第05讲 反比例函数（5知识点+12大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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知识点 1 反比例函数的有关概念
定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
知识点 2 反比例函数的性质
【易错易混】
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
反比例函数的对称性
反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点.
知识点 3 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型）
【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.
【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.

知识点 4 反比例函数与一次函数的交点问题
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
反比例函数与一次函数关系
从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.
知识点 5 反比例函数的实际应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
考点一：反比例函数的定义及求参问题
例1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个；
故选B．
【变式1-1】已知函数是反比例函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可．
【详解】解：函数是反比例函数，
，，
由，
可得：，
由，
可得：，
的值为．
故选：A ．
【变式1-2】已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴且，
∴，
∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式1-3】已知函数是反比例函数，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点、指数特点是解题的关键．
【变式1-4】已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可；
（2）由（1）可直接把x=3代入求解．
【详解】解：（1）设，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）由（1）可把x=3代入得：
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．
考点二：用反比例函数描述数量关系
例2．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键．
【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，
，
与之间的函数关系式为．
故选：C．
【变式2-1】下列问题中，两个变量间的函数关系是反比例函数的是( )
A．小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花
B．体积为10cm3的长方体，高为hcm，底面积为Scm2
C．用一根长50 cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm2
D．汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升
【答案】B
【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可，找到符合反比例函数解析式的一般形式（k≠0）的选项．
【详解】解：A、根据题意可知，y与x之间的关系式为y＝2x，故该选项错误；
B、根据题意可知，S与h之间的关系式为S＝，故该选项正确；
C、根据题意可知，S与x之间的关系式为S＝（25−x）x，故该选项错误；
D、根据题意可知，y与x之间的关系式为y＝50−5x，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为（k≠0），也可转化为y＝kx−1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
【变式2-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可．
【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系，
∴根据压强公式得： ，
故答案为：．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ．
【答案】
【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案．
【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，
函数图像的“雁点”坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．
【变式2-4】计算
若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积．
(1)长方形的面积是多少？
(2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系．
(3)根据关系式完成上表．
【答案】(1)
(2)反比例关系，
(3)见解析
【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值，
（1）根据表格中，利用长方形面积公式进行计算即可求解；
（2）根据长方形面积公式列出函数关系式，即可求解；
（3）利用函数解析式求自变量或函数值即可．
【详解】（1）解：
长方形的面积为4
（2）x与y是反比例关系，可得
（3）如表所示
考点三：反比例函数函数值
例3．反比例函数必过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解；理解图象经过点的意义是解题的关键．
【详解】解：A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故符合题意；
D、当时，，故不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（ ）
A．减少它的B．减少它的C．增加它的D．增加它的
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y是x的反比例函数，得出，根据当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，得出，求出，得出答案．
【详解】解：∵y是x的反比例函数，
∴，
当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，则：
，
∴，
∴y将减少它的，
故选：B．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．
将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可．
【详解】解：把和代入解析式得：，，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案．
【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【变式3-4】一个反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）将代入利用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：将代入得
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，代入得
．
考点四：反比例函数的解析式
例4．已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入，得，
表中“”处的数为，
故选：D．
【变式4-1】若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
∵，，，，
∴B选项符合题意．
故选：B．
【变式4-2】已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据点的坐标，得到，进而求出的值即可．
【详解】解：点在双曲线上，
，
点在双曲线上，
，
故答案为：．
【变式4-3】已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意可知，再由得出，再根据即可得出结论．根据题意得出是解题的关键．
【详解】解：∵，是同一个反比例函数图象上的两点，
∴，
∵，
∴，
∵，则，
∴，则，
∴这个反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【变式4-4】已知，其中与x成正比例．与x成反比例．且当和时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
【答案】y与变量x的函数关系式是
【分析】设，，代入得出，把x、y的值代入，求出a和的值即可．
【详解】解：∵与x成正比例．与x成反比例，
∴设，，
∴，
∵当和时，y的值都为19，
∴代入得：，
解得：，
所以y与变量x的函数关系式是．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和正比例函数的定义，能熟记正比例函数和反比例函数的定义的内容是解此题的关键．
考点五：反比例函数的图象
例5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案．
【详解】解：根据定义，为反比例函数
∵
∴两支曲线分别位于第二、四象限内
故选A．
【变式5-1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答．
【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合；
当时，，
∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合．
故选：．
【变式5-2】在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个．
【答案】2
【分析】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．
【详解】解：在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的是．共有2个，
故答案为：2．
【变式5-3】表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ．
A． B． C． D．
【答案】 C B D A
【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答．
【详解】解：①∵，
∴，即，
∴，故的图象为C；
②∵，即，
∴，
∴的图象为B；
③∵，即，
∴，即，
∴的图象为D；
④的图象为A；
故答案为：C；B；D；A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键
【变式5-4】已知反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象；
(2)若点在该函数图象上，求的值．
【答案】(1)，图见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征．
（1）将点代入求解即可；
（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过．
将代入，得．
反比例函数解析式为．
画出该图象如图所示；
（2）解：点在这个函数图象上，
把代入得，整理得，
解得：或．
考点六：反比例函数的对称性
例6．如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点，
∴点关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
故选：．
【变式6-1】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称．
【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点，
∴点与关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键．
【变式6-2】在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，
∴，
∵，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．
【变式6-3】如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．
由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标．
【详解】解：反比例函数图象关于原点对称，
、两点关于对称，
为的中点，且，
当为等腰三角形时有或，
设点坐标为，
，，
，，，
当时，则有，解得或10，此时点坐标为或；
当时，则有，解得或，此时点坐标为或；
综上可知点的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．
(3)点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）将点，代入直线，得出，继而得出，待定系数法求解析式即可得；
（2）设，根据的面积为3，得出，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，画出图形，根据等腰三角形以及反比例函数的对称性求得点，，即可求解．
【详解】（1）解：∵双曲线与直线在第一象限内交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线与轴交于点．
令，得，
∴，
设，
∵的面积为3
∴
∴,
∵，，
∴，
解得：或，
∴或，
（3）如图，以为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直线上不能构成三角形，
根据对称性可知，，
故满足条件的点有个，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，等腰三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．
考点七：反比例函数的增减性
例7．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式7-1】对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（ ）
A．最大值B．最大值
C．最小值D．最小值
【答案】C
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．
【详解】
解：由当时有最大值，得
时，．
，
反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键．
【变式7-2】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式7-3】反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ．
【答案】或
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小，
∴设时，则当时，，
∴，
解得，
∴；
当时，在每个象限内随的增大而增大，
∴设时，则当时，，
∴，
解得，
∴；
∴或，
故答案为：或．
【变式7-4】已知函数．
(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？
(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？
【答案】(1)；
(2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大
【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限，
∴，
∴；
∵函数的图象分布在第二、第四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而减小；
∵在每一个象限内，函数随的增大而增大，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而增大．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键．
考点八：反比例函数的象限问题
例8．若函数的图像在第二、四象限，则函数的图像过（ ）
A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数以及一次函数的概念，已知反比例函数的图像在第二、四象限，根据反比例函数的图像及性质，可得k为负，则直线的函数值y随着x的增大而减小，且与y轴交于负半轴，即可判断直线经过的象限．
【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限，
∴，
∴直线的图像经过第二、三、四象限．
故选：A．
【变式8-1】数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负．
【详解】解：∵，
∴x的取值范围是，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴，
由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方，
∴当时，，
又∵当时，，
∴，
故选：D．
【变式8-2】反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意可知，继而得到本题答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，即：，
故答案为：．
【变式8-3】已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵，
∴异号，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键．
【变式8-4】已知常数a（a为整数）满足下面两个条件：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②反比例函数的图象在二、四象限．
(1)求a的值；
(2)根据自己所画的图象直接写出：
①当时，y的取值范围；
②当时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质得出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，即可求得整数的值；
（2）画出反比例函数的图象，根据函数图象即可得．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
，
解得，
，
又为整数，
．
（2）解：由（1）可知，反比例函数的解析式为，画出图象如下：
当时，，
当时，，
则由函数图象可知，①当时，，
②当时，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
考点九：比较反比例函数值或自变量的大小
例9．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式9-1】已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，
且，
故，
故在每一个象限内，y随x的增大而增大，
由，
解得
当时，则，且
故，
故A选项不符合题意；
当时，则，且
故，
故B选项符合题意；
当时，则，且
故，
故C选项不符合题意；
当时，则，且，
故，
故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式9-2】已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数、反比例函数图象与性质等知识，先由待定系数法求出反比例函数的表达式为，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，从而得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：点在反比例函数的图像上，
，则反比例函数的表达式为，
反比例函数图象在第二、四象限，
当时，；当时，；
反比例函数图象在第四象限中，值随着值的增大而增大，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【变式9-3】已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号)
【答案】②③④
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确；
②，图象在第二、四象限内，错误；
③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误，
故答案为：②③④．
【变式9-4】若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
(1)点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“