专题19 相似三角形章末易错压轴题型（17易错+8压轴）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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易错题型一 比例线段
1．若线段，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可．
【详解】解：，
∴，
故选：A．
2．小明有一张上海市地图，地图的比例尺是，如果A，B两地在地图上的距离是4厘米，那么A，B两地的实际距离是（ ）
A．8千米B．0.8千米C．0.08千米D．0.008千米
【答案】B
【分析】4厘米千米，再设A，B两地的实际距离是x千米，即得出，求解即可．
【详解】解：4厘米千米，
设A，B两地的实际距离是x千米，
则，
解得：，
故A，B两地的实际距离是0.8千米．
故选B．
【点睛】本题考查比例尺．掌握比例尺=图上距离÷实际距离是解题关键．
3．已知：，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查线段的比，交叉相乘求出a和b的关系是解题关键．根据题意可求出，从而即得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
易错题型二 比例的性质
4．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质即可求解．
【详解】解：，
．
故答案为：．
5．已知，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键.
【详解】解：设，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
6．若，且，求a的值．
【答案】
【分析】此题考查了比例性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
由已知可设，，代入，求出即可求出a的值．
【详解】解：
∵，设，，
则，
∴，
∴
易错题型三 黄金分割
7．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ）
A．3.82B．4.82C．6.18D．6.28
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∴，
故选：A．
8．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：米，
故米，
故答案为：．
9．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若cm，求的长．
【答案】cm
【分析】根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题．
本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，cm，
cm，
cm，
的长为cm.
易错题型四 由平行线截得的比例线段
10．如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（ ）
A．2.5B．3C．4.5D．5
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
∴，
故选：B．
11．如图，已知，，，那么CE的长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故答案为：16．
12．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长．
【答案】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
易错题型五 两个三角形相似的判定
13．如图，在菱形中，．
(1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图；
（2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
14．如图，在平行四边形中，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，且．求证：；
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定．利用平行四边形的性质，得，结合，得，因为，所以证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可．
（1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可；
（2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
易错题型六 选择或补充条件使两个三角形相似
16．如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意；
B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意；
C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意；
D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意；
故选A．
17．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意；
由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意；
故答案为：①②④．
18．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且．
(1)求证：
(2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________．
【答案】(1)见解析
(2)或或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，即，
当时，
；
或当时，
；
或当时，
∴，
故答案为：或或
易错题型七 利用相似三角形的性质求解
19．已知，和的周长分别为和，且，，求和的长．
【答案】，
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的性质．
先根据相似三角形的性质列出比例式，转化为待求线段的方程求解．
【详解】解：，
，
，
，．
20．如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长．
【答案】2
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据已知条件得到分别为，的中线，再根据得出即可求解．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴分别为，的中线，
∵，
∴，
即，解得：，
∴的长为2．
21．如图，，相交于点，．
(1)若，，求的度数；
(2)若；的周长为，求的周长
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质；
（1）根据相似三角形的性质可得，，进而根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据相似三角形的性质可得周长之比等于相似比，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴的周长: 的周长
∵的周长为，
∴的周长为
易错题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形
22．如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断格中所画格点三角形为直角三角形，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【详解】解：由图知：∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，AC：BC＝2，
A选项中，三条线段的长为，2，，因为（）2+（2）2＝（）2，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似；
而B选项中长直角边与短直角边的比为3，所以B中格点三角形与△ABC不相似；
C选项中，三条线段的长为， ，，因为（）2+（）2＝（）2，此三角形为直角三角形，两直角边的比为1，所以C选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D选项中的两直角边的比为1：1．所以D中格点三角形与△ABC不相似；
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，能在格点中表示各个线段的长度和掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键，
23．如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似．
【详解】解：在中，，，，
的三边之比为：；
在中，，，，
的三边之比为：，
与相似；
在中，，，，
的三边之比为：，
与不相似；
在中，，，，
的三边之比为：，
与不相似；
故答案为：．
24．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使；
(2)在图②中，画出一个格点C，使是以为斜边的等腰直角三角形；
(3)在图③中，在线段上画出点P，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用平行线分线段成比例定理作出图形即可；
（2）根据网格的特点和等腰直角三角形的性质画出图形即可；
（3）根相似三角形的性质作出对应图形即可．
【详解】（1）如图所示，点M即为所求；
（2）如图所示，点C即为所求；
（3）如图所示，点P即为所求；
易错题型九 相似三角形的动点问题
25．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似．
A．2B．C．或2D．或2
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设x秒后，与相似，则，
当与是对应边时，则，
，
解得，
当与是对应边时，则，
，
解得，
故经过2秒或秒后，与相似，
故选：．
26．如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（ ）
A．20B．16C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
【详解】解：若点在上时，如图，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入方程式
解得：(舍去)，，
，
，，
矩形的面积为；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
27．如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后和相似？
【答案】或2
【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．
【详解】解：设经过秒后和相似．
则，，
，，
，
①与边是对应边，则，
即，
解得，
②与边是对应边，则，
即，
解得．
综上所述，经过秒或2秒后和相似．
故答案为：或2．
易错题型十 相似三角形的实际应用
28．立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可．
【详解】解：设这栋楼高x丈，
由题意得，，
解得，
∴这栋楼高12丈，
故答案为：12．
29．如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为 米．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据光沿直线传播的道理可知，则，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】解：太阳光是平行光线，
，
，
，即，
米，
故答案为：．
30．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）．
【答案】点E到地面的高度为
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案．
【详解】解：反射角等于入射角，
．
．
又，
∴，
，
．
．
．
，解得．
由题意，可得，
．
，即，
解得．
点E到地面的高度为．
易错题型十一 重心的有关性质
31．如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．6B．4C．5D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键．
根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出．
【详解】解：∵经过的重心，
∴点D是中点，
∵
∴
∵，
∴
∵点E是中点，
∴，即，
解得：
故选：B．
32．如图，是的重心，连接并延长交于，若的面积为5，则四边形的面积是（ ）
A．2B．5C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了重心的概念，三角形中线的性质，熟练利用面积的转化得到的面积和四边形的面积相等是解题的关键．根据重心的概念，得到，是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答．
【详解】解：∵是的重心，
∴，是的中线，
∴，
∴四边形的面积，
故选：B．
33．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成的两条线段．
（1）如图，在中，为中线，点是的重心，若，则 ；
（2）如图，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为 ．
【答案】 6 8
【分析】（1）利用重心将中线分成的性质，已知的长度，先求出，再通过得到的长度．
（2）先依据中线性质得出与的关系，算出的面积，再结合重心分中线的比例，求出的面积．
本题主要考查了三角形重心的性质（重心将中线分成的两条线段 ）以及三角形面积与中线的关系，熟练掌握三角形重心性质和中线对三角形面积的分割规律是解题的关键．
【详解】解：（1）在中，点是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）在中，中线，相交于点，为的重心．
∴，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
易错题型十二 相似多边形
34．如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．六边形的周长等于六边形的周长的倍
C．
D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍
【答案】C
【分析】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似图形的性质解答即可．
【详解】解：∵六边形六边形，相似比为，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵六边形六边形，相似比为，
∴六边形的周长等于六边形的周长的2倍，故B选项错误，不符合题意；
∵六边形六边形，相似比为，
，
∴，故C选项正确，符合题意；
∵六边形六边形，相似比为，
∴六边形的面积等于六边形的面积的4倍，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
35．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查相似性质，多边形内角和．根据题意利用相似性质可得对应角相等，再利用四边形内角和继而求出答案．
【详解】解：∵两个四边形相似，四边形内角和为，
∴的度数是：，
故答案为：．
36．如图，四边形四边形，，．
(1)___________；
(2)求边的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似多边形的性质；
（1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得；
（2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴
∴
故答案为：
（2）解：∵四边形四边形
∴
∵，
∴
解得：
易错题型十三 位似图形
37．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移B．对称C．位似D．旋转
【答案】C
【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解．
【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键．
38．在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）．
【答案】小亮
【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案．
【详解】解：延长、、、分别到、、、，
则四边形是四边形的位似图形，
所以小亮正确．
故答案为：小亮．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键．
39．已知与各顶点都在网格的格点上，其坐标信息如下表：
(1)根据表格信息，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整；
(2)在（1）的条件下，画出；
(3)观察与，写出一条有关这两个三角形关系的正确结论．
【答案】(1)图见解析；8，6；5，1；10，2
(2)见解析
(3)是的位似图形
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（）根据点的坐标建立直角坐标系，在平面直角坐标系中写出点坐标，通过表格观察可知对应点的横纵坐标都乘以，则可以得到点的坐标；
（）利用（）中各点的坐标描点即可；
（）根据位似的定义进行判断；
【详解】（1）如图，，，
故答案为：8，6；5，1；10，2；
（2）如图，即为所作；
（3）是的位似图形，位似中心为原点．
易错题型十四 求位似图形的坐标
40．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查求位似图形的对应点的坐标，根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系，进行求解即可．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，，
∴点坐标为，即：；
故选C．
41．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为3的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似，相似三角形折判定与性质，点的坐标，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．作轴于，轴于，证明，得，从而求得，的长，继而由点C在第二象限内，即可得出其坐标．
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵与以点O为位似中心，相似比为3，
∴，，
∵轴于，轴于
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴，，
∵点C在第二象限内，
∴．
故选：C．
42．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解，点坐标为
【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．
（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作图形；
（2）解：如图，即为所作图形；
（3）解：和是位似图形，点为所求位似中心，如图点即为所求．
可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并再网格点上，
∴点坐标为．
易错题型十五 求两个位似图形的相似比
43．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：D．
44．如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【详解】解：∵与位似，与的面积比为，
∴与位似的位似比是，
∴．
故答案为：．
45．已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出；
(2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________．
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
（1）根据位似图象的特征进行作图即可；
（2）根据位似图形的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形．
（2）解：∵放大为原来的2倍得到，
∴，
∴，
．
故答案为：；．
易错题型十六 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
46．如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍的作法正确B．只有明明的作法正确
C．两个人的作法都正确D．两个人的作法都不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可．
【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确．
故选：C．
47．顶点的坐标分别为，以坐标原点O为位似中心，画出放大的，使得它与的位似比等于2∶1，则点C的对应点坐标为 ．
【答案】或
【解析】根据位似变换的性质计算即可.
【详解】解：如图所示：
以坐标原点O为位似中心，放大的△A1B1C1，它与△ABC的位似比等于2: 1，
点C的坐标为(3，-4)
∴点C的对应点C1坐标为(3×2，-4×2) 或(-3×2，4×2)
即(6，-8)或(-6，8)，
故答案为: (6，-8)或(-6，8)．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
48．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，．
(1)画出将绕点顺时针旋转得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解，
【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质作图即可；
（2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解．
【详解】（1）解：作图如下，
∴即为所求图形；
（2）解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为，
∴，
作图如下，
∵，
∴，
∴即为所求图形．
易错题型十七 在坐标系中求两个图形的相似比、周长比或面积比
49．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度．
(1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的倍后的位似图形；
(2)若的周长为，则的周长是 （用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）连接，使得，，，顺次连接即可；
（）与为位似图形，则，且相似比为，故有的周长与周长的比为，代入即可求解；
本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，使得，，，顺次连接
∴即为所求；
（2）解：∵与为位似图形，
∴，且相似比为，
∴的周长与周长的比为，
∵的周长为，
∴的周长为，
故答案为：．
50．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为．
(1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出．
(2)设与，面积分别为和，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了位似变换，
（1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出面积比即可．
【详解】（1）如图所示：
即为所求；
（2）与是位似图形，位似比为，
51．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形的五个顶点坐标分别为，，，，．
(1)以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形的位似图形，使它与五边形的相似比为．
(2)写出的坐标______．
(3)已知五边形的面积为，则五边形的面积为______．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)54
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的性质是解题的关键；
（1）根据位似比为，把A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到的坐标，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所求，写出的坐标即可；
（3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，五边形即为所求；
（2）解：由题意得，点的坐标为，
故答案为：
（3）解：∵五边形与五边形关于原点位似，且位似比为，五边形的面积为，
∴五边形的面积为，
故答案为：．
压轴题型一 比例线段综合
52．已知：线段a、b、c，且．
(1)求的值．
(2)如线段a、b、c满足，求的值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】此题主要考查了成比例线段，熟练掌握比例的基本性质，合比性质，是解题关键．
（1）根据合比性质即可得出的值；
（2）首先设，则，利用求出k的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
53．已知线段，，．
(1)求线段与线段的比和线段与线段的比；
(2)如果线段、、、成比例，求线段的长．
(3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)
(3)是和的比例中项，理由见解析
【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键．
（1）根据；，，即可求得的值，的值；
（2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长；
（3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项．
【详解】（1）解：，，
；
，，
；
（2）解：线段、、、是成比例线段，
，
，
；
（3）解：，，
，
是和的比例中项．
54．阅读下面的一段文字：
设，则有，当时，．
从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．
利用等比性质完成下题：
(1)在和中，，且厘米，求的周长．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)15厘米
(2)
【分析】本题考查了比例的基本性质．
（1）根据题意得到，由，代入计算即可求解；
（2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果．
【详解】（1）解：，且，
，
的周长（厘米）．
故的周长为15厘米．
（2）解：，
，
，
．
压轴题型二 黄金分割综合
55．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；
操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．
根据以上操作，直接写出图3中的值：________；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点．
在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；
（2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；
（3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：四边形是菱形，
理由：如图3，由折叠可知：，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴由（1）可知，，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点M是线段的黄金分割点，
∴或，
即或，
∴或，
∴或，
∴或；
即的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．
56．
【答案】任务1：矩形，任务2：见解析；任务3：见解析
【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案；
任务2：先证明，证明即可得到答案；
任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论．
【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图，
设， 由第一步折叠知： ，
由第二步折叠知： ．
在中，
，
由第三步折叠知： ．
，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
任务2：设， 由第一步折叠知： ，
由第二步折叠知： ．
在中，
，
由第三步折叠知： ．
，
．
矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形．
任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得
设，
四边形，为正方形，
，，
，
，．
设反比例函数关系式为，把代入，
． 即点落在的函数图象上．
当时，．
点也落在的函数图象上．
点是在同一个反比例函数图象上．
若为宽，如图，则，
设，
四边形，为正方形，
，，
．
，．
同理可得：点不在同一个反比例函数图象上．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
57．如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点．
类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题．
①______（填“＞”“＜”或“”）．
②是的黄金分割线吗？为什么？
【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析
(2)①；②是的黄金分割线，理由见解析
【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义．
（1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解．
（2）①，可知，，即可求解；
②由题意可知，，再结合（1）即可求解．
【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线，
理由如下：如图，过点作于点，
点是线段的黄金分割点，，
，
，
即，
线段所在直线是的黄金分割线；
（2）解：①，
，
，
即，
故答案为：；
②是的黄金分割线，
理由：由题意可知，
，
，
，
同理，，
由（1）知，，
则有．
是的黄金分割线．
压轴题型三 相似三角形的判定与性质综合
58．如图，为的直径，弦于点，直径交弦于点，弦分别交于点M，G，连结．
(1)①写出图中所有与相等的弧______．
②求证：．
(2)若，求的度数．
(3)当时，，求的长．
【答案】(1)①、；②见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①由垂径定理得，由得，故答案为：、；②由，点是的中点，；
（2）连结，，证明，得，可得 ，结合，得，得，可得，得；
（3）根据已知证明，可得，得，根据，得，即得．
【详解】（1）解：①∵为的直径，弦于点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
故答案为：、；
②证明：为的直径，弦于点，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，且点是的中点，
；
（2）解：连结，，
由（1）可知是等腰三角形，，
，
是直径，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
，
，
；
（3）解：由（1）（2）可知，，
，
，
，
，
，是中点，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆垂径定理，圆周角定理及推论，等腰三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，是解题的关键．
59．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，当经过点时，求证：点是的中点；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的值为或．
【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证；
（）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证；
（）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，
由（）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，，，解得，，
作于点，
当时，，则，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当时，，则，
同理，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
60．如图1，在中，，点，，分别在边，，上，，．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，当点与点重合时，求证：是的中点．
(3)如图3，作交边于点（点在点的左侧），猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用等边对等角，得出，结合，可得，再利用三角形外角的性质，得出，结合，求出；
（2）当点与点重合时，先根据等角对等边证得，再证明，然后利用等角对等边证得，从而可得，即有是的中点；
（3）作的中点J，先利用直角三角形斜边上的中线的性质证得，再利用等边对等角，得出，结合已知可证得，再证明，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证明，利用全等三角形的性质可得，从而可得，这样就有，从而可得，于是可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
又是的一个外角，
，
，，
，
，
；
（2）当点与点重合时，
∵，
∴，
又，
，，
，
，
，
即是的中点；
（3）作的中点J，
，，
，，
，
，
，
作，则，
，
，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握上述知识点，并能运用这些知识点求解．
压轴题型四 重心的性质应用
61．如图，已知在中，中线，交于点，交于点．
(1)如果，求和的长．
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得；
（2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明．
【详解】（1）解：中线，交于点，
点为重心，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
由（1）得，
，
点为重心，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质．
62．我们知道三角形中线的交点叫重心．如图所示，点D是的重心，点A，C，M分别三边的中点，经过点A，B，C，D，连接交于点N．
【探究】
（1）猜想线段的值，并证明你的结论．
【应用】
（2）若中线，求边的长．
【拓展】
（3）若，求的面积．
（4）若，求的周长．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）是的中位线，则，那么，得到，故，，设，则，继而；
（2）根据平行线的性质和圆周角定理得到，则， 则，即可求解；
（3）根据垂径定理推论得到经过圆心，同上可知，，，得到，在中，由勾股定理得：，解得：，故，，那么；
（4）设，由重心性质得：， 则由上知，则，故，同理可得：，同理可求：，由，则．
【详解】解：（1），证明如下：
∵点D是的重心，
∴，
∵点A，C，M分别三边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴,
∴；
（2）如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图：
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴经过圆心，
同上可知，，,
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，，
∴；
（4）如图：
设，
由重心性质得：，
则
由上知，
∴，
∴，
解得：
∴，
同理可得：，
同理可求：，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心的概念与性质，圆周角定理，垂径定理推论，三角形的中位线定理，正确找出相似三角形是解决本题的关键．
63．如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．

(1)如果．
①求证：平行四边形为菱形；
②若，求线段的长．
(2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①如图所示，连接交于O，证明，得，从而得，则，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是的重心，由重心性质得，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，从而得，解得，即可得，再由平行四边形性质即可得出长；
（2）先证明，由点E是的重心，在直线上，则是的中线，则，根据重心性质得 ， ，在中，由勾股定理，得，则，在中，由勾股定理，得，，则．
【详解】（1）证明：①如图所示，连接交于O，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
②∵，
∴是的中线，
∵为中点，
∴是的中线，
∴点E是的重心，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵与相交于E、F，
∴，
∴，
由（1）②知点E是的重心，
又∵在直线上，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴， ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查圆，平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知重心的性质是解题的关键．
压轴题型五 相似三角形的动点问题综合
64．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．

(1)__________；
(2)求的长（用含t的代数式表示）；
(3)连接，当是直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)或
【分析】
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）
解：∵，，，
∴；
（2）
解：如图，当时，

∵，，
∴，
∴，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，，
∴，
∴；
如图，当时，

∵，，
∴，
∴，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，，
∴，
∴，
综上所述：．
（3）
解：如图，

当时，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，
∴；
如图，

当时，
∵，
∴，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了动点问题，涉及到相似三角形、勾股定理等，综合性较强，灵活合理的运用分类讨论思想是解题关键．
65．如图，在中，，，．已知动点从出发，以每秒个单位速度向运动，同时动点从出发，以都秒个单位的速度向运动，其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．以为边在它的右侧作正方形．设两点的运动时间为．
(1)如图1，当时，求的边上的高的长；
(2)如图2，当点落在边上时，求的值．
(3)在动点运动的过程中，当正方形的某一边被的一边平分时，求出此时的值．
【答案】(1)的边上的高的长
(2)的值
(3)的值为或或或
【分析】（1）如图所示，过点作于，在中，，，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作于，过点作于，可证，得，再证，可求出，由此即可求出，，，的值，由此即可求解；
（3）根据题意，解题图形，分类讨论，①如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，过点作于；②如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于；③如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于；④如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于；再结合三角形的全等，相似三角形判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：，，，，
∴，则，
在中，，
点从出发，速度是每秒个单位，点从出发，速度是每秒个单位，
当时，，，则，如图所示，过点作于，
在中，，，
设，
∴，即，
∴，即
∴的边上的高的长．
（2）解：如图所示，过点作于，过点作于，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
设两点的运动时间为，由（1）中得，，，
∴，
∵，为公共角，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∴．
（3）解：①如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，过点作于，
由（2）可知，，且，
∴，，
∴，
∴，解得，；
②如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，
同理可证，，且，
∴在中，，，
∴，，
∴，
∴，解得，；
③如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，
同理可证，，，且，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
④如图所示，当的中点在边上时，分别过点作于，
同理可得，，且，
在中，，，
∴，，，
∴，
∴，解得，；
综上所述，当正方形的某一边被的一边平分时， 的值为或或或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，理解题意，图形结合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
66．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线运动，连接作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)当时，求点E的坐标；
(2)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）本题需先求出，再求出，即可求出点E的坐标．
（2）本题需先证出，求出，再分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】（1）当时，，
∵，
∴，
∴，
为矩形
∴，
∴，
∴
∴点E的坐标是；
（2）存在，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵若，
∴ ,
∴，
∴ ，（舍去），
∴P的坐标为（0， ）；
当点P在y轴的负半轴上时，若，则有，无解，
若，则有：，
解得 或（舍弃）
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键.
压轴题型六 相似三角形的模型问题
67．如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
(1)求证：△ADE≌△BFA；
(2)连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DCAB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DCAB，
∴∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
设∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质．
68．如图，长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处，点B的对应点E落在AD边上，
(1)若，，如图（1），连接DF．
①求DE的长；
②求的面积．
(2)若，，如图（2），连接BG，BG交EC于点H，连接DH，求的面积．
【答案】(1)①8；②
(2)
【分析】（1）①在中，利用勾股定理可直接进行计算求出；
②过点作于，可证，则，得，代入计算即可得出面积；
（2）过点作于，过点作，交的延长线于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，通过可证，设，则，在中由勾股定理得，解得：，得
，，从而得出点的坐标，求出直线、的函数解析式，联立得出点的坐标，即可解决问题．
【详解】（1）解：①长方形绕点旋转到长方形处，
，
在中，由勾股定理得，
；
②过点作于，
，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于，过点作，交的延长线于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
，
设，
则，
在中由勾股定理得，
，
，
解得：，
，
，
由（1）可得：，
可得，
直线的函数解析式为，
根据，
，，
直线的函数解析式为，
联立得，
点到的距离为，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是建立直角坐标系，运用代数方法解决几何问题．
69．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝，求AF的长．
（2）若＝2，求的值；
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
【答案】（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，通过证明△ABF∽△EDF，可得＝，可求AF的长；
（2）由正方形的性质可得BD=AB，AO⊥BD，AO=BO=CO=DO=
AB，由锐角三角函数可求OF=AO=AB，即可求解；
（3）分别求出S1，S2，即可求解．
【详解】解：（1）∵点E为CD中点，AB=AD=CD= ，
∴DE=，
∴AE==，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∴AF=2EF，且AF+EF=，
∴AF= ；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，BD=AB，AO⊥BD，AO=BO=CO=DO，
∴AO=DO=BO=AB，
∵＝2，
∴OF=AO=AB，
∴DF=OD-OF=AB，BF=OB+OF=AB，
∴；
（3）如图2，设AB=CD=AD=a，则BD=a，
∵＝x，
∴DE=xa，
∴S△ADE=×AD×DE=xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴，
∴DF=x•BF，
∴S△ABF=，
∵GF=2BG，
∴S2=S△ABG=S△ABF=，
∵AB=CB，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG=S△CBG，
∴S1=四边形AGCE的面积=a2-xa2-2×
∴=-3x2+3x+4=-3（x-）2+，
∴当x=时，的最大值为．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
压轴题型七 位似图形综合
70．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．

(1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求；
(3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：．
【答案】(1)①②；
(2)；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似．
（2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果．
（3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
【详解】（1）解：如图1，

故答案为：①②
（2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，

是公共角，，
，
，
．
，，
，
，
．
，
．
将代入得
，
解得．
（3）证明：如图4，

延长，交于F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵点D是的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
71．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．
(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标；
(2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答；
（2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；
（3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式．
【详解】（1）解：由折叠得：，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
；
（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，
过作轴于，
，
是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是15；
（3）解：如图③，过作轴于，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
设的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
的解析式为．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
72．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比．
(1)下列各图，是位似图形的有______
(2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”）
②如图，，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．两个三角形的位似比为
D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点
(3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是．
【答案】(1)
(2)①一定是，不一定是；②C
(3)图见解析
【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键：
（1）根据位似图形的定义，进行判断即可；
（2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可；
（3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求．
【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形，
故答案为：；
（2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形；
故答案为：一定是，不一定是；
②∵，
∴，
又∵对应点和对应点的连线交于点，
∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为；
综上，只有选项C的说法不正确，符合题意，
故选：C；
（3）如图，矩形即为所求
由作图可知：，
∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为．
压轴题型八 相似三角形的新定义问题
73．对数学痴迷的嘉嘉，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：
如图1，点，在线段上，点在点的左侧，若线段，，满足：，则称点，是线段的钻石分割点．
(1)【定义理解】如图2，点，在线段上，，，．判断：点，是否为线段的钻石分割点？并说明理由．
(2)【类比探究】如图3，在中，，是边的钻石分割点，，分别是边，上的点，，连结，分别交于点，，若．
①求的值（用含的代数式表示）；
②求证：，是线段的钻石分割点．
(3)【知识迁移】如图4，点是反比例函数图象上的动点，直线与坐标轴分别交于，两点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，且交线段于点，．若点，是线段的钻石分割点，求的值．
【答案】(1)点，是线段的钻石分割点，理由见解析
(2)①k；②见解析
(3)
【分析】（1）先求出的长度，然后根据钻石分割点的定义判断即可；
（2）证明，，根据相似三角形的性质得出，，结合已知即可求解；
②根据相似三角形的性质可求出，，，根据钻石分割点的定义得出，代入并化简可得出，然后根据钻石分割点的定义判断即可；
（3）先分别表示B、F、E、A的坐标，根据两点的距离公式计算，，的长，最后根据新定义可得结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴点，是线段的钻石分割点；
（2）解：①∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，；
②由①知：，，
同理，
∵，是边的钻石分割点，
∴，
∴，
∴，
∴，是线段的钻石分割点；
（3）解：对于，
当时，，
当时，，解得，
∴，，
设，
∵轴，轴，
∴E点横坐标为n，F的纵坐标为，
∴E点纵坐标为，F的横坐标为，
∴，，
∵点，是线段的钻石分割点，
∴，
∴，
整理得，
解得，
又直线与、在第一象限有交点，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了新定义钻石分割点的理解和运用、一次函数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式等知识，熟练掌握勾股定理和运用两点的距离公式表示线段的长是解题的关键．
74．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析
【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点；
问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线，
任务：
过点作交于点，则点即为所求的点；
任务：
由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线；
任务：
连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线．
【详解】解：任务：
问题：
点是的黄金分割点，理由如下：
由旋转可得：，，，
为的黄金分割点，
，
，
点是上的黄金分割点；
问题：
直线不是四边形的黄金分割线，
理由：，，
在中，，
，
，
直线不是四边形的黄金分割线，
故答案为：直线不是四边形的黄金分割线；
任务：
边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线，
过点作交于点，则是四边形的黄金分割线，
如图：

在中，，
又，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是平行四边形，
为的黄金分割点，
，
，
则是四边形的黄金分割线，
点即为所求的点；
任务：
正确，理由如下：
如图：
是的黄金分割点，
，
，，
，
是三角形的黄金分割线；
任务：
证明：连接，如图：
，
，，
，，
点是的边的黄金分割点，
，
，
，
直线是的黄金分割线．
【点睛】本题考查黄金分割，涉及新定义，平行四边形，中心对称等知识，解题的关键是读懂题意，理解黄金分割点，黄金分割线的定义．
75．定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

(1)如图1，在四边形中，，连结，点是的中点，连结，．
①试判断四边形是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若，求的度数；
(2)如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点，连结．若，，，求的长．
【答案】(1)①四边形是双等腰四边形，理由见解析；②；
(2)或
【分析】（1）①根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明；
②解法1：根据等边对等角，可得，，结合即可求解；
解法2：根据四点共圆的判定和性质，结合，即可求解；
（2）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得即，求解即可；当时，过点作于点，由②可知，，则是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可．
【详解】（1）解：①∵，点是的中点，
∴，
同理，，
∴，且是四边形的对角线，
∴ 四边形是双等腰四边形；
②解法1：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解法2：
∵，
∴ 点、、、共圆，
∵，
∴，
∴ ；
（2）解：如图1，当时，过点作于点，延长交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
设，，
则，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
如图2，当时，过点作于点，

由②可知，，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∴，；
设，，
则，，
在中，，
即，
解得，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质等，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质．
折叠黄金矩形
背景资料
古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为．
用矩形纸片折叠一个黄金矩形
操作步骤
第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形．
问题解决
任务1
找出图4中的另一个黄金矩形：___________．
任务2
证明矩形是黄金矩形．
任务3
如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证．
素材
定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材
某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材
平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．

问题解决
任务
问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由．
问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ．
任务
请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务
兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务
兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．