专题18 相似三角形的应用-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：相似三角形的应用
1、几何计算与证明
2、坐标系中的图形变换
3、测量高度（不可直接测量的物体）
4、测量距离（如河流宽度、两点间距
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，
由可得，所以，进而得到方程求解即可．
【详解】，
，
，
，，，
，
解得，
，
答：甲、乙两名同学之间的距离为．
3．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）

【答案】竹竿的长度为45尺．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，
解得（尺），
答：竹竿的长度为45尺．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
4．（2024九年级上·浙江·专题练习）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
(2)第二小组测得米，则______．
(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】(1)
(2)30米
(3)可行，理由见解析
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想．
5．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【答案】
【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
6．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，求河宽AB．
【答案】48米
【分析】求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例列方程即可得解．
【详解】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即，
解得AB＝48．
答：河的宽度AB为48米．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键.
7．（2024九年级上·浙江金华·专题练习）中华石鼓阁，堪称“西北第阁”，是宝鸡市的地方标志性建筑．阳光明媚的一天，小丽所在数学兴趣小组的同学们开展了测量石鼓阁高度的实践活动
请你帮助该小组求出石鼓阁的高度．
【答案】石鼓阁的高度为56米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，求得；证明，求得，联立，解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，即，
．①
，，
，
，即，
，②
①②联立，解得，
石鼓阁的高度为56米．
8．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动．
请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度．
【答案】18米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是正确解答此题的关键．
由题意可得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得结论．
【详解】解：由题意可得：，，，
，，
，，
米， 米，米，米，
，，
，，
，
米．
答：马栏革命纪念碑的高度为18米．

【题型1 测高问题】
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．
【答案】树高
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，即树高．
2．如图，一位同学想利用树影测量树（）的高度，他在某一时刻测得高为 1 米的竹竿直立时影长为米，此时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上（有一部分影子落在了墙上处） ，他先测得落在墙上的影子（） 高为米，又测得地面部分的影长（）为米，则他测得的树高应为多少米？
【答案】米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，熟记同时同地物高与影长成正比并列出比例式是解题的关键，难点在于作辅助线构造出三角形．
过点作于，根据同时同地物高与影长成正比式求出的长度，再根据矩形的对边相等可得，然后根据计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
则四边形是矩形，
（米），（米），
由题意得，，
（米）
树高（米）．
答：他测得的树高应为米．
3．如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为，点C与墙根点G的距离为，且A，G，C三点在同一条直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形求得线段的长度即可求得树高．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
解得，
∴小树的高为．
4．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，利用相似三角形的性质正确求出树影长是解题的关键．延长，交延长线于点，根据同一时刻物体与影长成正比可得，根据可得，于是可得，进而可得，于是可求出的长，再由可求出的长，然后根据求出的长即可．
【详解】解：如图，延长，交延长线于点，
则就是树影长的一部分，
在某一时刻测得高为的竹竿影长为，
，
由题意可知：，
，
，
，
，
，
．
【题型2 影长问题】
5．如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点处），此时他与该塔的距离．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高，他的影长．求该电视塔的高度．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，首先得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
．
6．婷婷直立站在一盏路灯下，已知这盏路灯的灯泡与地面的距离AB＝4.4米，婷婷身高1.6米，且她与路灯的水平距离CB＝2.1米，求在这盏路灯的照射下，婷婷的影长CE．
【答案】婷婷的影长CE为1.2米
【分析】找出图中的相似三角形，根据相似三角形对应边成比例写出比例式，从而求出CE．
【详解】解：由题意可知，∠ABE＝∠DCE＝90°，
∴DC//AB
∴△ECD∽△EBA
∴，
即：，
解得EC＝1.2，
∴婷婷的影长CE为1.2米．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据题意写出对应边成比例是本题的解题关键．
7．如图，马路上有一路灯O，小明沿着散步，当他在距路灯灯柱6米远的B处时，他在地面上的影长是3米，问当他在距路灯灯柱10米远的D处时，他的影长是多少米？
【答案】5米
【分析】由已知证明，得到，则有，再证明，然后利用对应边成比例就可以得出关于DF的方程，解答即可．
【详解】解：设小明身高为米，即米，
灯柱高米，由题，，则，
∵∠ABE=∠OPE=90°，∠AEB=∠OEP，
∴，
∴，即，
∵∠CDF=∠OPE=90°，∠CFD=∠OEP，
∴，
设DF=x，
则，即，
，
解得：．
当小明距路灯柱10米时，他的影长为5米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例就可以得到关于DF的方程，解方程就可以求出．
8．如图，路灯P距地面8m（即图中OP为8m），身高1.6m的小明从点A处沿AO所在直线行走14m到达点B，求影长BD比AC缩短了多少米？
【答案】缩短了3.5米
【分析】根据小明在不同的位置时,均可构成两个相似三角形,可利用相似比求人影长度的变化.
【详解】解：设小明在A处时影长为x，AO的长为a，B处时影长为y.
AE∥OP,BF∥OP,
△CEA∽CPO, △DFB∽DPO
,,
=,x=a,
=
x-y=3.5,故变短了3.5米.
答:影长BD比AC缩短了3.5米.
【点睛】此题考查相似三角形对应边成比例,应注意题中三角形的变化.
【题型3 河宽问题】
9．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长．
【答案】河宽长为36米
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键．
证明，根据对应边成比例即可求解．
【详解】解：
河宽长为36米．
10．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长．
【答案】14米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题．
【详解】解： ，，
，
，
，
即，
（米）．
答：河宽的长是14米．
11．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽．
【答案】河宽大约为
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，即 ，进而代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∴
即，．
．
解得．
答：河宽大约为．
12．如图，为了估算河的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线与河垂直，接着在过点C且与垂直的直线a上选择适当的点D，确定与过点B且垂直的直线b的交点E．已测得，，，请根据这些数据，估算河宽．
【答案】
【分析】证明，然后根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
【详解】解∶由题意得，，
∴，
∴，
即．
∵，，，
∴，
∴，
解得．
答∶河宽大约为．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
【题型4 树高问题】
13．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
14．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米．
根据以上测量结果，解答以下问题：
(1)甲树的高度为_______米；
(2)求乙树的高度；
(3)求丙树的高度．
【答案】(1)
(2)乙树的高度为米
(3)丙树的高度为米
【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
（2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
（3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可；
本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键．
【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得，
，
解得：，
∴甲树的高度为米，
故答案为米；
（2）解：如图，设为乙树的高度，
∵米，米，
∴米 ，
∴，
解得：，
∴米，
∴（米），
∴乙树的高度为米．
（3）解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形，
由题意得，，
∴，
∵
∴，
解得
∴丙树的高度为（米）．
15．樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？
【答案】米
【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案．
【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图，

∵是水平线，，
∴米，米，
米，
∴（米），
根据题意，得，，
∴，
∴，即，解得米，
∴（米）．
所以这棵樱花树的高度为米．
16．位于曲江万象城的西安新地标“生命之树”（图1），由60片巨型叶片构成，是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，在向下探寻古都文化根基的同时，用建筑和自然结合的方式，打造的城市生态和谐共生的绿色建筑．小强所在数学兴趣小组的同学们开展了测量该“生命之树”高度的实践活动．
请你帮助该小组求出“生命之树”的高．
【答案】57
【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质测高是解答的关键．延长交于点H，先利用菱形的性质和勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，
由题意得：，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
答：“生命之树”的高为．
【题型5 物理类问题】
17．如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米．
(1)求路灯的高；
(2)求窗户的高．
【答案】(1)8米
(2)米
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，即可得解；
（2）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，得到，再由即可得解；
【详解】（1）解：
又由图可知：
解得：
故路灯的高为8米；
（2）
又
解得：
，
故窗户的高为米
18．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得光源距离地面高度米，米，米，三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（为法线，平面镜的厚度忽略不计）.

【答案】该古城墙的高度为米．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则，代入数值，即可作答．
【详解】解：∵三点在同一水平线上，为法线，
∴
∴
∴
∵米，米，米，
∴
解得（米）
∴该古城墙的高度为米．
19．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离．
．
【答案】支点P到地面的距离为
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键．
证明，即可解决问题．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，
，
又，
，
，
，
根据题意得，，
，
，
，
，
解得．
答：支点P到地面的距离为．
20．如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？
【答案】50厘米
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．
【详解】解：解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，
，即AM=5BN；
∴当BN≥10cm时，AM≥50cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．
故答案为50
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
【题型6 表格问题】
21．如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可．
【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点,
,，
,
,
,
,
，，
，
，
故答案为：.
22．如图所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点，重锤挂在点，点A为支点，点是水平底板上的一点，米，米．
（1）投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直，则 米
（2）投石车投石过程中，的延长线交线段于点，若：：，则点距地面为 米．
【答案】
【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可；
（2）先求出CE的长，再利用勾股定理和锐角三角函数进行求解即可．
【详解】（1）如图，连接，过A点作于F，
∵米，米，
∴米，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：．
（2）由（1）可知：
过点G作交于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
，
∴，
∴，
故点G距离底面的高度为米，
故答案为：．
【点睛】本题解直角三角形的应用综合题，考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形．
23．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
【答案】虹塔的大致高度是米
【分析】本题考查相似三角形的应用，判定，，得出比例式，进而代入数据，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
同理：，
，，
，
，
米，米，米，
，
米，
，
米，
飞虹塔的大致高度是米．
24．测量路灯高度，人在路灯下的影长等
根据上面数学活动记录，回答下面问题：
(1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度；
(2)根据活动二测得的数据计算同学的影长；
(3)请证明活动三猜想的结论：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）首先证明，再根据即可求出的长；
（2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可；
（3）分别证明和，再根据相似比证明即可．
【详解】（1）标杆垂直于地面，
，
，且，
，
，
，
，
，解得．
（2）由（1）可得，，
，，且，
，
设，则，
，，
则由得，
即，解得，
．
（3）同（1）可得，和，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
．
【题型7 三角形内接矩形问题】
25．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．

(1)当点P恰好为中点时，______；
(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？
【答案】(1)60
(2)这个零件的边长为；
(3)矩形的长为，宽为．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案；
（2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可；
（3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，
同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
26．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．
【答案】当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米
【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．
【详解】解：设DE的长为x，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴，
∴，
∴，
∴矩形DEFG面积为：，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．
27．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】矩形的长为mm，宽是mm．
【分析】根据PQ∥BC证明△APQ∽△ABC，设PN为xmm，则PQ为2xmm，列出比例关系求解即可．
【详解】解：∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
设边PN为xmm，则PQ为2xmm，
即
∵AD是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长为mm，宽是mm．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证明三角形相似，列出比例式求解．
28．如图，一块直角三角形木板，其中，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．
【答案】有最大面积是3，两个师傅的做法均符合要求，理由见解析．
【分析】根据相似三角形求矩形的长与宽的函数关系式，然后表示出有关面积的函数关系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．
【详解】解：（1）如图1，设，矩形的面积记为，
由题意，，
即：
解得其中
有最大面积是3．
（2）如图2，作于点，交与点
，
设，则
即：
整理得：
故两个师傅的做法均符合要求．
图2
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．
【题型8 杠杆问题】
29．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解：，，
，
，
，
∵动力臂，阻力臂，
，
，
的长为．
故选：B．
30．如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明，从而得到，代入数值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，段长为2.5，
∴，
∴．
故答案为：5．
31．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键．
【详解】解：解：由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
32．阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．

【答案】21
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
，
cm．
故答案为：21．
【题型9 生活实际问题】
33．某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为、、，已知这块三角形草地最长边的实际长度为，则最短边的实际长度是 m．
【答案】12
【分析】本题考查了比例线段，主要利用了相似三角形对应边成比例．设最短边的实际长度是为，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设最短边的实际长度是为，
由题意得，，
解得．
即最短边的实际长度是．
故答案为：12．
34．教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵树实际高度为 m．

【答案】3.6/
【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．
【详解】解：同一时刻物高与影长成比例，
，
即：，
解得落在地上的影长对应的树的高度，
树的高度为：，
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．
35．数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．

【答案】见解析，
【分析】利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度．
【详解】解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直树立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，

测量数据：，，，，
由测量示意图易得，，，，
，
得，
，
，
故旗杆AB的高度为．
【点睛】本题考查实际问题中测量较高物品的高度，利用标杆时通常采用视线共线方案，通过三角形相似来计算高度．注意视线共线时，高度为眼睛距地面的高度，非测量人员身高．
36．综合与实践：利用相似三角形测量距离

(1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）．
(2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________．
(3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)路灯的高度为
【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式；
（2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可；
（3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为，
将时，代入得，，
解得，，
∴关于的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，，，
设，．
∵，，
∴．
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∴，即，解得，
∴路灯的高度为．
【题型10 古代问题】
37．城墙作为古代城市的重要组成部分，不仅是城市防御的重要设施，也是城市文化的重要标志．而西安城墙是我国现存规模最大，保存最完整的古代城垣之一，周六，数学兴趣小组的林林想利用自制的直角三角尺来测量一段城墙的高度，如图，他通过调整测量位置，使得三角尺的斜边与地面保持平行，并使边与城墙顶点在同一条直线上，知，，顶点到地面的距离，到城墙的水平距离，，．求城墙的高度．
【答案】城墙的高度为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，确定出，根据相似三角形对应边成比例求出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点．
由题易得四边形是矩形．
，，
，．
，，
，

，，
，
，
，
城墙的高度为．
38．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线）．
小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度．
测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（），并且边与点在同一直线上，、均与垂直．
测量结果：，，，，．
解决问题：求西岳庙内古柏的高度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形（相似三角形实际应用），由题意发现是解题的关键．
延长交于点，易得四边形为矩形，于是可得，，，由，可证得，于是可得，即，进而可得，然后根据即可求出西岳庙内古柏的高度．
【详解】解：如图，延长交于点，
易得四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
即：，
，
，
西岳庙内古柏的高度是．
39．土圭之法是在平台中央竖立一根木杆．观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短．冬至日影最长．这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长．发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等．测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为24尺．则木杆的高度是 尺．

【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：，
（尺），
答：木杆的高度是6尺，
故答案为：6
40．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，由题意可知，，，利用平行线性质证明，得到，代值求解即可求出信号塔的高度．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
，
故答案为：．
【拓展训练一 相似三角形的应用综合】
41．身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为．
(1)如图（1），步道为直线型（记为直线）．
①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ；
②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变．
(2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；
（1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解；
②作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变；
（2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可．
【详解】（1）解：①如图，由题意得，
当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即，
∴中，，，
∴中，，
∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为，
故答案为：；
②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是定值，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
方法二：
如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H，
由题意得，，，
∴，
∴，
同理，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
（2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵是定值，
∴是定值，即位置固定不变，
∵半径为，即，
∴，
∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，
∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c．
42．【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长；
【问题解决】
（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离．
【答案】（1）；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）证明得到，再代入和计算即可；
（2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，；
（2）解：过作于，则，
∵矩形中，
∴，
∵和是两条互相垂直的小路，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∴，
∴灌溉水井到点的距离．
43．小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！”
(1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点与地面的距离的长度；
(2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由．
【答案】(1)米；
(2)小李的话不对，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用；
（1）根据题意，可知B在地面上时，A距离地面1米，证明，可知米；
（2）若将两端同时都再伸长相同的长度，跷跷板能翘到的最高高度依然是的两倍，即为1米，所以不可能翘得更高．
【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示，
是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面．
，
，
，
，
又此跷跷板是标准跷跷板，，
，而米，
得米；
（2）解：小李的话不对．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示，
米，米
∵，
∴，即．
∴，同理可得，
∴，由米，得米．
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．
44．在阳光明媚的一天，小颖和小亮同学想用所学的数学知识测量小区门口小广场上5G微基站信号塔的高度．信号塔固定在一个高为1米的平台上．测量时，小颖调整自己位置到，使得信号塔在地面上的影子和自己的影子重合，小颗转过身蹲下来，在上的点E处放置一小块平面镜，使得此刻小颖的眼睛F通过平面镜E恰好能看到信号塔顶部B，此时，D，C，F三点共线．
已知：四边形为矩形，B，A，T三点共线，P，T，M，C共线，，，测得，，，，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求信号塔的高度．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用．设则，设则，证明，利用相似三角形的性质进一步得到①，证明，利用相似三角形的性质进一步得到②，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设则，设则，
由题意可知，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①
由平面镜反射可知，，
∵
∴，
∴，
∴，
整理得到，②
①②联立得到，
解得
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴信号塔的高度为．
1．如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴
故选：A．
2．如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（ ）
A．2米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
3．郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（ ）
A．60米B．75米C．78米D．米
【答案】C
【分析】本题考查了三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及性质定理，证明出三角形相似，利用三角形相似建立等式进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故选：C．
4．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解：，，
，
，
，
∵动力臂，阻力臂，
，
，
的长为．
故选：B．
5．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
根据镜面反射可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
6．如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故选：D．
7．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形是矩形，可得，，再结合，，再建立方程组解题即可．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，即①，
∵，
，
，
，
∴②，
由①②得：
，
故选：A．
8．已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
由题得，，得到，根据相似三角形的性质得到或求出或，得到或，即可得到答案．
【详解】解：， ，
；
直线交轴的正半轴于点，交轴于点，
，
，
，
或
或，
或，
当时，，
代入得，
解得；
当时，，
代入得，
解得，
综上所述，的值为或，
故选：D．
9．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ．
【答案】3
【分析】根据，利用相似三角形的性质解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设到小孔O的距离为，
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故到小孔O的距离为，
故答案为：3．
10．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面
【答案】3
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米．
【答案】
【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
【详解】解：过点D作于点E，连接，
则，
∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高 ．
【答案】14
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故答案为：14．
13．在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：．
14．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ．
【答案】28
【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．
【详解】解：设海岛高， ．
∵，，
∴,
∴，
∴，即 ①．
又∵，，
∴,
∴，
∴，即 ②．
∴①，得；
∴②，得 ．
∴，解得 ．
即海岛的高为 ，
故答案为：28．
15．如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度．
【答案】河的宽度为67.5米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明即可解答，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
解得，
答：河的宽度为67.5米．
16．如图，一棵树的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况）
【答案】2.1米
【分析】本题考查了平行投影，在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度．
【详解】解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为米，
则，
解得，
经检验，是原方程的根.，
，
答：小明最多可以离开树干2.1米才可以不被阳光晒到．
17．某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，需要注意太阳光是平行光线．
根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可．
【详解】解：光线是平行的，即，
∴，
∴，
∴
∴．
18．法门寺舍利塔，地处于陕西省宝鸡市，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量舍利塔的高度，如图2，塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且舍利塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出舍利塔的高度．
【答案】
【分析】设，则，利用三角形相似的判定和性质，分式方程的应用，解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，分式方程的应用，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴．
19．如图，一颗树的底部可以到达，但顶部不能到达，某探究小组想利用标杆、皮尺、平面镜等工具测量树的高度，测量及求解过程如下：
(1)若只能选择两种测量工具，则它们是 ；画出测量示意图；
(2)根据你测量所得的数据（用，，…表示）求树高．
【答案】(1)标杆、皮尺；测量示意图见解析；
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）使用标杆、皮尺，画出测量示意图即可；
（2）根据题意可知点C，B，R，Q在同一条直线上，证明，得到，即可求出树高．
【详解】（1）解：使用标杆、皮尺，测量示意图如下：
故答案为：标杆、皮尺；
（2）由于树、标杆在阳光下的影子的前后端，即点C，B，R，Q在同一条直线上，
故观测者通过测量，和标杆．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
所以树高．
20．请根据以下素材，完成探究任务：
【答案】（1）①，②不能，理由见解析；（2）45
【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解；
②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
【详解】（1）①根据题意，，，，，
，
，
，且，
，
，
检验，当时，原方程的分母不为零，
，
②过点作交于点，
，，，
，
，
，
，
不能观察到物体
（2）摩托车的速度为，
∴摩托车在秒的反应时间里的路程为，
∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域，
∴，
∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
故答案为：45
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上．
观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得．
观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图



课题
测量石鼓阁的高度
工具
皮尺、小平面镜等
示意图
说明
如图，小丽站在B处时，水平地面上点C、她的头顶A与石鼓阁的顶端P恰好在一条直线上；然后她沿方向朝石鼓阁走去，当小丽半蹲在点D处时，在阳光下同一时刻，她的影子末端与石鼓阁的影子末端恰好重合于地面上的点F，已知点Q、D、F、B、C在一条直线上，、、均与地面垂直，
测量数据
米，米，米，米，米
活动主题
测量马栏革命纪念碑高度
测量工具
皮尺、标杆、激光笔等
活动过程
模型抽象

测绘过程与数据信息
①在点处竖立一根高3米的标杆；
②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米；
③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米；
④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内．
说明
在测量过程中注意自身和他人的安全．
课题
测量“生命之树”的高度
工具
皮尺、自制的菱形测角仪等
示意图
说明
如图2，数学兴趣小组用自制的菱形测角仪测量“生命之树”的高，其边长为（即），较短的对角线的长为，为对角线的交点，当测角仪的顶点、顶点与“生命之树”顶端在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直．
测量数据
，
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤
步骤1：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米；
步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；
(以上数据均为近似值)
活动目标
测量路灯高度，人在路灯下的影长等
工具
皮尺、标杆
活动一：测量路灯的高度．
如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量．
活动二：测量某同学的影长．
如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子．
活动三：有趣的发现．
如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一
汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二
如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，．
素材三
如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域．
问题解决
任务一
（1）①如图2，求车头盲区的长度；
②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二
（2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．