北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理课文ppt课件

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勾股定理勾股定理的验证勾股定理的简单应用
确定了直角三角形三边的数量关系
特别提醒1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角 三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入一个辅助量，建立方程来求未知的边 .2. 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。
2.找准条件灵活应用勾股定理
考向： 利用勾股定理求直角三角形的边
题型1 勾股定理在斜边确定的三角形中的应用
[母题 教材P8习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90° .(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝13，a＝5，求b.
解题秘方：应用勾股定理首先根据直角所对的边是斜边确定公式中的c，然后紧扣勾股定理公式及其变形公式解答。
解：因为∠C＝90°，a＝3，b＝4，所以由勾股定理得c2＝a2＋b2＝32＋42＝25.所以c＝5.
(1)已知a＝3，b＝4，求c；
解：因为∠C＝90°，c＝13，a＝5，所以由勾股定理得b2＝c2－a2＝132－52＝144.所以b＝12.
(2)已知c＝13，a＝5，求b.
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75，求 a， b.
解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x.由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)．所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
如图1-1-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D. 求CD的长.
题型2 勾股定理在几何图形中求线段长的应用
方法点拨：面积法是几何题解法中的一种基本方法，也称为等面积法。比如：若直角三角形两条直角边长分别为a，b，求斜边上的高，这一问题就需要借助面积法，即用两种方式表示直角三角形的面积：(1)斜边乘斜边上的高除以2；(2)两直角边乘积的一半，从而建立等量关系，解出未知量.
2-1. 如图， 在四边形ABCD 中， ∠ D=∠ ACB=90 °，AD=8，CD=6， 且四边形ABCD 的面积为49，则AB2= _________ 。
1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。
特别提醒通过拼图验证定理的思路：1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式的性质变换验证结论成立。 即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论。
[母题 教材P6阅读、思考] 意大利著名画家达·芬奇用如图 1-1-2 所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为 S1，图②中空白部分的面积为 S2．
考向：利用拼图法验证勾股定理
解题秘方：探索勾股定理的关键是找面积相等：①根据直角三角形以及正方形构造图形；②用代数式表示出图形面积S1，S2；③根据面积相等列出等式；④推导出勾股定理。
(1)请用含 a， b， c 的代数式分别表示 S1， S2；
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理．
解：由 S1=S2，得 a2+b2+ab=c2+ab，所以 a 2+b 2=c 2．
3-1. [月考·太原晋源区] 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF。试利用此图说明勾股定理。
运用勾股定理解决实际问题的一般思路
若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线构造直角三角形
特别解读勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，应用勾股定理需先找出或构造直角三角形（需作三角形的高）。
如图 1-1-3，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 4 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是 10 m，求两树相隔的距离．
考向： 利用勾股定理解决实际问题
解题秘方：通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理解决实际问题常用的添加辅助线的方法．
解：如图 1-1-3，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E. 由题意知，AB=10 m， CD=4 m， AD=10 m，易知 BE=CD=4 m，所以 AE=10 － 4=6(m) .在 Rt △ AED 中，由勾股定理得DE 2=AD 2 － AE 2=10 2 － 6 2=8 2，所以 DE =8 m. 所以易得 BC=DE=8 m.所以两树相隔的距离为 8 m．
4-1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆 AB 的底端 B 处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点 D 处，发 现 此 时点 D 到 旗 杆AB 的水平距离为 8 m，点 D到地面的距离 CD为 2 m，则 旗 杆 AB 的高度为(     )A．23 m  B．17 m C．15 m D．10 m