，又因为MN=1,2,−1，则MN⋅n=1−1=0，所以，MN⊥n，
又因为MN⊄平面BDE，所以，MN//平面BDE.
（2）解：依题意，设AH=ℎ0≤ℎ≤4，则H0,0,ℎ，所以，NH=−1,−2,ℎ，BE=−2,2,2，
由已知，得csBE,NH=BE⋅NHBE⋅NH=2ℎ−2ℎ2+5×23=721，整理可得10ℎ2−21ℎ+8=0，解得ℎ=85或ℎ=12，
所以，线段AH的长为85或12.
6．如图，圆柱O1O2的底面半径与高均为2，AB为⊙O2的直径，C,D分别为⊙O1，⊙O2上的点，直线CD与线段O1O2交于O点.

(1)证明：O为线段O1O2的中点；
(2)若AC与下底面所成的角为π6，求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
【解题思路】（1）利用面面平行的性质，可证明O1DO2C是平行四边形，即可证明；
（2）首先作辅助线，延长DO2交⊙O2于点E，并连结EA,EB,EC，利用垂直关系，可证明EA,EB,EC两两互相垂直，则以点E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量公式，求线面角的正弦值.
【解答过程】（1）连接O1C，O2C，O1D，O2D，如图所示.

因为C，O1，D，O2四点共面，且圆柱O1O2的上、下底面平行，所以O1C∥O2D.
因为O1C=O2D，所以四边形CO1DO2为平行四边形，所以O1O=OO2，即O为O1O2的中点.
（2）延长DO2交⊙O2于点E，连接CE，AE，BE.
因为E在⊙O2上，AB为⊙O2的直径，所以AE⊥BE，O1C=O2E，O1C∥O2E，
所以四边形CO1O2E为平行四边形，所以O1O2∥CE，所以CE⊥平面ABE.
所以∠CAE为直线AC与下底面所成的角，所以∠CAE=π6.因为CE=2，所以AE=23，BE=2.
如图所示，以E为坐标原点，EA，EB，EC的方向分别为x轴、y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系E−xyz.
则A23,0,0，B0,2,0，C0,0,2，D23,2,0.所以AD=0,2,0，CD=23,2,−2，BC=0,−2,2.
设平面ACD的法向量为n=x,y,z.则n⋅AD=2y=0,n⋅CD=23x+2y−2z=0,不妨取x=1，则n=1,0,3.
设直线BC与平面ACD所成的角为θ，则sinθ=n⋅BCnBC=232×22=64.
即直线BC与平面ACD所成角的正弦值为64.
7．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F.

(1)证明：点F为B1C1的中点；
(2)若点M为棱A1B1上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为6525，求A1MA1B1的值.
【解题思路】（1）得到CD//EF，结合E为A1D1中点，进行求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【解答过程】（1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD//C1D1，又CD⊂平面A1B1C1D1，且C1D1⊂平面A1B1C1D1，
则CD//平面A1B1C1D1，而B1C1交平面CDE于点F，即F∈平面CDE,F∈B1C1，
又B1C1⊂平面A1B1C1D1，有F∈平面A1B1C1D1，因此平面CDE∩平面A1B1C1D1=EF，
于是CD//EF，而E为A1D1中点，所以F为B1C1的中点.
（2）以D为坐标原点，DA,DC,DD1方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为3，设A1MA1B1=λ(0≤λ≤1)，则M(3,3λ,3),C(0,3,0),E32,0,3,F32,3,3,
从而FM=32,3λ−3,0,CD=(0,3,0),ED=32,0,3，设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z)，则
n⋅CD=0n⋅ED=0,即3y=032x+3z=0,不妨取x=2,则x=2y=0z=−1,即n=(2,0,−1)，
设直线MF与平面CDE所成角为θ，又直线MF与平面CDE所成角的正弦值为6525，
因此sinθ=|MF⋅n||MF|⋅|n|=3322+(3λ−3)2⋅5=6525，解得λ=13，所以A1MA1B1=13.
8．已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BC、CD的中点，求：

(1)A1D与EF所成角的大小；
(2)二面角C−D1B1−C1的大小；
(3)点M在棱CD上，若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为1919，请判断点M的位置，并说明理由.
【解题思路】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线的夹角、二面角大小作答.
（3）利用（1）中坐标系，设出点M的坐标，利用线面角的正弦值求解作答.
【解答过程】（1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，令AB=1，
以点D为原点，以DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，如图，
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(12,1,0),F(0,12,0),A1D=(−1,0,−1),EF=−12,−12,0，
设A1D与EF所成角为θ，csθ=|cs〈A1D,EF〉|=A1D⋅EFA1D|EF|=122×22=12，所以A1D与EF所成角的大小是π3.

（2）平面B1D1C1的一个法向量为DD1=(0,0,1)，
设平面CB1D1的一个法向量为n=(x,y,z)，D1C=(0,1,−1),D1B1=(1,1,0)，
则n⋅D1C=y−z=0n⋅D1B1=x+y=0，令z=1，得n=(−1,1,1)，
设n,DD1的夹角为α，csα=n⋅DD1n‖DD1=13=33，而二面角C−D1B1−C1为锐二面角，
所以二面角C−D1B1−C1大小为arccs33.
（3）设M(0,y,0),y∈[0,1]，则A1M=(−1,y,−1)，平面B1C1CB的一个法向量为DC=(0,1,0)，
设A1M与平面B1C1CB所成角为β,sinβ=|cs〈A1M,AB〉|=A1M⋅ABA1M|AB|=1919，即|y|y2+2=119,y=13，
所以当DM=13DC，即点M是线段DC靠近点D的三等分点时,A1M与平面B1C1CB所成角的的正弦值为1919.
9．如图，三棱锥P−ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB=6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧.当EF//平面PAC时，画出二面角E−BF−A的平面角，并求出它的余弦值.
【解题思路】（1）要证明平面PAC⊥平面ABC，只需证明BC⊥平面PAC即可；
（2）建立空间坐标系，运用空间向量求解.
【解答过程】（1）因为点C在圆O上，∴AC=AB2−BC2=4，又PA2+PC2=AC2，所以△PAC是等腰直角三角形，即AP⊥PC，由条件：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC,∴AP⊥ 平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA，又BC⊥AC，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC；
（2）取AC的中点M，连接PM，则PM⊥AC，由（1）可知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PM⊥平面ABC，
连接OM，OE，OF，则OM是△ABC中BC边的中位线，∴OM⊥AC，OM⊂平面ABC，∴PM⊥OM，
即PM，AC，OM两两垂直，以M为原点，AC，OM，PM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下图：

由于O，E分别是AB，PB的中点，连接BM，取BM的中点N，连接EN，则有
EN//PM，∵PM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥EN，
过N点作FB的垂线，得垂足S，BF⊥NS,EN∩NS=N,∴BF⊥平面ENS，ES⊂平面ENS，∴ES⊥BF，
∴∠ESN就是二面角E−BF−A的平面角；
∴OE//PA,OE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴OE//平面PAC，
OE∩FE=E，∴平面EFO//平面PAC，OF⊂平面EFO，∴FO//平面PAC，AC,FO⊂平面ABC，∴AC//FO，
其中OF=12AB，∴A2,0,0,B−2,25,0,P0,0,2,E−1,5,1,F3,5,0，
FE=−4,0,1,FB=−5,5,0，设平面EFB的一个法向量为m=x,y,z，
则m·FE=0m·FB=0，−4x+z=0−5x+5y=0，令x=1，得y=5,z=4,∴m=1,5,4，
显然平面ABC的一个法向量n=0,0,1，设平面ABC与平面EFB的二面角为α，则csα=m·nm·n=22211，
综上，二面角E−BF−A的余弦值为22211.
10．如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3,E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.

(1)当AB′=2时，证明：平面B′AE⊥平面ABC；
(2)已知二面角B′−EF−A的大小为π4，棱AC上是否存在点M，使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理证明AB′⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【解答过程】（1）由已知，有EF⊥AF,EF⊥B′F，且AF∩B′F=F，
AF，B′F⊂平面AB′F，所以EF⊥平面AB′F，因为AB′⊂平面AB′E，所以EF⊥AB′.
在Rt△BEF中，BE=3,∠B=π6，所以BF=32,AF=12.
因为AB′2+AF2=B′F2，所以AB⊥AB′.且AB∩EF=F，AB，EF⊂平面ABC，所以AB′⊥平面ABC.
因为AB′⊂平面AB′E，所以平面AB′E⊥平面ABC.
（2）由（1）EF⊥AF,EF⊥B′F，所以∠AFB′为二面角B′−EF−A的平面角，∠AFB′=π4，
因为AB=AC=2,∠BAC=2π3,E为BC的中点，所以BE=ABsin60°=12BC=3，BF=B′F=BEcs30°=32，AF=2−32=12 ，EF=BEsin30°=32，B′Fsin45°=B′Fcs45°=324，
如图，以F为坐标原点，分别以FB､FE为x轴､y轴正方向建立空间直角坐标系F−xyz.

则F0,0,0,A−12,0,0,C−32,3,0,B′−324,0,324,E0,32,0.设AM=λAC,λ∈0,1，
则FM=FA+AM=−λ−12,3λ,0,FB′=−324,0,324,B′E=324,32,−324.
设平面B′MF的一个法向量m=x,y,z，由m⋅FB′=−λ−12x+3λy=0m⋅FM=−324x+324z=0，得−λ−12x+3λy=0x=z，
令x=1，则y=2λ+123λ,z=1，所以m=1,2λ+123λ,1.因为直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为1010，
所以csm,B′E=m⋅B′E|m|B′E|=322λ+13⋅12λ2+12λ2+(2λ+1)2=1010，解得λ=12或λ=−16（舍）.
因此，当点M为AC中点时，直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为1010.
随堂检测
1．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为π3．

(1)求BC的长；
(2)求二面角D−PB−C的余弦值．
【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．由已知求得A，B，D，P的坐标，再由直线PB与CD所成角大小为π3列式求得y值，则C的坐标可求，即可求得BC的长；
（2）分别求出平面PBD与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
【解答过程】（1）由于PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB,AD,AP两两垂直，故分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
∵AP=AB=AD=1，∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
设C(1,y,0)，则PB=(1,0,−1)，CD=(−1,1−y,0)．
∵直线PB与CD所成角大小为π3，∴|cs|=PB⋅CD|PB||CD|=12，
即12×1+(1−y)2=12，解得y=2或y=0（舍)，∴C(1,2,0)，则BC的长为2；
（2）设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z)．
∵ PB=(1,0,−1)，PD=(0,1,−1)，BC=0,2,0,
∴ PB⋅m=x−z=0PD⋅m=y−z=0，令x=1，则y=1，z=1，m=(1,1,1)．
∵平面PBC的一个法向量为n=a,b,c， ∴ PB⋅n=a−c=0BC⋅n=2b=0，令a=1，则b=0，c=1，n=1,0,1,
∴cs=m⋅n|m||n|=22×3=63，由几何体的特征可知二面角D−PB−C的平面角为锐角，
∴二面角D−PB−C的余弦值为63．

2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)试确定PA的值为多少时？二面角A−PC−D的余弦值为55.
【解题思路】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量处理二面角问题.
【解答过程】（1）因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则PA⊥BC，
且AC⊥BC，PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
（2）由题意可知：∠CAD=∠ACD=∠CAB=60°，即△ACD为等边三角形，
取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，又因为AB//CD，则AE⊥AB，
如图，以A为坐标原点，AE,AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
设PA=m>0，则B0,2,0C32,12,0,D32,−12,0,P0,0,m，
可得DC=0,1,0,PC=32,12,−m,BC=32,−32,0，
由（1）可知：平面PAC的法向量BC=32,−32,0，
设平面PCD的法向量n=x,y,z，则n⋅DC=y=0n⋅PC=32x+12y−mz=0，
令x=2m，则y=0,z=3，可得n=2m,0,3，
由题意可得：csn,BC=n⋅BCn⋅BC=3m4m2+3×3=55，解得m=3，
所以当PA=3时，二面角A−PC−D的余弦值为55.

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，BC//AD,CD⊥AD, AD=CD=1,BC=2．
(1)求证：AC⊥平面PAB；
(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于π3，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
【解题思路】（1）根据几何关系证明AB⊥AC，根据PA⊥底面ABCD得PA⊥AC，进而证明结论；
（2）根据题意，AE,AD,PA两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设PA=a(a>0)，再根据坐标法求解异面直线所成角的余弦值即可.
【解答过程】（1）设BC中点为E，连接AE，
易知ADCE为正方形，且AC=2,AE=1,AB=2
所以BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC
因为PA⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC
又PA⊂面PAB,AB⊂面PAB，PA∩AB=A，所以AC⊥平面PAB
（2）因为PA⊥底面ABCD，在正方形ADCE中AE⊥AD，所以AE,AD,PA两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系A−xyz，设PA=a(a>0)
则C(1,1,0),D(0,1,0),B(1,−1,0),P(0,0,a)，所以PD=(0,1,−a),DC=(1,0,0)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PD=0n⋅DC=0即y−az=0x=0，取z=1，则n=(0,a,1)
由（1）知，平面PAB的法向量为AC=(1,1,0)，因为平面PAB与平面PCD的夹角为π3，
所以csπ3=|csAC,n|=|AC⋅n||AC||n|=|(1,1,0)⋅(0,a,1)|2⋅02+12+(−a)2=|a|2⋅1+a2=12，解得a=1，
PB=(1,−1,−1),DC=(1,0,0)
设异面直线PB与CD所成角为θ，则csθ=|PB⋅DC|PB⋅|DC|=|(1,−1,−1)⋅(1,0,0)|3×1=33，
4．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC⊥平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°.

(1)求异面直线DE与CF所成角的余弦值；
(2)求二面角A−FB−C的余弦值.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出DE=0,−1,3，CF=3,0,3，利用空间向量的数量积求解异面直线所成角的余弦函数值即可；
（2）求出平面ABF的法向量，平面CBF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A−FB−C的余弦值即可．
【解答过程】（1）∵AC⊥平面BDEF，FO，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥FO，AC⊥BD，
∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD的中点，∴FO⊥BD，所以OA，OB，OF两两垂直．
以O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．

∵AB＝2，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BD＝2，OA=AB2−OB2=3，
∵△DBF为等边三角形，∴OF=3，
则A3,0,0,B0,1,0,D0,−1,0,E0,−2,3,F0,0,3,C−3,0,0，
∴DE=0,−1,3，CF=3,0,3，
设异面直线所成角为θ，则csθ=csDE,CF=DE⋅CFDE⋅CF=64，故csθ=64.
（2）由（1）知AB=−3,1,0，BF=0,−1,3，CB=3,1,0，
设平面ABF的法向量为m=x1,y1,z1，
则AB⋅m=−3x1+y1=0BF⋅m=−y1+3z1=0，令y1=3，则x1=1，z1=1，得m=1,3,1．
设平面CBF的法向量为n=x2,y2,z2，则BF⋅n=−y2+3z2=0CB⋅n=3x2+y2=0，
令y2=3，则x2=−1，z2=1，得n=−1,3,1． ∴csm,n=m⋅nm⋅n=35，
又二面角A−FB−C为钝角，∴二面角A−FB−C的余弦值为−35．