第04讲 特殊平行四边形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

这是一份第04讲 特殊平行四边形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版），文件包含第04讲特殊平行四边形3知识点+12大考点+拓展训练+复习提升原卷版docx、第04讲特殊平行四边形3知识点+12大考点+拓展训练+复习提升解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共177页， 欢迎下载使用。
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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
知识点 1 矩形的判定与性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角.
2.矩形的性质定理：
【补充】
1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
3.矩形的对称轴
1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线；
3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.
4.矩形的判定
矩形判定思路：
知识点 2 菱形的判定与性质
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.
2.菱形的性质定理
【补充】
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：
①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.
3.菱形的对称性
1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4. 菱形的判定
知识点 3 正方形的判定与性质
1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质：
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
3.正方形的对称性：
1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.
2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
4.正方形的判定：
考点一：矩形的判定
例1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【变式1-1】如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形．
【变式1-3】如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
【变式1-4】如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
考点二：矩形的性质
例2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ．
【变式2-3】如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【变式2-4】如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接．
(1)如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长；
(2)如图2，当时，求证：线段被平分．
考点三：利用矩形的性质证明
例3．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（ ）

A．4B．5C．6D．7
【变式3-1】如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ．
【变式3-3】如图，矩形ABCD中，的平分线交于E，交的延长线于F，G是的中点，连接，若，则 ．

【变式3-4】八年级教材下册5．1《矩形》的作业题中有如下题目：
利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小嵊同学将该问题输入，给出如下分析：
(1)请根据提供的思路完成证明；
(2)好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E．
①如图2，若，D为边的中点，连接，，求的度数；
②如图3，若，，点F是边中点，连接，求的长．
考点四：矩形与折叠问题
例4．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ）
A．9B．12C．14D．15
【变式4-2】在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（ ）
A．18B．12C．D．
【变式4-3】如图，在矩形中，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ．
【变式4-4】如图．将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的面积．
考点五：菱形的判定
例5．如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】如图，点E，F分别在的边上，，增加下列其中一个条件：①；②；③；能使四边形是菱形的条件个数为（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式5-2】如图，在中，，，分别是，边上的中点，于点D，过点E作交于点G，连结，则的长为 ．
【变式5-3】如图，已知矩形，连结．
(1)用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【变式5-4】如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
考点六：菱形的性质
例6．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ．
【变式6-2】如图，四边形是菱形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，，求的长度．
【变式6-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求线段的长度．
【变式6-4】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
考点七：利用菱形的性质证明
例7．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则．
(1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
(2)连接，交点为，若，，求点P到直线的距离．
【变式7-1】尺规作图问题：如图1，菱形，点是边上一点（不包含），连接．用尺规在边上找到点，连结，使．
小明：如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则．
(1)如图2，请你证明小明的作法是正确的．
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【变式7-2】如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
【变式7-3】如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，求菱形的面积．
【变式7-4】菱形的边长为，，点是对角线中点，是线段上任一点，连接，作，边与直线相交于点．
小南和小浦观察以上问题时，猜想，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究．
【特例发现】
小南发现：当点与点______重合时，与的长度相等，为______；
【探究证明】
小浦认为当在线段上时，均有“”，请帮助完成证明．
【拓展运用】
连结交于点，求证：为定值．
当时，______．
考点八：菱形的面积计算
例8．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（ ）
A．16B．32C．D．
【变式8-1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ）
A．24B．36C．12D．6
【变式8-2】已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ．
【变式8-3】如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式8-4】如图，矩形的对角线，相交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
考点九：正方形的判定
例9．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
【变式9-1】如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为 ．
【变式9-2】已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为点，，求证：四边形是正方形．
【变式9-3】如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
【变式9-4】如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，．

(1)求证：四边形是正方形．
(2)若，，求四边形的面积．
考点十：正方形的性质
例10．如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（ ）
A．4B．C．D．
【变式10-2】如图，已知正方形 边长为 2，点 ， 分别在边 ， 上，将正方形沿着 翻折，点 恰好落在 边上的点 处． 如果四边形 与四边形 的面积比为 ，那么线段 的长为 ．
【变式10-3】如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点．
(1)求的长；
(2)求的长．
【变式10-4】如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足．
(1) （直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
(3)如图（2），在中，，高，，求的长度．
考点十一：利用正方形的性质证明
例11．如图，在中，，分别以为边作正方形和正方形，使点分别落在的延长线上，连接交于点H．求的长，只需知道（ ）
A．的长B．的长C．的长D．的长
【变式11-1】如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5B．8C．12D．2
【变式11-2】如图，为正方形内的一点，，若，，则的长为 ．
【变式11-3】如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ．
【变式11-4】如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
(1)求证：；
(2)求证：．
考点十二：中点四边形
例12．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是( )
A．四边形一定是平行四边形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．若四边形是矩形，则四边形是正方形
【变式12-1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．
则下列说法：
①若，则四边形为矩形；
②若，则四边形为菱形；
③若四边形是菱形，则与互相平分；
④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式12-2】定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
【变式12-3】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为 ．
【变式12-4】已知四边形，
(1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图（2），若于，，，求的值．
拓展训练一：特殊平行四边形的判定与性质综合
1．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上．
(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，过点B作，交于点H，G．求证：．
(3)如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形．
(4)如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系．
2．如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话．
(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）；
(2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数．
3．如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
4．如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程．
5．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由．
拓展训练二：特殊平行四边形的存在性问题
1．如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到．
(1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围．
(2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示）
2．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点重合），作交边于点，连结．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，，，点在线段上运动，当四边形是菱形时，，求菱形的面积；
(3)如图3，，在延长线上（可以与点重合）存在一点，使得四边形为矩形，求的度数范围．
5．在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题：

(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）；
①“双直四边形”的对角线不可能相等；②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形中，点E、F分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
拓展训练三：特殊平行四边形的旋转问题
1．如图，在正方形ABCD中，顶点A（0，－2），B（0，2），点E是BC的中点，DE与OC交于点F．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点F的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，正方形和，，连接．若绕点旋转，当最大时， ．
3．如图，在矩形中，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 .
4．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
5．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．

(1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明．
(2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，连接，，若，，求．
(3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
拓展训练四：特殊平行四边形的最值问题
1．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小．
4． 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、，已知线段，，，设．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．
5．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
拓展训练五：特殊平行四边形的新定义问题
1．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）；
【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O．
请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2．
结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ．
【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．
（1）求证：四边形是筝形；
（2）若，，，，求的长．
2．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ．
问题解决：
（2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ．
拓展应用：
（3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ．
3．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①______；②______．
问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
（1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
（2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
（3）试探索与的数量关系，并说明理由．
（4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程）
4．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．
(1)下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图，在四边形中，平分，请说明四边形是“奇妙”四边形；
(3)已知在“奇妙”四边形中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边，对角线，求该“奇妙”四边形的周长．
5．【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”．
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长；
【拓展思考】
（3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积．
1．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形D．对角线相等的四边形
4．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连结，若，，则的长为（ ）
A．B．C．3D．
5．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（ ）
A．2B．C．4D．
6．如图，菱形中，点，分别是，上的点，已知，，则对角线的长为 ．
7．如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ．
8．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为 .
9．如图，已知矩形的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长为 ．

10．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积．
11．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积．
12．如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于．
(1)求证：．
(2)请写出与之间的数量关系并证明．
13．小丽和小明在研究一个尺规作图问题．
如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E．
小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则．
小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则．

(1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）；
①小丽的作法______；
②小明的作法______．
(2)请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
14．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点．
(1)如图1，当平行四边形是矩形时：
①连接，求证：四边形为菱形：
②如图2，若，当点与点重合时，______；
(2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度．
15．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则 ；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则 ．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
性质
符号语言
图示
边
两组对边平行且相等
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角
四个角都是直角
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°
对角线
两条对角线互相平分且相等
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=BO=DO
判定定理
符号语言
图示
角
一个角是直角的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
在四边形ABCD中，
∵∠B=∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形
性质定理
符号语言
图示
边
四条边都相等
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
对角线
对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD
判定定理
符号语言
图示
边
四条边相等的四边形是菱形.
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形
定义法
平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
判定定理
矩形+一组邻边相等
有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直
对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角
有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等
对角线相等的菱形是正方形
已知：如图1，在中，，D为斜边的中点．
求证：．
证明思路：
延长至点E，使，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论．