专题16 相似三角形的判定与性质-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练+4大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：由平行判定三角形相似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示：
【即时训练】
1．（2024九年级上·浙江·专题练习）中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理逐项跑的即可．
【详解】解∶A． ，
，
，
，
，
故该选项符合题意；
B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意；
C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意；
D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵，
∴，选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，
即，选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
故选项A结论错误，不合题意；
在中，，
，
不一定等于，
不一定正确，
故选项B结论错误，不合题意；
在中，，
，
故选项C结论正确，符合题意；
在中，，
，
故选项D结论错误，不合题意；
故选C．
知识点2：由两角关系判定三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似，如图所示：
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论．
【详解】证明：，，
，，
．
，，
．
．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键．作于点，延长交边于点，由可得，再由可得，得出，再结合证出，则点即为所求．
【详解】解：如图，作于点，延长交边于点，
，
，
，
，
，
，即，
又，
，
如图所示，点即为所求．
6．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
知识点3：由两边及夹角的关系判定两三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示：
【即时训练】
7．（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键．
由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证．
【详解】解：，
，，
，
又∵，
．
8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证．
【详解】证明：∵，，．
∴，，
∴，即，
又，
∴．
9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，相交于点，，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可．
【详解】证明：，，
，
又，
．
知识点4：由三边关系判定两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似，如图所示：
【即时训练】
10．（2024九年级上·浙江嘉兴·专题练习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可．
【详解】证明：由图知：，，，
，，．
，
．
11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（ ）
A．，，； ，，
B．，，； ，，
C．，，； ，，
D．，，； ，，
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、，
两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似；
B、，
两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
C、，
两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
D、，
两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
故选：A．
12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可．
【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意；
B.∵，∴选项不符合题意；
C.∵，∴选项符合题意；
D.∵，∴选项不符合题意；
故选：C．
知识点5：相似三角形周长比的性质
1.相似三角形周长的比等于相似比；
2.相似多边形周长的比等于相似比.
如图所示，若，则，
则.
知识点6：相似三角形面积比的性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图所示，若，则，分别作出与的高AD和，
则.
知识点7：相似三角形对应线段比的性质
1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比.
【即时训练】
13．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，据此进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两三角形周长的比是，
故选：A．
14．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ．
【答案】20
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵D，E分别是的边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故答案为：20．
15．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，在上，．

(1)求证：∽；
(2)若，则的值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽及∽是解题的关键．
（1）由，，得，，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
∽；
（2）设，
∵，
∴，，
∴，
∴∽，∽，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：

【题型1 相似三角形的定义】
1．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( )
A．②③B．①③C．①②D．①②③
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定定理即可直接判断．
【详解】①任意两个等边三角形相似，利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得结论正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似．可得③错误.
故选C.
【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
2．下列说法：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的等腰直角三角形都相似；（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.
其中正确的有（ ）
A．个B．个C． 个D．个
【答案】B
【分析】利用“两角对应相等的三角形是相似三角形”直接逐一进行判断即可
【详解】（1）所有的等腰三角形，不能判断对应的角相等．所以错误;
（2）所有的等腰直角三角形的三个角分别为：90°，45°，45°，故利用有两角对应相等的三角形相似，即可判定所有的等边三角形都相似,所以正确；
（3）中可能是以底角和一顶角相等，所以错误；
（4）顶角相等且为等腰三角形，即底角也相等，是相似三角形，所以正确；
故（2）（4）正确，选择B
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟悉基础定理是解题关键
3．的三边长，，，的三边长，，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件可知两三角形的对应边成的比值相等，由此即可得答案.
【详解】∵AB=5，BC=4，AC=3， A'B'=10，B'C'=8，A'C'=6，
∴AB： A′B′=BC：B′C′=AC：A′C′=1：2，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
故答案为∽.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知三边的比对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
4．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有 个．
【答案】2
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得对边分别平行；根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，根据相似三角形的传递性即可求得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，
∴△ABF∽△EDA，
∴与△ABF相似的三角形共有2个.
故答案为2.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.
5．如图的网格中有一个，试画一个与大小不同的，使，．比较和，与的关系是 ，对应边的比的关系是 ，这两个三角形的关系是 ．由此我们得到判断两个三角形相似的一个较为简便的方法： 对应相等的两个三角形相似．
【答案】 , , 相似, 两角
【分析】题目给出了，，由三角形相似的判定得到这两个三角形是相似的，然后利用相似的性质得到答案.
【详解】在与中，
，，
，
，.
故答案为：，，相似，两角.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明两个三角形相似时，一定首先思考能否应用两个角相等，两个三角形相似这一简单的方法.
【题型2 网格中的相似三角形】
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：由题意，，，
，
选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．
故选：A．
7．如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：依题意，,
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故选：B．
8．如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】在中，，，，以为边构造含有，角的直角三角形，便可得到答案．
【详解】当 ，时，
当，时，
当，时，
当，时，
一共有4个点符合题意，故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两角分别对应相等的两个三角形相似．解题的关键是结合网格图画出含有的直角三角形．
9．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可．
【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，
，，
∴，，
∴，
同理可得，，
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，小正方形的边长均为1，
(1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1
【答案】(1)A
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．
（1）由相似三角形的判定，即可判断．
（2）利用同角或对顶角构造相似比为2：1的三角形即可．
【详解】（1）解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意．
故选：A．
（2）如图，或为求，
【题型3 利用平行判定相似】
11．如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，得出角相等，即可证出三角形相似，然后即可选择答案．
【详解】解：在平行四边形中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共3对．
故选：B．
12．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
D、无法证明，符合题意；
故选：D．
13．如图，顽皮的小明在小芳的作业本上用红笔画了个“×”．（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），、、、、都在横格线上，且线段、交于点．若线段，则线段长为 ．
【答案】9
【分析】如图，过点O作于点E，于点F，则E、O、F三点共线，证明，可得代入计算即可解答．
【详解】解：如图，过点O作于点E，于点F，则E、O、F三点共线，
∵作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
∴，，即，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．如图，小明在横格纸上画两条线段AB，CD，点A，D在同一条格线上，点B，C在同一条格线上，横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，若AD＝4，则BC＝ ．
【答案】6
【分析】过点作于点，于点，则由相似三角形可得，代入计算即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，则、分别是、的高线，
练习本中的横格线都平行，
，
，即，
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，此题利用了相似三角形对应边上的高之比等于相似比求得相关线段的长度．
15．阅读与思考：
下面是学习小组的研究性学习汇报内容，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)①上述文本框内容中的依据为__________；
②将上述的求解过程补充完整；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，若，则__________．
【答案】(1)①相似三角形的对应边成比例；②见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关关键．
（1）①根据相似三角形的性质即可解答；②在中，运用勾股定理可得，进而得到即可；
（2）先证明可得，设，则，易得，再运用勾股定理可得，即、，最后将相关数据代入中即可解答．
【详解】（1）解：①相似三角形的对应边成比例
②过程补充如下：
在中，，，
∴，
∴．
∴，；
（2）解：根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点，
∴，；
又∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴．
【题型4 利用两角对应相等判定相似】
16．在中，，，平分，则与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∵是锐角三角形，
∴和不相似，
故A不符合题意；
∵平分
∴，
又∵，
∴，故B符合题意；
∵平分，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∵是锐角三角形，
∴和不相似，
故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∴和不相似，
故D不符合题意．
故选：B．
17．如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案．
【详解】解：是的平分线，
，
即：，
又，
，
，
且依据已知条件，无法证明、、与相似，
故选：．
18．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答．
【详解】解：∵的高相交于点O，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
19．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
20．如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，作的角平分线交于Q，点Q即为所求．
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于Q，点Q即为所求；
可得，再由，即可证明．
【题型5 利用三边对应成比例判定相似】
21．将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（ ）
A．各边长都加2B．各边长都减2C．各边长都乘2D．各边长都平方
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：的边长分为，
则，，，
故选：C．
22．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．②和④D．①和④
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
23．如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的角平分线；
(2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）取格点D，则射线即为所求；
（2）取格点，使得即可
【详解】（1）解：如图所示，取格点D，则射线即为所求；
可证明四边形是正方形，则平分；
（2）解：如图所示，即为所求；
可证明．
24．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上．
(1)分别求与的值．
(2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个）
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定：
（1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可；
（2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
（2）解：如图
∵，，
∴，
∴．
当点E在点处时，同理可证．
25．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键．
（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论；
（2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，，
，，
．
【题型6 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】
26．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：由题意，，，
，
选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．
故选：A．
27．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使．
【答案】（或或或）（答案不唯一）
【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：在和中，，
是的一个外角，
，
即，且，
，
当时，；或当时，；或当时，；
故答案为：（或或或）（答案不唯一）．
28．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，
先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
29．如图，在中，点D在上，连接，．求证：．
【答案】见详解
【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．
根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
30．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可．
【详解】证明：，
，
，
，
，
．
【题型7 选择或补充条件使两个三角形相似】
31．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
32．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：，
，
，
A、，，
，故本选项不符合题意；
B、，，
，
，
，故本选项不符合题意；
C、，与的大小无法判定，
无法判定，故本选项符合题意；
D、，，
，故本选项不符合题意；
故选：C．
33．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴当或或时，．
故答案为：或或
34．已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本题考查了相似三角形的判定．添加条件即可求得，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，
故添加条件即可求得．
故答案为：（答案不唯一）．
35．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵，
∴，
∵，
∴．
或选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型8 利用相似三角形的性质求解】
36．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为，
∴两个相似三角形相似比为，
∴它们的对应中线之比为．
故选：C．
37．如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为
【答案】或
【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：设，则，由折叠的性质得，
分两种情况讨论，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
综上，的长为或．
故答案为：或．
38．如图，在中，，是斜边上的高．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
∴，
，
又∵，
；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
39．如图，D，E分别是，上的点，，相似比是．
(1)若，求的长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
（1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，相似比是，，
∴，即，
解得，
故为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
40．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论和已知证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图所示，延长和相交于点F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
【题型9 利用相似求坐标】
41．已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是 .
【答案】
【分析】根据两相似三角形的对应边成比例求得DE的长度，然后由两点间的距离公式可以求得点E的坐标．
【详解】解：∵点A、B、C、D的坐标分别为（-5，3）、（1，3）、（1，-1）、（4，3），
∴AB=6，AD=9，BC=4，
又∵，
∴，BC∥DE，
∴DE=6，E点横坐标与D点相同，
设点E的坐标为（4，y），
∴3-y=6，
解得，y=-3，
∴点E的坐标为（4，-3）．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质．解答该题的关键是根据相似三角形的对应边成比例求得线段DE的长度．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为，
∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为．
43．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形，
，
①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
故选：D．

44．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点，
∴OA=10，
∵，
∴，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即，
∴，
∴BC=4，
∴点B的坐标为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
45．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得；
（3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则双曲线的解析式为．
（2）解：如图，连接、，
将点代入得：，即，
将点，代入得：，
解得，
则，
当时，，即，
当时，，解得，即，
则的面积为．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如图，过点作轴，交轴于点，
，符合题意，
，
；
②如图，过点作，交轴于点，
则是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合题意，
又轴，轴轴，
，
，
，即，
综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
【题型10 证明三角形的对应线段成比例】
46．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ）
A．1:3B．1:4C．1:5D．1:6
【答案】B
【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADE∽ABC，
∴，
又∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴ODE∽OCB，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
47．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
48．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ．
【答案】4
【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可.
【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=3，BC=6，AC=8，
∴，
解得：AD=4，
故答案为：4
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
49．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【答案】见解析
【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．
【详解】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
50．在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度.
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC；
（2）由DFBC可知，可求得BE，进一步可求出BD．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥BD，
∴∠FDC=∠DEC=90°，且∠DCE=∠DCF，
∴△DEC∽△FDC；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴，且F为中点，
∴，且DE=2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【拓展训练一 相似三角形的判定综合】
51．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．
①求证：．
②若，，E为的中点，求的长．
（2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？
【答案】（1）①见解析；②；（2）或2．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键．
（1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可；
（2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）①证明：由题意得，
∴，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∵，E为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰三角形且，
若，则
∴；
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或2．
52．如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1， 当E在线段上时，若 求的长；
(2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:；
(3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)
【分析】对于（1），根据勾股定理求出，即可求出，再证明可得答案；
对于（2），结合（1）证明，可得，进而得出，可得，可得，即可得出答案；
对于（3），先确定当点共线时，取得最小值，画出图形，由（2）得根据翻折的性质得，再设，则，根据勾股定理表示，，即可得出，，接下来说明，结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵
根据勾股定理，得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴.
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（3）解：如图所示，根据翻折的性质可知，
则，
当点共线时，取得最小值．
如图所示，由（2）得
由翻折得，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则，
根据勾股定理，得，
则，
∴，
则，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．
53．[问题发现]
（1）如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ．
[拓展研究]
（2）在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
[问题解决]
（3）当，且（2）中的正方形绕点C逆时针旋转到三点共线时，求出线段的长．

【答案】（1）
（2）无变化，证明见解析
（3）或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，利用直角三角形斜边中线，得，再结合，即可得出答案；
（2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得，得，从而得出答案；
（3）分点落在上或点落在的延长线上两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
【详解】解：（1），，
，
点为的中点，，
，
∴，
∴，
四边形是正方形，
，
，
故答案为：；
（2）无变化，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴和是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
线段和线段的数量关系无变化；
（3）由（1）可知，，，，
当点落在上时，如图，
在中，，
，
由（2）知，，
；
当点在的延长线上时，
∴，
同理得，
由（2）知，，
，
综上：或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，利用（2）的结论是解决问题（3）的关键．
【拓展训练二 相似三角形的动点问题】
54．我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究．
（一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为，
（1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．
（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3）
【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得；
选②，先证明，再列出比例式，变形即可得；
选③，先证明，再列出比例式，变形即可得；
（2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形；
（3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值，
此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得．
【详解】解：（1）选①证明：，，
，
，
，
，
；
选②证明：，，
，
，
，
，
；
选③证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）线段的长为．理由如下：
是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，
过作交于，过作交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
解得：，
是定值，且是定值，
在直线上运动，
当时，取得最小值，
此时与重合，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
故当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段．
55．如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为．
(1)请用含的代数式表示、；
(2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似；
(3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得；
（2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得；
（3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
垂直平分，
，
由题意得：，
，．
（2）解：①当时，
则，即，
解得；
②当时，
则，即，
解得，
综上，的值为或．
（3）解：的面积为，
的面积是面积的，
，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
解得，
，即，
这个方程根的判别式为，没有实数根，
所以不存在的值使得的面积是面积的．
56．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒．
(1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？
(2)用含的代数式表示点的坐标；
(3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)不能，见解析
【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可．
（2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，即可求出点的坐标；
（3）当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解．
【详解】（1）解：、，
，，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
，
，
，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似；
（2）解：作轴于，轴于，
，，
，，
，，
，，
的坐标为；
（3）解：不能；
理由：当的面积为6个平方单位时，即．
整理得：，
，
此方程无实数根，
的面积不能为6个平方单位．
【拓展训练三 重心的性质】
57．
性质应用：
(1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________；
(2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________．
(3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________．
【答案】(1)9
(2)16
(3)
【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答；
（2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可；
（3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可．
【详解】（1）解：在中，点G是的重心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：9．
（2）解：∵在中，中线相交于点G，
∴G为的重心．
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
（3）解：如图：连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
58．如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合），，交与点，设的面积为．
(1)求关于的函数关系式，及自变量的取值范围；
(2)设与相交于点，当点是的重心时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是证明相似．
（1）证明，得出，即，得出．依题，由，即可得．
（2）根据点是的重心，得出．代入（1）中结论得出．根据，即，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
，
即，
．
，
，
依题，
由，
．
（2）解：是的重心，
．
．
与同高，
，即．
．
59．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长．
(1)从特殊情形入手：
①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________；
②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程．
【答案】(1)①；②成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解；
（2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解．
【详解】（1）解：①∵点在的重心，
∴点为三角形三条中线的交点，
∴，，，
∴；
②成立，理由如下：
∵为等边三角形，是的高，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，
由（1）可得，
由图可得四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【拓展训练四 相似三角形的判定与性质综合】
60．如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交射线于点，过点作交射线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，将正方形改成矩形，且，其他条件不变．
（i）求的值；
（ii）如图3，若点是对角线的中点，且，请画出点及点，并求的值．
【答案】(1)见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质，利用证明，即可证明结论；
（2）（i）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，，然后根据对应边成比例即可解题；
（ii）根据（i）得到，，根据对应边成比例解答即可．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）（i）四边形为矩形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（ii）点及点如图，
由（i）同理可证：，
，
，，
，
，
点是对角线的中点，
，
由（i）同理可证：，
，，
，，，，
，，
，
，，，，
．
61．【尝试发现】（1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把（ ）
A． 二等分 B． 三等分 C． 四等分
【类比探究】（2）类似的，通过折纸了可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
由折叠可知，，，
∴，∴（_______________________）
∵，∴（__________________________），
，即．
（3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论．
【拓展应用】（4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形，使折痕．若点为边的三等分点，请求出的值．
【答案】（）；（2），，；（3）点是边的“三等分点”，证明见解析；（4）
【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得，进而可得，即可求解；
（）根据题意补全证明过程即可；
（）由可得，进而由得，即得，即可求证；
（）设，则有，，，通过证明四边形是矩形得到，利用勾股定理求出，设，则，再证明，得到，得到，即可求出的值．
【详解】（）解：由折叠可得，，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ，
故选：；
（）证明：如图，在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：，，，；
（）解：点是否为边的“三等分点”．
证明：在矩形中，，，
由折叠可得，，，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点是否为边的“三等分点”；
（）由折叠得，，
点为边的三等分点，
，
设，则，
，，
，
由折叠性质得，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∴，
设，则，
，
，
又，
，
又，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，勾股定理等，根据题意，掌握折叠的性质并运用是解题的关键．
62．如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当点是的中点时，若，求的长；
(3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】(1)矩形，理由见解析
(2)
(3)不变，
【分析】（1）由正方形的性质得出，，推出，证明得，即可说明结论；
（2）根据勾股定理求出，证明得，代入数据计算即可；
（3）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，根据四边形是矩形，推出，可得结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵点是的中点时，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）的值不变．
如图，过点作于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
1．如图，使成立的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，和只有一组对应角相等，
∴不能判定和相似，
故A不符合题意；
∵不是和的对应角相等，
∴和只有与这一组对应角相等，
∴不能判定和相似，
故B不符合题意；
∵，，
∴，
故C符合题意；
∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，
∴由，，不能判定和相似，
故D不符合题意，
故选：C．
2．如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形
B．有一个角相等的两个直角三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一组角是对顶角的两个三角形
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意；
B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意；
C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意；
D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意；
故选：C．
3．如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
，
在矩形中，，
又，
，
故选：C．
4．如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据矩形的性质得，再证明，结合E是的中点，得，故，再根据，，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
5．如图，是反比例函数图象上的一点，是轴上一点，，过点作轴的垂线，交的延长线于点．若，则的面积为（ ）
A．48B．24C．12D．8
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
作轴，垂足为点，利用，得到，继而求出即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为点，
，
，
，
，
，
∵点在反比例函数图象上，
，
，
故选：B．
6．如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：C．
7．如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 先根据垂直的意义得出，再根据菱形的性质，得出，，然后根据平行线的性质得出，从而可证，再根据相似三角形的性质列出比例式，从而可得，再设，用m分别表示出，，，再证明四边形是梯形，然后用m表示出，得到关于m的方程求解，从而可求得，进而求出．
【详解】解：∵，交的延长线于点E，于点F，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则AE=，
∴，
，
∵，，
∴四边形是梯形，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴，
故选： D．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由等腰三角形的性质得，即得，再由得，即得，得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：
9．在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，而不一定等于，
∴与不一定相似；
∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为；
故答案为：
10．如图，的边轴，点C在上，反比例函数（）的图像经过A，C两点．若的面积为5，且，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了根据图形的面积求反比例函数的比例系数，相似三角形的判定与性质，解题关键是能作出辅助线构造出相似三角形，能利用面积关系建立方程进行求解．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，设，根据相似三角形的判定与性质，求得，，所以，进一步求得，再根据三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，
设，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
令，则，
，
，
的面积为5，
，
解得．
11．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况．
根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标．
【详解】
解： 如图，当时，，此时点坐标为；
如图，当时，，此时点坐标为；
如图，作，假设交于点，此时，
为的中点，
点坐标为，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
根据得：
，
即：，
解得：，
，
在上，
，
此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或或．
故答案为：或或．
12．如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出.
在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值.
【详解】解：在上取点，使，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当在上时，取最小值，为.
故答案为.
13．如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；
根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可．
【详解】解：∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
在中，，
连接，
∵为直径，
∴，
在中，，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴解得：，
∴，
的直径为：，
故答案为：．
14．如图，点是正方形边的中点，点是边延长线上一点，，连结的延长线交于点交于点，则 ， ．
【答案】
【分析】利用正方形性质找全等三角形，通过全等三角形对应角相等及角的互余关系推导 求得．借助正方形对边平行得相似三角形，利用相似三角形性质及线段比例关系求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，，，
∴，
∵是中点，即，
∴，
∴设，则， ．
∵为中点，
∴，
设正方形的边长为，则．
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
15．如图，在中，，，是的中点，交于点，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，先根据勾股定理得，然后证明，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得．
∵是的中点，
∴．
又∵是公共角，，
∴．
则，
即，
解得．
16．如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知．
(1)求证：．
(2)若是斜边的中点，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键．
（1）利用同角的余角相等可证明，由折叠的性质结合等量代换得到，结合对顶角相等即可得证；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，由可知，继而得到，证明得到，再根据折叠的性质可知，从而证明，从而得证．
【详解】（1）证明：，
．
．
．
又由折叠可知，
．
又，
．
（2）是斜边的中点，
．
．
又
，
，
又∵，，
∴，
．
又，由折叠可知，
．
四边形是菱形．
17．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
(1)在图中画出边上的中线；
(2)在图中画出边上的高线；
(3)在图中的边上找到一点，使．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由矩形性质可得可得，即即为所求；
（）根据网格可得，
（）证明，，同理，则，从而求解．
【详解】（1）解：如图，根据网格可得，即为所求；
，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴即为所求；
（2）解：如图，根据网格可得，
∴即为所求；
（3）解：如图，点即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点即为所求．
18．如图，在中，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
（1）由可知，则，将数据代入计算即可；
（2）由（1）知，根据计算即可.
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
∴．
19．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”．
(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
(2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形：
(3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
【答案】(1)错误；正确；错误
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可．
【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知：
①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．
（2）证明：过点作平行且相等于，连接，
则平行四边形是平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，，
平行且相等于，
为平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，平行于，
平行于，平行于，
为平行四边形，
，
，
，
，
平行六边形是菱六边形．
（3）解：设三角形纸片为，
裁剪后的纸片为菱六边形，
平行于，平行于，，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得：，
．
20．如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交射线于点，过点作交射线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，将正方形改成矩形，且，其他条件不变．
（i）求的值；
（ii）如图3，若点是对角线的中点，且，请画出点及点，并求的值．
【答案】(1)见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质，利用证明，即可证明结论；
（2）（i）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，，然后根据对应边成比例即可解题；
（ii）根据（i）得到，，根据对应边成比例解答即可．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）（i）四边形为矩形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（ii）点及点如图，
由（i）同理可证：，
，
，，
，
，
点是对角线的中点，
，
由（i）同理可证：，
，，
，，，，
，，
，
，，，，
．
垂中平行四边形
定义：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
例题分析：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，求，的长．
解：∵四边形为垂中平行四边形，
∴，为的中点，，
∴，．
∴（依据），
∵，，
∴，
解得．
……
三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
下面是小亮证明此性质的过程：
已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．
求证：．
证明：连接．
分别是边、的中点，
，
，
，
．
猜想
判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
_________
②平行六边形的三组主对角分别相等
_________
③平行六边形的三条主对角线互相平分
_________