专题17 相似多边形与图形的位似-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：9大核心考点精准练+1大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：相似形
形状相同的图形是相似形.
1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2.全等形是一种特殊的相似形；
3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形B．两个矩形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．（2024九年级上·浙江·专题练习）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解．
【详解】设该化石的实际长度为，依题意，
，
解得：
故选：C．
3．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．

【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4）
【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可．
【详解】解：根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键．
知识点2：相似多边形
各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形.
两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比.
1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形；
3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．两个正方形B．两个等边三角形
C．各有一个角是的两个等腰三角形D．各有一个角是的两个等腰三角形
【答案】C
【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意；
B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意；
C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意；
D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意；
故选：C．
5．（2024九年级上·浙江金华·专题练习）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键．根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果．
【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和，
∴相似比为：，
∴面积为：，
故答案为：．
6．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知四边形四边形，求，和的值．
【答案】，，
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，多边形内角和．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，，，，
∴，
∵，，，，，，
∴，
解得：，，
故，，．
知识点3：位似的概念
如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心.
如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例.
2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个.
3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比
【即时训练】
7．（2025·浙江金华·二模）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ）
A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形
B．
C．蜡烛火焰长
D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，故B正确；
∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确；
∴，
∴，即蜡烛火焰长，故C正确；
线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误，
故选：D．
8．（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可．
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，
所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形．
故答案为：3．
9．（2022九年级下·全国·专题练习）位似图形的性质
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于 ．
（2）位似图形 相似图形，但相似图形 位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质．
（3）位似图形的对应边互相平行或 ．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ．
【答案】 一点 是 不一定是 共线 相似比
【分析】根据位似图形的性质直接作答即可．
【详解】解：根据位似图形的性质：
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点．
（2）位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质．
（3）位似图形的对应边互相平行或共线．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
故答案为：一点，是，不一定是，共线，相似比．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解答本题的关键．
知识点4：将图形放大或缩小
1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下：
（1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
（2）作位似中心与各关键点连线；
（3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
（4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形.
2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法：
【即时训练】
10．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中给出了格点（顶点是网格线的交点）．
(1)将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的．
(2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查作图平移变换、位似变换，勾股定理，熟练掌握平移、位似的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似的性质作出缩小为原来的的对应点、、，顺次连接即可；根据勾股定理即可求出的长度．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
∴．
11．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点A为中心，将绕点A逆时针旋转得到，画出；
(2)以点A为位似中心，在点A的上方将按相似比2放大，画出放大后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图位似变换以及旋转的变换，旋转的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
（1）根据旋转的性质，得到各点的对应点，，依次连接即可得到；
（2）根据位似的性质，得到各点在第四象限内的对应点，，依次连接即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
12．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）在图中网格上用无刻度直尺作出图形，保留作图痕迹：
(1)将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出；
(2)以为位似中心，在第四象限内画出将放大两倍后的位似，点，，的对应点分别为点，，；
(3)若轴上存在一点，使得的和最小，请在图中标出点的位置．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据旋转性质，分别找出点、点、点，再依次连接，即可作答．
（2）根据位似图形的性质，分别找出点，，，再依次连接，即可作答．
（3）先找到点关于轴的对称点，再连接该对称点与点，与轴的交点，即为点
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：点的位置如图所示：

【题型1 相似多边形】
1．下列命题中正确的是（ ）
A．两边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两角相等的三角形相似
C．所有的正边形都相似
D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键．
根据相似图形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意；
B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意；
C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意；
D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意；
故选：C．
2．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．都不相似
【答案】B
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可．
【详解】解：①②③的邻边之比分别为：，
∴相似的是②③，
故选：B．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可．
【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确．
故选：D．
4．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
【答案】10
【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴，解得：．
故答案为：10 ．
【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．
5．如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
由平移的性质可得四边形是矩形，，，由此可证得，，于是可得，，进而可得，于是可证得矩形矩形，由题意可得，于是得解．
【详解】解：由平移的性质可得：
四边形是矩形，，，
，，
，，
，
矩形矩形，
由题意可得：，
，即：．
【题型2 相似图形】
6．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ）．

A．矩形
B．矩形和锐角三角形
C．矩形和直角三角形
D．锐角三角形和直角三角形
【答案】A
【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；
故选：A
7．人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义．
结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；
选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；
选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；
选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确．
故选：．
8．下列说法：
①放大（缩小）的图片与原图片是相似形；
②比例尺不同的中国地图是相似形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形；
④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形；
⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形．
其中正确的说法有 个．
【答案】5
【分析】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键．根据相似图形的定义，对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：①放大（缩小）的图片与原图片是相似形，正确；
②比例尺不同的中国地图是相似形，正确；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形，正确；
④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形，正确；
⑤平面镜中，你的像与你本人是相同的，正确．
综上所述，正确说法有①②③④⑤，共5个．
故答案为：5．
9．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选）
【答案】相似
【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故答案为：相似．
10．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？
【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同
【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键．
【详解】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同．
【题型3 相似多边形的性质】
11．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
12．如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（ ）．
A．3.5和B．7和C．3.5和D．7和
【答案】A
【分析】此题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出，，进而解答即可．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴
故选：A．
13．已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：正五边形与正五边形的面积比为，
∴相似比为，
故选：C ．
14．已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：五边形五边形，且，
面积比为，
五边形的面积为，
五边形的面积为，
故答案为：．
15．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．
【答案】38
【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴，
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．
【题型4 位似图形的识别】
16．2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解．
【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转；
故选：B．
17．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查位似图形的识别，注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
18．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了平移和位似图形的定义，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行或位于同一直线上，这两个图形叫位似图形，根据定义判断即可。
【详解】解：（1）传动带上的电视机和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换；
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换；
故答案为：3个．
19．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形．
根据位似图形的定义进行判断即可解答．
【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，即与不成位似图形，
综上分析可知：与成位似图形有3个．
故选：C．
20．如图，菱形中，对角线、相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（ ）

A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．四边形和四边形都是平行四边形
【答案】C
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定定理判断A；根据三角形中位线定理、菱形的判定定理判断B；根据位似变换的概念判断C，根据平行四边形的判定判断D．
【详解】解：∵不一定等于为，
∴和不一定都是等边三角形，A错误，不符合题意；
∵不一定等于，
∴四边形和四边形不一定都是菱形，B错误，不符合题意；
∵四边形为菱形，
∴，又，
∴，，
同理，，，
∴四边形与四边形是以A为位似中心的位似图形，C正确，符合题意；
，但不一定等于，四边形和四边形不一定是平行四边形，D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、位似变换的概念、等边三角形的判定、平行四边形的判定，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
【题型5 位似中心】
21．如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】B
【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解．
【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，
，
∴它们的位似中心为，
故选：B．
22．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键．
由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心．
【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，，
∴设直线，的解析式为：，
∴，，
解得，，
∴直线，的解析式为：，
联立解析式，得到公共点，
∴位似中心是，
故选：C．
23．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．

【答案】
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，点为位似中心，．

故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
24．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 .
【答案】
【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是，
【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心．
（1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可；
（2）先画出位似的对应点，再依次连接即可；
（3）连接并反向延长，相交于点M，点M即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为．
【题型6 求位似图形的对应坐标】
26．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以即可求解．
【详解】解：∵，相似比为 ，
∴点A的对应点的坐标是或，
故选：D．
27．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，以点O为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系位似变换．利用点和点的坐标特征得到相似比，把放大2倍得到，然后把点的横纵坐标都乘以2得到点坐标．
【详解】∵线段两端点坐标分别为，以原点O为位似中心，将线段放大后得到对应线段，若的坐标为，
∴对应点在原点的两侧，且位似比为，则的坐标为 ．
故选：A.
28．如图，在平面直角坐标系中，轴，线段与线段是位似图形，且位似中心为点、点，的坐标分别为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据题意可得，再由位似图形的性质可得，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵轴，点，的坐标分别为，
∴，
∵线段与线段是位似图形，且位似中心为点、
∴，即，，
∴，
∴点的纵坐标为，
故选：B．
29．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限的与是位似图形，原点是位似中心，点与点是对应点，点与点是对应点．且．若点的坐标为，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，得出，根据，得出与位似比为，根据点的坐标为，点F在第二象限，进而求出坐标即可．
【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，
，
∵，
∴与位似比为，
∵点的坐标为，点F在第二象限，
点F的坐标是，
故答案为：．
30．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，．
(1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为；
(2)在（1）的条件下，写出点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
（1）根据位似变换的性质，延长到，使，延长到，使，连接，即为所求；
（2）根据位似性质结合图象可得答案．
【详解】（1）解：即为所求，如图所示
（2）点的坐标为．
【题型7 求两个位似图形的相似比】
31．如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，
∴，，，
∴，
∴，
故选：D．
32．如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．27
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解．
【详解】解： ，
，
四边形与四边形位似，位似中心是，
则四边形与四边形位似比是，
四边形的周长四边形的周长，
四边形的周长为，
四边形的周长，
故选：C．
33．如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查位似变换．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，位似比为，
，
，
，
故答案为：6．
34．如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可．
【详解】解：∵与位似，位似中心为点，位似比为，
∴，即比值为，
故答案为：．
35．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．

(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为．
(2)与的位似比是______．
(3)的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解；
（2）根据位似比等于相应线段之比，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，为所求．

（2）解：∵A的坐标为．点的坐标为，
∴与的位似比是位似比为，
故答案为：．
（3）的面积是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键．
【题型8 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】
36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，），画出线段；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；
(3)连接，在上作一点Q使得．（利用网格无刻度直尺作图）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了作图——位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键．
（1）结合网格特点，连接并延长至，使，同样的方法得到，连接即可得；
（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到点，连接即可得；
（3）作线段的垂直平分线即可得点Q．
【详解】（1）解：连接并延长至，使，同样的方法得到，连接，
线段即为求作；
（2）解：如图线段即为所求作；
（3）解：如图，点Q在线段的垂直平分线上时，点Q即为所求作的．
37．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点、的对应点分别为、．
(1)在第一象限内画出；
(2)求的面积；
(3)若点在边上，直接写出点位似后的对应点的坐标_____．
【答案】(1)见解析
(2)10
(3)
【分析】本题考查作图-位似变换．
（1）根据位似的性质作图即可；
（2）利用割补法求三角形的面积，用梯形面积减去两个三角形的面积即可；
（3）直接利用位似图形对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：的面积为；
（3）解：由题意得，点P位似后的对应点的坐标为．
故答案为：．
38．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到．
(1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写出画法）；
(2)若是内一点，则对应点的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，，，和放大为原来的2倍得到，得点的各自坐标，再依次连接，即可作答；
（2）根据位似图形的性质即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：依题意，，且相似比为2，
结合位似中心为点O，
故对应点的坐标是
故答案为：
39．如图，网格的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点A、B、C的坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标；
(2)画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】(1)，图见解析
(2)，图见解析
【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，熟练掌握相似三角形的性质及轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示,的坐标为；
（2）解：如图所示,的坐标为
40．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（顶点是网格线的交点）的一个顶点A在x轴上．
(1)以A为旋转中心，将线段绕点A旋转得到线段，画出线段；
(2)以O为位似中心，将放大为原来的2倍．
（ⅰ）在所给的网格图中画出放大后的（其中的对应边为）；
（ⅱ）若为边上任意一点，直接写出点P在线段上的对应点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）．
【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（2）（ⅰ）根据位似的性质作图，即可得出答案；
（ⅱ）根据位似的性质，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：（ⅰ）如图，即为所求．
（ⅱ）点在线段上的对应点坐标．
【题型9 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】
41．如图，与位似，位似中心为点，的面积为9，则面积为（ ）
A．12B．C．16D．18
【答案】C
【分析】本题考查位似的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵与位似，，
∴，
∵的面积为9，
∴面积为16，
故选：C．
42．如图，与是点为位似中心的位似图形，已知与的面积比为，若的长为2，则的长为（ ）
A．8B．4C．2D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∵的周长与的面积比是，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
43．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（ ）
A．2B．5C．10D．20
【答案】C
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为，
的周长的周长，
∵的周长为5，
的周长，
故选：C．
44．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴与的位似比为，
∴，
∴，
故答案为：．
45．已知：三个顶点的坐标分别为．

(1)画出关于 x轴对称的，并写出点的坐标______；
(2)以点 O 为位似中心，将放大为原来的 2 倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标为______，______．
【答案】(1)见解析，
(2)加解析，，
【分析】此题考查了作轴对称图形及位似图形，（1）分别确定对称点，顺次连线即可；（2）分别连接并延长二倍，确定点，顺次连线即可得到，利用位似图形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：
即为所求，；

故答案为：；
（2）解：如图：
即为所求，

由图可知：，
与位似，位似比是，
．
故答案为：，．
【拓展训练一 图形位似综合】
46．的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（ ）
A．只与的大小有关B．只与的大小有关
C．与、的大小都无关D．与、的大小都有关
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解．
【详解】解：如图：过点作轴，过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；
∵，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故，，，
，，，
的面积四边形的面积的面积的面积的面积，
，
即的面积是固定值，与与、的大小都无关．
故选： C．
47．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．过点A作轴于点E，过点作轴于点F，根据题意可得出，，结合相似三角形的性质即可求出和的长，即得出点A的坐标．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点作轴于点F，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，．
∵的位似图形为，
∴，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点A的坐标为．
故选：B．
48．如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．

【答案】2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积．
根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设点坐标为，则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为2．
49．如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，构建相似三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴于，轴于，构造相似三角形求出点的坐标，再利用位似变换的性质求出点的坐标，代入反比例函数即可．
【详解】解：过点作轴于，轴于，
将沿翻折得到，
，，，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，，
，
放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
．
故答案为：．
50．如图，平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，.
(1)三角形的面积为 ；
(2)若交轴于点，求的长；
(3)若点的坐标为，三角形的面积等于三角形的面积，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了直角坐标系的坐标以及三角形的面积等知识，掌握直角坐标系中点的坐标的含义是解答本题的关键．
（1）过点作轴于点，利用求解即可．
（2）根据题意可得，利用，求解即可．
（3）分成，和，两种情况讨论，过点作轴于点，利用求解；过点作轴于点，利用求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：时，过点作轴于点，如图，
∵轴，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，，，
∴，
即，
解得：，（舍）．
时，过点作轴于点，如图，
∵轴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∴，
解得：，（舍）．
综上可得：的值为或．
1．两个下列图形必定互为相似形的是（ ）
A．等腰三角形B．平行四边形C．正方形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可．
【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；
B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意；
C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意；
D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意．
故选：C．
2．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似的性质内容是解题的关键．
根据位似图形的性质“关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或”，即可求得点的对应点的坐标．
【详解】解：∵点，以点为位似中心，按的比例把缩小，
∴点的对应点的坐标为或，
故选：D．
3．如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．与的周长之比为
C．
D．一定在第一象限内
【答案】C
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案．
【详解】解：画出如图，有两种画法：

由图可得，点的坐标是或，
故A选项错误，不符合题意；
∵与位似，位似比为，
∴与的周长之比为，与的边长之比为，
故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
故C选项正确，符合题意；
由图可知，在第一象限或第三象限，
故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换； 由和是以点为位似中心的位似图形，得，则，然后根据位似图形的面积之比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∵的面积为4，
∴的面积为16，
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形与坐标的性质是解题的关键；
分在原点同侧和异侧两种情况进行讨论，A的坐标分别乘以和，即可求解．
【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，
点A的对应点的坐标可以是，也可以是，即或．
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为．以原点O为位似中心，在第一象限内对进行位似变换，得到，使得点A的对应点的坐标为．则下列说法正确的是（ ）
A．新图形与原图形的相似比为
B．点B的对应点的坐标为
C．点C的对应点的坐标为
D．位似变换后，三角形的形状发生改变
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵点A的对应点的坐标为，
∴新图形与原图形的相似比为，故A选项错误，不符合题意；
∵点，
∴点B的对应点的坐标为，即，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴点C的对应点的坐标为，即，故C选项正确，符合题意；
位似变换后，三角形的形状不改变，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
7．如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键；
根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可.
【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到，
∵，
∴与的周长之比是；
故选：B.
8．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，根据点的坐标可得，，利用勾股定理可以求出，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可．
【详解】解：如下图所示，过点作轴于点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标是，
，
点的坐标是，
，
，
，
，
正方形的面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出边的长度．
9．若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，
∴，
故答案为：．
10．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案．
【详解】解：∵四边形四边形，且，
∴，
∵四边形的周长为15，
∴四边形的周长，
故答案为：9．
11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点是位似中心，且．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解：设
∵与位似，原点是位似中心，且．点的坐标是，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
12．在平面直角坐标系中，点，，若三角形的面积为6，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形和梯形面积计算公式是解题的关键．
分为 两种情况，画图求出、、，根据列方程求出值即可．
【详解】解：如图，当时，过点作轴的垂线，垂足为点，
，
，
，，
∵，
，
解得
如图， 当时，过点作轴的垂线交轴于点，交过点平行于轴的直线于点，
，，
，
，
，
，
解得
综上， 或，
故答案为： 或．
13．在平面直角坐标系中，我们定义，点沿着水平或竖直方向运动到达点的最短路径的长度为，两点之间的“横纵距离”．如图所示，点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为．
（）若点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为 ；
（）已知点的坐标为，，两点之间的“横纵距离”为，，两点之间的“横纵距离”为，请写出两个满足条件的点的坐标： ， ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是根据“横纵距离”的定义找到点的横坐标与纵坐标之间的关系．
点的坐标为，点的坐标为以及“横纵距离”的定义，可得，两点之间的“横纵距离”为；
根据“横纵距离”的定义可知，，方程两边同时相减可得：，探究发现只有当时，等式成立，当时，可得：，从而得到点的两个坐标．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，两点之间的“横纵距离”为，
故答案为：；
解：设点的坐标是，
，两点之间的“横纵距离”为，
，
，两点之间的“横纵距离”为，
，
得：，
当时，
可得：，
当时，恒成立，
当时，
可得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
当时，
可得：，
整理得：(不成立)，
当时，
可得：，
解得：，
，
点的坐标为或(答案不唯一)，
故答案为：或．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
设
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：．
15．如图，四边形四边形，分别求的长及的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理，
根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案.
【详解】解：∵四边形四边形，
∴.
∵
∴
解得，
∴.
16．观察下面两组多边形：
(1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？
(2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？
【答案】(1)不相似，见解析；
(2)是相似图形，见解析．
【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例；
（1）根据相似多边形的概念判断即可；
（2）根据相似多边形的概念判断即可．
【详解】（1）解：∵矩形和矩形，
∴矩形的四个角都是直角，即相等，
∵，，
∴矩形和矩形不相似；
（2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形，
∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的．
②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的．
(2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)与是位似图形，作图见解析，
【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键．
（1）①分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；②分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）根据位似图形的定义进行判断，连接，并延长交于点M，由交点可得位似中心，从而可得答案．
【详解】（1）解：①根据题意：，
如图，为所作；
②根据题意：，
如图，为所作；
（2）解：由平移的性质得与全等，由（1）知与时位似图形，
则与是位似图形；
如图，点为所求，坐标为．
18．如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E）
(2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________；
(3)请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析
【分析】本题主要考查了作位似图形，旋转中心的确定，相似三角形的性质和判定，
对于（1），连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接并延长至F，使，再连接，则就是所求作的三角形；
对于（2），连接，并作的垂线，交于点H，写出点P的坐标即可；
对于（3），取，连接交于点，可知，可得.
【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点；
故答案为：；
（3）解：如图所示，取，连接交于P，点P即为所求作．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为．
(1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出．
(2)求的面积；
(3)y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查了三角形的面积公式，平移的性质，坐标与图形的性质；
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可；
（3）设P点的坐标为，用y表示出的面积，再根据的面积与的面积相等列出方程，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）；
（3）设P点的坐标为，如图
∴
∵
∴
∴
∴
∴或
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到．
(1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________．
(2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论．
(3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．
(2)四边形是平行四边形．证明见解析
(3)．
【分析】（1）利用平移的性质求解即可；
（2）根据平移的性质得到，即可得到结论；
（3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时，
根据平行四边形的性质，分别计算即可．
【详解】（1）解：点、的坐标分别为、,
根据平移得，
故答案为：；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下，
∵，
∴．
∵平移得到，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
（3）解：存在点，理由如下，
，
设
①当是对角线时，
四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
∴；
②当是对角线时，
四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
∴；
③当是对角线时，
四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
∴．
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．