人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题1.7 空间向量必考题+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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专题1.7 空间向量与立体几何全章八类必考压轴题 【考点1 空间向量的线性运算】 1．12a+2b−3c−3a−2b−c=（    ） A．−52a−4c B．−52a+4b−2c C．−52a+7b+32c D．−52a−5b−92c 2．已知向量a=−2,−3,1，b=2,0,3，c=0,0,2，则a+6b−c的坐标为 . 【考点2 空间向量数量积的应用】 1．平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长度为（    ） A．322 B．6 C．3 D．6 2．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6，AD=2,∠BAD=∠BAP=∠DAP=60∘,E,F分别为PB,PC上的点，且PE=2EB，PF=FC,EF= . 【考点3 空间向量基本定理及其应用】 1．已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A．−34 B．34 C．43 D．−43 2．已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则AM=（    ） A．3 B．2 C．5 D．6 3．图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=23DD1． (1)证明：A、E、C1、F四点共面． (2)若EF=xAB+yAD+zAA1，求x+y+z． 【考点4 空间线、面平行关系的判定及应用】 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【考点5 空间线、面垂直关系的判定及应用】 1．已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CD的中点，给出以下结论： ①A1P⊥C1D；②A1P⊥BD；③A1P⊥BC1；④A1P⊥平面BC1D，其中正确命题的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M 为BC的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点． (1)求证：平面APM⊥平面BB1C1C； (2)试判断直线 BC1 与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由． 【考点6 利用空间向量研究距离问题】 1．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点D到平面AEF的距离为（      ）    A．21111 B．1111 C．114 D．41111 2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AB=2，F为棱PD的中点，点M在PA上，且PM=2MA，则CD的中点E到直线MF的距离是 ． 【考点7 利用空间向量求空间角】 1．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3，则B1C与BD1所成角的大小为（    ）    A．π4 B．π3 C．π2 D．2π3 2．在平行四边形ABCD中，角A=π6,AB=3,AD=1，将三角形ABD沿BD翻折到三角形A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD.记线段A′C的中点为M，那么直线A′D与平面BDM所成角的正弦值为（    ） A．64 B．33 C．22 D．32 【考点8 利用空间向量研究存在性问题】 1．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段 B．存在点Q，使得D1Q⊥平面A1PD C．当且仅当点Q落在C1处时，三棱锥Q−A1PD的体积最大 D．若D1Q=62，那么点Q的轨迹长度为24π 2．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且AB//CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB=2，BC=CD=1．    (1)求证：AB⊥PD； (2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由． 随堂检测 1．已知a=(1,2,1)，b=(2,−4,1)，则2a+b等于（    ） A．(4,−2,0) B．(4,0,3) C．(−4,0,3) D．(4,0,−3) 2．已知直线l的方向向量为m=(1,−2,4)，平面α的法向量为n=(x,1,−2)，若直线l与平面α平行，则实数x的值为（    ） A．12 B．−12 C．10 D．−10 3．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为（    ） A．−36 B．36 C．−24 D．24 4．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（    ） A．2 B．3 C．23 D．33 5．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= ． 6．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.    (1)求BC⋅BD的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足AE=2EB，求线段EF的长. 7．如图，正四棱锥P−ABCD的高为22，体积为823.    (1)求正四棱锥P−ABCD的表面积； (2)若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值； (3)求二面角A−PB−C的余弦值.