数学七年级上册（2024）有理数的混合运算一课一练

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知识点01 有理数的乘方的意义
求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。
特别提示：
当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。
当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ；
的四次方写成 。
（3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。
【即学即练1】
下列对于式子的说法， 错误的是（ ）
A．指数是2B．底数是C．幂为D．表示2个相乘
【答案】C
【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可．
【详解】解：，
对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16；
故错误的是C；
故选C．
【即学即练2】
把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)； (2)
【答案】(1)，底数为，指数为5；(2)，底数为，指数为6
【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键．
【详解】（1）解：，
底数为，指数为5；
（2）解：，
底数为，指数为6．
知识点02 有理数的乘方的计算
（个） 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。
特别提示：
正数的任何次方都是 正数 。
负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。
0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。
1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。
【即学即练1】
下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案．
【详解】解：A、与不相等，不符合题意；
B、与相等，符合题意；
C、与不相等，不符合题意；
D、与不相等，不符合题意．
故选：B．
【即学即练2】
计算： ， ， ．
【答案】 4
【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键．
根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可．
【详解】解：；；．
故答案为：，4，．
知识点03 有理数的偶次方
由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。
【即学即练1】
任何一个有理数的偶次幂必是（ ）
A．负数B．正数C．非正数D．非负数
【答案】D
【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．
【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，
故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．
故选：D．
【即学即练2】
在，，，0中，非负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非负数．
故选：A．
【即学即练3】
若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可．
【详解】且
解得：
故答案为：．
知识点04 的区别与联系
三者的意义（区别）：
表示的意义是 个相乘的积 ，即 （个） ，底数是 。
表示的意义是 个相乘的积的相反数 ，即 ，底数是 。
表示的意义是 相乘的积 ，即 ，底数是 。
三者的联系
当为奇数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。
当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。
【即学即练1】
的底数、指数、结果分别是（ ）
A．B．C．2，4，16D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可．
【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为，
故选：D．
【即学即练2】
下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，根据有理数的乘方，绝对值，相反数分别计算，然后判断即可，熟练掌握有理数的乘方法则是解题的关键．
【详解】A、，所以与不相等，故此选项不符合题意；
B、，所以与不相等，故此选项不符合题意；
C、，所以与相等，故此选项符合题意；
D、，所以与不相等，故此选项不符合题意；
故选：C．
知识点05 有理数的混合运算
有理数的混合运算法则：
先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。
【即学即练1】
计算：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可．
（1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可；
（2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
题型01 幂的概念的理解
【典例1】．代数式的意义可以是（ ）
A．6个n相加B．6个n相乘C．n个6相加D．n个6相乘
【答案】D
【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解，
本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念．
【详解】解：
A、6个n相加，表示为：，不符合题意，
B、6个n相乘，表示为：，不符合题意，
C、n个6相加，表示为：，不符合题意，
D、n个6相乘，表示为：，符合题意，
故选：D．
【变式1】对于式子，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3B．底数是C．结果为D．表示3与相乘
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答．
【详解】解：式子中：
指数是3，故A选项正确；
底数是，故B选项正确；
结果为，故C选项正确；
表示3个相乘，故D选项错误；
故选D．
【变式2】表示（ ）
A．5乘以B．5个连加C．5个连乘D．5个4连乘
【答案】C
【分析】本题考查幂的概念理解．根据表示个连乘，即可得出结果．
【详解】解：表示5个连乘；
故选C．
【变式3】 表示（ ）
A． 个 相乘的相反数 B． 个 相乘 C． 个 相乘 D． 个 相乘
【答案】B
【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念即可得．
【详解】
则表示的是6个相乘，
题型02 有理数的乘方的运算
【典例1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3．
【答案】（1）8；（2）﹣625；（3）﹣；（4）﹣．
【分析】可根据乘方的意义，先把乘方装化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算，或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．
【详解】解：（1）23＝8；
（2）﹣54＝﹣625；
（3）﹣＝﹣；
（4）﹣（）3＝﹣．
【变式1】计算：（ ）．
A．B．C．D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数乘方就是几个相同的数相乘是解题的关键．
直接运用乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选D．
【变式2】计算： ， ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键．
【详解】解：；；；
故答案为：，4，．
【变式3】 ； ； .
【答案】1 9
【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解．
【详解】解：；；．
故答案为：1；9；．
题型03 偶次方与绝对值的非负性
【典例1】已知，则（ ）
A．， B．， C．，D．，
【答案】B
【分析】由非负数的性质可得：，，从而可得答案.
【详解】解：∵
而，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，即：，
，即：，
故答案为：，2．
【变式2】已知有理数n、m满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得，，再代入原式即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，即：，
，即：，
，
故答案为：．
【变式3】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝ 9 ．
【答案】9
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
【详解】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
题型04 有理数的混合运算
【典例1】计算：
(1) (2)．
【答案】(1)4；(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方等知识．熟练掌握有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方是解题的关键．
（1）先计算乘除，然后进行减法运算即可；
（2）先计算乘方，然后进行乘除运算即可；
（3）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
【变式2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ．
【答案】
【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【详解】解：把代入可得：，
再把代入可得：，
所以y，
故答案为：．
【变式3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（ ）
A．10B．﹣15C．﹣16D．﹣20
【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆3＝﹣2×32﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20，
故选：D．
题型05 乘方的实际应用
【典例1】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【答案】(1)层数；(2)6.4毫米
【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．
（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；
（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．
【详解】（1）解：∵对折1次，层数，
对折2次，层数，
对折3次，层数，
∴对折n次，层数；
（2）解：
（毫米），
答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．
【变式1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为 2n 个．
（2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 32000 个细菌．
（3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
【答案】（1）2n；（2）32000；（3）32倍．
【分析】（1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得；
（2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得；
（3）两个小时后的数量是1小时后的，计算可得答案．
【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，
故答案为：2n；
（2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌，
故答案为：32000；
（3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍．
【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？
【答案】1
【分析】根据有理数的乘方的意义，列式计算即可．
【详解】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米，
答：第六次后，还剩1平方米．
1．下列算式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
3．等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
4．下列各数中，是负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查负数的定义，负数就是小于0的数．解题的关键是化简各数．先分别利用有理数乘方的运算法则化简各数，再根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，选择正确答案．
【详解】解：A、是正数，不符合题意；
B、是负数，符合题意；
C、是正数，不符合题意；
D、是正数，不符合题意；
故选：B．
5．计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的乘方计算，根据有理数的乘方运算法则计算即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：．
故选：D．
6．计算：（ ）
A．B．8C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
故选：B．
7．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查乘方运算和绝对值等知识，根据乘方和绝对值的意义逐项判断即可，掌握绝对值的定义是解题的关键．
【详解】解：A．由于，故，因此，此选项错误，不符合题意；
B．互为相反数的两个数的平方相等，即，此选项错误，不符合题意；
C．互为相反数的两个数的立方互为相反数，即，此选项正确，符合题意；
D．无法判断的符号，因此无法直接去掉中的绝对值，反例：当时，，此选项错误，不符合题意．
故选：C．
8．的计算结果的个位数字是 （ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【分析】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．分别探索和的个位数字，转化为探索和即可．
【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可，
∵，，，，，
∴个位数字是每个一循环，
∵，
∴的个位数字为，
∴的个位数字为，
的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可，
∵，，，，
∴个位数字是每个一循环，
∵，
∴的个位数字为，
∴的个位数字为，
∴的个位数字为，
故选：D．
9．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答．
【详解】解：当时，
是负数，故①正确；
，故②正确，④错误；
，故③正确；
综上所述，①②③正确．
故选：A．
10．若，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【分析】直接利用偶次方和绝对值的非负性得出x、y的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选B
11．的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ．
【答案】 1 1
【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键．
在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可．
【详解】解：的底数是，值为；
的底数是，值为；
故答案为：，；，．
12．已知为正整数，计算的结果是 ；
【答案】2
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
13．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
14．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【详解】
解：根据有理数的运算可得：，，等．
故答案为：（答案不唯一）．
15．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入的值为时，输出的数值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
【详解】解：当输入的值为时，输出的数值为：
．
故答案为：．
16．某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个．
【答案】8
【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：（次，
则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个．
故答案为：8．
17．若，，且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方求出、，再判断出、的符号情况，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
，，
，
，，
，
故答案为：．
18．如果，则，根据此规定， ．
【答案】3
【分析】根据题意代入具体的数值计算即可求解．
【详解】解：∵，则，
∴如果设，则，
解得：，
故答案为：3．
19．1m长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下部分的一半，如此截下去，第6次后剩下木棒的长度
（用乘方表示）
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，得到第一次剩下木棒的长度为，第二次下木棒的长度为，第三次下木棒的长度为，以此类推，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：第一次剩下木棒的长度为，
第二次剩下木棒的长度为，
第三次剩下木棒的长度为，
…
∴第6次后剩下木棒的长度；
故答案为：．
20．，则 ．
【答案】
【分析】直接利用绝对值和平方的非负性得出的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
21．计算下列各题：
(1) (2) (3)
(4) (5)
【答案】(1)17；(2)；(3)；(4)；(5)1
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键．
（1）先计算乘除，再计算减法即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可；
（3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解；
（4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可；
（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式=
．
22．计算：
(1)； (2)．
(3)． (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键．
（1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可；
（2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
23．观察下列各式：，，．
(1)按照发现的规律填空：________；
(2)你发现的规律是：________；（n为正整数）
(3)用规律计算：．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】本题考查离散值的变化规律，运用规律计算是关键．
（1）根据所给算式的特点写出即可；
（2）写出发现的规律通式即可；
（3）运用规律计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
故答案为：；
（2）．
故答案为：；
（3）原式
24．当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）．
(1)计算当你对折次时，层数是多少；
(2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少．
【答案】(1)64；(2)
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
（）根据题意总结规律即可得解；
（）先算出层数，再乘即可得出结果．
【详解】（1）解：纸对折一次时，就得到层，即层；
当对折两次时，就得到层，即层；
当对折三次时，就得到层，即层；
当折纸的次数是时，折得的层数是（且为正整数）；
，
所以对折次时，层数是；
（2）解：，
所以对折次时，总厚度是．
25．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题．
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ；
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ；
(3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可）
【答案】(1)12；(2)；(3)
【分析】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力．
（1）被减数最大，减数最小，选5和；
（2）商最小，找符号不同的，选1和；
（3）选这四张卡片，．
【详解】（1）解：2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选5和，
∴，
故答案为：12．
（2）解：2张卡片上的数字相除得到的商最小，找符号不同的，选1和，
∴，
故答案为：．
（3）解：选这四张卡片，．
26．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．
(1) (2) (3)
【答案】(1)底数是，指数是3；(2)底数是，指数是4；(3)底数是m，指数是
【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘．
（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；
（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；
（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．
【详解】（1）解：，底数是，指数是3．
（2）解：，底数是，指数是4．
（3）解：，底数是m，指数是．
27．对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；．
(1)求；
(2)求的值；
【答案】(1)16；(2)64
【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．
（1）由，可得，计算求解即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
(1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
(2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【答案】(1)128；(2)
【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：（根）
∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．
（2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是．
∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，
∴8次后，平均每一根面条横截面积．
29．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解．
解：设①
即②
②①得：
原式
请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值：
(1)________．
(2)计算：．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大．
（1）由题意可知，，把原式变形后代入求解即可；
（2）设，则有，依照例题求解即可．
【详解】（1）由题意可知，，
∴
（2）解：设①
即②
②①得：
∴
原式
30．阅读材料：求的值．
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
（1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；
（2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据材料，设①，
将等式两边同时乘以3，则②，
由，得：，
，
；
（2）根据材料，设③，
将等式两边同时乘以④，
由，得：，
,
．
课程标准
学习目标
①有理数乘方的意义
②有理数的乘方运算
③有理数的混合运算
掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。
掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。
掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。