第03讲 平行四边形（7知识点+12大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
知识点 1 多边形的相关概念
1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2. 多边形的相关概念：
多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
【补充】
1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线.
3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
【补充】1）正n边形有n条对称轴．
2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心.
知识点 2 多边形的内角和与外角和
1. 多边形内角和定理
多边形内角和定理：n边形的内角和为.
2. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
易错易混
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n-3)2 条对角线.
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
知识点 3 平行四边形的概念与性质
1.平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2. 平行四边形的性质定理
3. 平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：1）两条平行线间的距离处处相等.
2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
知识点 4 平行四边形的判定定理
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.
5. 平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
知识点 5 三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点 6 中点四边形
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
知识点 7 反证法
反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行
逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用
反证法有如下三个步骤：
（1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面；
（2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可
以与正常生活中的事实相矛盾，等等；
（3）结论——肯定原命题正确.
考点一：多边形的相关概念
例1．下列说法错误的是（ ）
A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B．四边形有2条对角线；
C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D．六边形的六个角都相等；
【答案】D
【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；
B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；
C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；
D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．
【变式1-1】如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据两个五边形都是正多边形，得到各边都相等，然后进行等量替换判断正确选项．
【详解】解：五边形和五边形都是正多边形，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形的性质．根据正多边形的性质判断线段之间的关系．
【变式1-2】一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键．
【详解】解：∵多边形外角和都为，
∴该多边形为边形，
∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条，
故答案为：．
【变式1-3】我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．

【答案】2
【分析】根据三角形具有稳定性，五边形可以分成3个三角形，需要两根木条．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性，是解题的关键．
【变式1-4】探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
【答案】(1)1，2；
(2)3，4；
(3)
(4)8
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．
【详解】（1）解：如下图：
经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：3，4；
（3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形，
故答案为：；
（4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键．
考点二：多边形的内角和问题
例2．已知过n边形的一个顶点有5条对角线，一个m边形的内角和是，则（ ）．
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，熟记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答此题的关键．
根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出n的值；根据都不行内角和公式即可求出m的值，然后代数求解即可．
【详解】∵过n边形的一个顶点有5条对角线，
∴
∴；
∵一个m边形的内角和是，
∴
∴
∴．
故选：D．
【变式2-1】如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（ ）
A．100B．112.5C．120D．125
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的外角和列出方程式，进而得出答案．
【详解】解：
解得：．
故答案为：B．
【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ．
【答案】8或9或10
【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解．
【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为，
由题意得，
解得．
因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1，
原多边形可能为8或9或10.
故答案为：8或9或10.
【变式2-3】经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案．
【详解】解：正五边形内角和为：，
∴，
故答案为：
【变式2-4】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
(1)求这个多边形是几边形；
(2)求这个多边形的内角和．
【答案】(1)六边形
(2)
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角的计算，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角的关系是解题的关键．
（1）设内角为，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出
（2）根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：设多边形的每一个内角为，则每一个外角为，
由题意得，，
解得，，，
这个多边形的边数为：，
答：这个多边形是六边形；
（2）解：由（1）知，该多边形是六边形，
内角和，
答：这个多边形的内角和为．
考点三：多边形的外角和问题
例3．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意正八边形外角和为，
∴每一个外角为．
故选：B．
【变式3-1】如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵为正五边形的外角，
∴，
∴；
故选：A．
【变式3-2】用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ．
【答案】3或4或5
【分析】根据题意，得正五边形的一个内角为，结合题意，得，结合，确定，根据正多边形的一个内角度数为，得到，于是得到，结合n为正整数，解答即可．
【详解】解：根据题意，得正五边形的一个内角为，
根据题意，得，即
∵，
∴
∴，
∵正多边形的一个内角度数为，
∴，
∴，
∴n为正整数，
∴n为1或2或3或4或5，
又一个或2个多边形围不成所需要的图形，故舍去，
故n的可能值为3或4或5．
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和定理，外角和定理，不等式的整数解，熟练掌握定理和不等式的整数解是解题的关键．
【变式3-3】如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键．
【详解】解：∵正五边形的外角和为，
∴正五边形每个外角的度数为：，
∴正五边形每个内角为：，
∴组成的正多边形的每个内角为：，
∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正边形，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式3-4】按要求回答下列各小题．
(1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
(2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
【答案】(1)14
(2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是
【分析】（1）n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解；
（2）正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可．
【详解】（1）解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°，
由题意得，，
解得，
即n的值为14；
（2）解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为，
由题意得，，
解得，
，
即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为．
考点四：内角和与外角和的综合
例4．如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得．
【详解】解：∵的外角和等于，
，
，
∵五边形内角和，
，
，
故选：A．
【变式4-1】如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、多边形的内角和外角，利用四边形内角和是，可以求得，然后由角平分线的性质和邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【详解】解：，，
，
又的角平分线与的角平分线相交于点P，
，
，
故选：B．
【变式4-2】已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ．
【答案】164
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键．
延长并反向延长、、，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与各边的关系列出等量关系是，即可解出．
【详解】解：如图，分别延长、，相交于点G，分别延长、，相交于点H，分别延长、，相交于点M．
，
∵六边形的每个内角为，，，，，
∴六边形每个外角为，
∴、、、都是等边三角形，
，，，
，
设，，
，
，
即，
；
故答案为：164．
【变式4-3】如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．
【答案】
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【详解】、、、的外角的角度和为，
，
，
五边形OAGFE内角和，
，
．
故答案为
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
【变式4-4】问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
考点五：平行四边形的性质
例5．如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，首先根据平行四边形的对角线互相平分，可得：，，根据勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得：，从而可求点到的距离．
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
，
，
解得：．
故选：B．
【变式5-1】如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（ ）
A．24B．28C．38D．40
【答案】C
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案．
【详解】解：由翻折可得，，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为14，
，
∵，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
【变式5-2】如图，将一副三角板摆在中，若，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟记平行四边形的性质，三角形的面积是解题的关键；设点到的距离为，点到的距离为，根据等等面积法分别求出h与的长，即可推出结果，
【详解】在中，，，
，
，，
设点到的距离为，点到的距离为，
，
，
在等腰中，，
，
，
的面积为，
故答案为：．
【变式5-3】如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点作，易得为等腰直角三角形，为含30度角的直角三角形，进而求出的长，得到的长，进而求出的面积，根据的面积为的面积的2倍，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
过点作，如图：
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【变式5-4】如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等．
（1）根据平行四边形的性质得出，则，即可根据求证，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的周长．
考点六：平行四边形的判定
例6．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2．
对于两个方案，说法正确的是（ ）
A．只有甲方案可行B．只有乙方案可行
C．甲、乙方案都可行D．甲、乙方案都不可行
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可．
【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，所以，方案可行；
乙方案由折叠可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
方案可行；
故选：C．
【变式6-1】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故C符合题意，
但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意，
故选：C．
【变式6-2】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是 （填写相应序号）．
【答案】③
【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC，
如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状；
如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形；
如果③，则AE//CF，
∵AFCE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确，
故答案为：③．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【变式6-3】已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】根据平行四边形的性质，分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形，然后写出第四个顶点D的坐标．
【详解】如图，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
【变式6-4】根据所给素材，完成相应任务．
【答案】（1）
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）
（4）是定值，理由见解析
【分析】（1）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由求解；
（2）根据平行四边形的判定定理解答即可；
（3）过点O作于点H，交于点G，利用，求得，利用，求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
（4）作于M，交延长线于N，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论．
【详解】解：（1）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵(已知)，(已知)，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）过点O作于点H，交于点G，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
（4）与的面积比是定值．
理由：作于M，交延长线于N，如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是三角形综合题目，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
考点七：平行四边形性质与判定的应用
例7．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）

A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，
的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确
四边形的面积四边形的面积，故B选项正确
∴A、B、D正确，C不正确；
故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便．
【变式7-1】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB，
∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴；
同理可得：，，，
∴
即，也即．
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键．
【变式7-2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

【答案】 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
【详解】解：（1），，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型．
【变式7-3】如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
【答案】4
【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
【变式7-4】问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析．
【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值；
（2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求．
【详解】解（1）如图，即为所求，
，，
四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
；
（2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求，
理由如下：
，，
四边形、四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
．
考点八：中心对称与中心对称图形
例8．下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式8-1】下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【变式8-2】下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据定义作答即可.
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
【变式8-3】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，被旋转过的一张牌是 ．
【答案】方块4．
【分析】4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，根据旋转的特点以及牌的花色进行判断.
【详解】解：4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，故旋转180°后还是原状，而其他3张均不是，观察翻转前后4张牌均为保持原状，据此可知翻转的为方块4，
故答案为方块4.
【点睛】本题结合旋转考查了中心对称.
【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
(1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
(2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
【答案】(1)是中心对称，图见详解
(2)
【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明四边形使得平行四边形可得结论；
（2）利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
考点九：画中心对称
例9．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)与关于原点成中心对称，画出；
(2)的面积为_______；
(3)以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为________．
【答案】(1)作图见解析
(2)2.5
(3)或或
【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）分别作出，，的对应点，，并依次连接即可．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
（3）根据平行四边形的性质画出图形利用平移法即可解决问题．
【详解】（1）解：即为所作：
（2）解：，
故答案为：2.5；
（3）解：如图：
当四边形是平行四边形，
∴，
∵，，．
∴可知点向右平移了3个单位，向上平移了1个单位得到点，
则向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点，
∴点的坐标为；
同理可得点，，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)画出关于点C成中心对称的，此时点坐标为________；
(2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为________．
【答案】(1)作图见解析，
(2)或或
【分析】本题主要考查了图形与坐标，中心对称，平行四边形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（1）先找出A、B关于点C成中心对称的对称点、，再顺次连接、，即可得到、．
（2）分三种情况：①是平行四边形；②是平行四边形；③是平行四边形．根据平移的性质分别求出、、的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知，点坐标为，
故答案为：；
（2）结合图形可知，
①是平行四边形，此时；
②是平行四边形，此时；
③是平行四边形，此时；
故答案为：或或．
【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．
(1)画出向左平移4个单位的图形；
(2)画出关于原点O成中心对称的图形，并写出，，三点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，，，
【分析】本题考查了作图—平移变换、画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据关于原点O成中心对称的图形的性质作出图形，再写出坐标即可．
【详解】（1）解：即为所求，
（2）解：如图，即为所求，，，
．
【变式9-3】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
(1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4个单位长度得到，画出．
(3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
【变式9-4】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是．
(1)作出关于原点对称的，其中点的对称点为点；
(2)直接写出点，的坐标．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，．
【分析】本题考查基本作图中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解答的关键．
（）根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可；
（）根据所作图形得出点，坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可得，．
考点十：中心对称的坐标问题
例10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象经过．
(1)一次函数的表达式．
(2)如果点关于原点O中心对称的对称点恰好落在一次函数的图象上，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式；
（2）先求出点关于原点O中心对称的对称点，然后代入求值．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴．
（2）解：点关于原点O中心对称的对称点，
代入中得，
解得，
∴点A的坐标为．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．
(1)写出点的坐标．
(2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出．
(3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移和中心对称，正确画出对应的图形是解题的关键．
（1）根据坐标系中点的 位置写出点的坐标即可；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律先得到向左平移2个单位后A、B、C的对应点坐标，再根据关于原点成中心对称的点横纵坐标都互为相反数得到的坐标，描出病顺次连接即可；
（3）仿照（2）求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：向左平移2个单位后得到的点的坐标为，
∵与关于原点成中心对称图形，
∴．
【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题：
(1)若向右平移6个单位长度得到，作出并写出其三个顶点的坐标；
(2)作出关于原点的中心对称图形并写出其三个顶点的坐标．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据原点对称的要求求出对应坐标，画图即可．
本题考查了坐标的平移，原点对称，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，向右平移6个单位后，得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求．
（2）解：根据题意，得，关于原点的中心对称图形，新坐标分别为．画图如下：
则即为所求．
【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为．
(1)请直接写出的坐标______；
(2)是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的；
(3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了图形的平移、中心对称的性质．
（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点的坐标；
（2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
【详解】（1）解：∵，与关于原点O成中心对称，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，平移后点的对应点，
∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
即：如图所示；
（3）解：∵，，，
∴，，；
如图所示，
连接，相交于点，
则为对称中心，即：为的中点，
又∵，，
∴，即，
故答案为：．
【变式10-4】如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕原点旋转后的图形；
(2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
(3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可；
（2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可；
（3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标．
【详解】（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称，
则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
（2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，
分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
（3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ，
分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、，
平移后的和关于点成中心对称，且、、，
设对称中心，由题意可知，点为和的中点
那么，
，
．
故答案为：．
考点十一：三角形的中位线
例11．如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到
的最小值为，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
分别为的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【变式11-1】如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而．
【详解】解：连接交于O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式11-2】如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是的中位线，推出，结合角平分线的定义得到，再证明，推出，进而求出，即可解答．
【详解】解：∵是的平分线，
∴．
∵是的中位线，，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式11-3】如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，连接．求出，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图，连接．
为边中点，，，
，，，
为边中点，取中点并连接，
，，
是的中位线，
，，
，
取中点，
，
又，
，
，，
，
故答案为：1．
【变式11-4】如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，．
【用数学的眼光观察】
（1）求的度数．
【用数学的思维思考】
（2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到；
（3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答．
【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，，
，
，
，
，
；
（2）是对角线的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，
，
同理，，
由（1）可知，
，
∵，
∴；
（3）如图，取的中点，连接，
同理（1）（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
考点十二：反证法
例12．下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“”时，应假设
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．带根号的数一定是无理数
D．多项式与的公因式为
【答案】C
【分析】本题考查了逆命题和真命题，反证法，平行线的判定与性质，无理数，因式分解．根据反证法，平行线的判定与性质，无理数的定义，因式分解以及逆命题和真命题的定义求解即可．
【详解】解：A．用反证法证明“”时，应假设，原说法正确，不符合题意；
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，原说法正确，不符合题意；
C．带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，符合题意；
D．多项式与的公因式为，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式12-1】用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（ ）
A．都不为0B．只有一个为0
C．至少有一个为0D．都为0
【答案】A
【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤；
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况．
在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”．
故选：A．
【变式12-2】如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ）
A．①②③④B．②③①④C．①③②④D．②③④①
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；
2、则，；
3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾；
4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l．
则证明步骤正确的是②③①④，
故选：B．
【变式12-3】用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案．
【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【变式12-4】小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
【答案】（3）（4）（1）（2）
【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
那么，由，得，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
拓展训练一：多边形内角和与外角和综合
1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
2．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】D
【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．
【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°．
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°．
故选：D．
【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．
3．在△ABC中，（），点E，F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，且BE＋EF＋CF的值最小．
如图1，若AB＝AC，，则∠ABE的大小是 ；
如图2，∠BGC的大小是 （用含的式子表示）．
【答案】 30°
【分析】分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到答案；然后根据根据（1）的结论即可得出∠BGC的度数．
【详解】解：如图所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小．
∴，，
∴，，，
∵点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，，
∴，
∵（），
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∵，BC=CB
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
如图所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，连接分别交AB和BC于F和E，此时，BE＋EF＋CF的值最小．
∴，，
∴，，，
∵点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，，
∴，
∵（），
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确作出辅助线，找到四点共线时有最小值是解题的关键．
4．如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角．
（1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为 ．
（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可）
【答案】 ∠B=n∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88°
【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；
（2）利用（1）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【详解】解：（1）∠B=n∠C；
如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
故答案为：∠B=n∠C．
（2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角，
∴∠B=4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180，
∴如果一个三角形的最小角是4°，
三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
5．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．
【问题解决】
(1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数；
(2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”．
①若是等腰三角形，求的度数；
②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）．
【答案】(1)，
(2)①的度数为或；②
【分析】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得；
②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）①∵四边形是“对角互补四边形”，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
∴（不符合题意，舍去），
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴．
综上所述：的度数为或；
②如图②，过点B作于G，于H，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键．
拓展训练二：平行四边形的判定与性质综合
1．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立，⑤根据平行四边形的性质得到结合，即可得到．
【详解】解：①延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
过点作交延长线于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，则为等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正确；
由勾股定理可知，，则，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
故④不正确；
，，
，
故⑤正确；
综上所述正确的结论共有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
2．如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（ ）
；；；．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．
4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是
①平分；②；③；④．
【答案】①②④
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键．
①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③过点作于点，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
由勾股定理得：，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上所述：所有正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
5．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）证明，推出，可得结论；
（2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵F是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
拓展训练三：平行四边形的存在性问题
1．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．

(1)______，______．（用含t的代数式表示）
(2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形．
①当时，求的长；
②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在，或2或3
【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质求出，进而得到，据此求出即可；
（2）①根据，求出，则，利用勾股定理分别求出，，进而求出，则；②分图2-1，2-2，2-3三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
②如图2-1所示，当落在上时，则，
∴，
∴此时点D与点M重合，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；

如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；

如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上，
∴；
综上所述，t的值为或2或3．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．
(1)求，的长度；
(2)若，求的长；
(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或12
【分析】（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长；
（2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可；
（3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：如下图，由题意可知，，即，
解得，即，
∴，，
∴，
∵点Q为中点，
∴；
（2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形AMEP为平行四边形，
∴，
∵，
由可知，，
解得，即，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴，
∴，
解得；
②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴，
∴，
解得．
综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题．
3．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．
（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒
【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【详解】解：（1）设运动时间为t秒．
∵四边形MNCB是平行四边形，
∴MB=NC，
当N从D运动到C时，
∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
当N从C运动到D时，
∵BM=AB-AM=16-t，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形；
（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，
作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，
∵MH=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16−t)+t，
解得t＝秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t，
解得t=秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，
MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵MN2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t＝（秒）；
Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，
则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．

（1）求点的坐标及直线的解析式．
（2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标．
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线的解析式为．（2）坐标为或．（3）存在，满足条件的点的坐标为或或．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法即可解答；
（2）分两种情况：①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，求出点；②当时，如图，同法可得，再将解代入直线解析式求出n值即可解答；
（3）利用三角形面积公式求出点M的坐标，求出直线AM的解析式，作BE∥OC交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得即可解答．
【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．
（2），，，
，设，
①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．
是等腰直角三角形，易证，
，，
，
点在直线，
，
，
．
②当时，如图，同法可得，
点在直线上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或．
（3）如图，设，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，
可得，，
当点在第三象限，由BC=DE，根据对称性知，点D关于点A对称的点也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】本题考查三角形的面积、待定系数法求直线解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，是一次函数与几何图形的综合题，解答的关键是理解题意，认真分析，结合图形，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合等解题方法进行推理、计算．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【分析】（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可．
【详解】（1）解：当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
（2）解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
（3）解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．
拓展训练四：平行四边形常考的模型问题
1．如图，在中，已知，，，的平分线交于点，点从点开始，沿射线运动．
(1)计算的长度；
(2)点运动到何处时与点的距离最小，并求出最小距离；
(3)点在运动过程中，的最小值是 ．
【答案】(1)；
(2)过作于，此时点与点的距离最小，最小距离是；
(3)．
【分析】（1）过作于，求出，求出、，即可求出答案；
（2）过作于，此时点与点的距离最小，求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可；
（3）作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长，求出，即可求出的值，得出答案即可．
【详解】（1）解：过作于，
，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
∴，
，
在中，，由勾股定理得：，
，，
；
（2）解：过作于，此时点与点的距离最小，
则，
，，
，
即最小距离是；
（3）解：作关于的对称点，连接，交直线于，交于，则此时的值最小，且等于长，
由（2）知：，
，
，
，平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，
，
，，
在中，，，，
，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、轴对称的性质，解题关键是熟练掌握含的直角三角形的特征．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标；
(3)如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点M的坐标为或或
【分析】（1）由题意求得点C的坐标，由直角三角形的性质可求得点A 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）由直线的表达式可求得点B的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点P的坐标；
（3）易得点G的坐标，得点G所在直线解析式，设点M、点G的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上，
把代入得，，
解得，
∴，，
∵轴，，，
∴，
，
由勾股定理得,
∴，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴直线 的函数表达式为；
（2）解：直线 的表达式为: ，
当 时，，则点 ，
，
，，
，
，
，

沿 折叠后,点 恰好落在 边上，
，
，
；
令 ，则 ，
根据 得：，
解得：，
故点 的坐标为 ；
（3）解：由旋转性质知，，则，
∴关于x轴对称，且G与C关于x轴对称，
∴；
∵沿着直线平移，
∴点G在平行于直线的直线（记为）上运动；
设解析式为，把点G坐标代入得：，
得：，
即：；
当点G在上运动时，设其坐标为；设；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得：，
∴，
则；
综上，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论．
3．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析
【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证；
（2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明；
（ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：（i）由（1）得，
延长，交于点T，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠知：，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（ii）过点作，交于点，如图所示：
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性．
4．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴；
②当时，如图，设与交于点，作，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
5．已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求的长及点A，点B的坐标；
(2)求的长度；
(3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标；
(4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解；
（2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案；
（3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解；
（4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：对于直线，令，则，
令，则，
∴；
由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴；
（3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接，
∵为等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
点；
如图，当为直角边时，
同理可得：点；
综上，或；
（4）解：∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
设，，
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
综上，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用．
拓展训练五：三角形的中位线压轴
1．如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．分别延长交于，延长交于点，先证明，再证明是的中位线，可得，可得再证明，可得，再求解即可．
【详解】解：如图，分别延长交于，延长交于点，
，
，
，
G为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B
2．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
3．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ．
【答案】9
【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得，设，，则，得出，在中，根据勾股定理得：，根据，得出，在中，根据勾股定理得：，得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得：，即，整理得：，得出方程，利用平方根定义，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，取中点，连接，
∵为斜边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，
∵为斜边的中点，
∴，
∴，
即，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵为斜边的中点，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
整理得：，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
整理得：，
∴，
，
，
开平方得：，
解得：或（舍去），
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
4．如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可知点在射线上，当取得最小值时，取得最小值，即当点与点重合时，取得最小值，此时，设，则，根据勾股定理，求出的值，再进一步求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值．
【详解】连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，如图所示：
在平行四边形中，，，
点为射线上任意一点，
点在射线上，
当取得最小值时，取得最小值，
即当点与点重合时，取得最小值，
此时，
，，，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，，
，
，
，
，
，
，
，，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合性较强，找出点的运动轨迹是解题的关键．
5．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】活动一：见解析
活动二：详见解析
活动三：
【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解；
活动二：由中位线定理可得，，，，
结合，得出，即可得证；
活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解．
【详解】活动一 ：解：∵是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
活动二：解：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
，
，
活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，
∵是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴是中垂线，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
1．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，
第一步应是假设，
故选：A．
2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点GB．点HC．点ID．点J
【答案】C
【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：
∵与关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
3．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案．
【详解】解：多边形的外角和为，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（ ）
A．5B．2.5C．2.4D．1.25
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，，，则，由此即可得．
【详解】解： ∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故选：B．
5．如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案．
【详解】解：连接，过点作交于点G，连接，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴是平行四边形，
∴
∵，
∴可设，则，
∴，
∴,
∴，
故选：A
6．如图，，分别是的边，的中点，将线段沿方向平移得到线段，若，则的长是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
利用平移的性质得出四边形为平行四边形，然后利用平行四边形的性质和线段中点的性质即可求解．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴四边形为平行四边形，
，
∵点是的边的中点，
，
故答案为：12．
7．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ．
【答案】41
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：平分，，
，
在和中，
，
，
，，
是的边的中点，
是的中位线，
，
的周长，
故答案为：41．
8．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则 ，与平行四边形重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，则，再根据线段中点的定义可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出，再根据重叠部分的面积为的面积，即面积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵F恰好为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴与平行四边形重叠部分的面积为，
故答案为：；．
9．如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ．
【答案】/17.5
【分析】本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
【详解】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
10．如图，梯形中，，E、F分别是下底边和上底边的中点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查斜边上的中线，平行四边形的判定和性质，过点分别作，易得四边形均为平行四边形，为直角三角形，点为的中点，根据平行四边形的性质，结合斜边上的中线的性质，得到，即可得出结果．
【详解】解：过点分别作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形均为平行四边形，
∴，
∵E、F分别是下底边和上底边的中点，
∴，
∴，即：，
∴为的中线，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
11．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点，分别在，的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
12．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解答过程
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定的定理，直角三角形点的斜边中线定理，再结合点，分别为，的中点，可求得，则可证得四边形为平行四边形；
（2）根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
点，分别为，的中点，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
点为的中点，
．
13．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中作一个以为腰的等腰．
(2)在图2中以为边画一个平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰三角形和平行四边形的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据等腰三角形的定义求解即可；
（2）根据平行四边形的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
14．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接．
(1)点的坐标为______；
(2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)；
(2)存在最小值，的最小值为；
(3)，理由见解析．
【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标；
（）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解；
（）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证．
【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
故答案为：；
（2）解：存在最小值，的最小值为，理由：
连接，过作轴于点，如图，
∵，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴取得最小值时，即时，的值最小，
由（）知：，
∴当时，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由：
连接，如图，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
15．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可；
（2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可；
②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段的长为；
（2）①∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵与重合，，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
性质
符号语言
图示
边
平行四边形两组对边平行且相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角
平行四边形对角相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
对角线
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
判定
符号语言
定义
一组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形
甲
乙
①在纸片的一边上取线段；
②用圆规在另一边上截取，使；
③用圆规比较和的长度，若，则．
①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F；
②用圆规比较的长度，若，则．
玩转三角板
活动背景
在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．

素材1
小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．

素材2
小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．

素材3
李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？

解决问题
任务1
（1）根据图2，计算线段的长度．
任务2
（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________．
（3）计算的面积．
任务3
（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．