第02讲 一元二次方程-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
知识点 1 一元二次方程的相关概念
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a?0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了ax2+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
知识点 2 一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
当b＞0时，则x1=ba=，x2= -ba，此时方程有两个不相等的实数根；
当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当b＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
知识点 3 一元二次方程根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:x=-b±b2-4ac2a；
2）方程有两个相等的实根：x1=x2=?b2a；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
知识点 4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝-ba，x1•x2＝ca
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为x1+x2＝-p， x1•x2＝q.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
知识点 5 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
考点一：一元二次方程的相关概念
例1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．或
【变式1-2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ．
【变式1-4】若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
考点二：一元二次方程的解的估算
例2．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】在估算一元二次方程的根时，小明列表如下：
由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式2-3】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
【变式2-4】小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：
所以
第二步：
所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
考点三：一元二次方程的解法
例3．解方程：
(1)；
(2)．
【变式3-1】解下列方程：
(1)
(2)
【变式3-2】解方程：
(1)
(2)
(3)
【变式3-3】解方程：
(1)；
(2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：，
解：方程两边同除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为，得第三步
任务：
小蒋的解法从第_____步开始出现错误；
请写出此题的正确解题过程．
【变式3-4】解下列方程：
(1)；
(2)．
考点四：配方法的应用
例4．在实数范围内，代数式的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【变式4-3】我们知道：对于任何实数，
①，；②，．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数，都有；
(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．
【变式4-4】阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）；
，
，
代数式的最小值为；
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）求的最小值；
【拓展提高】（2）求的最大值．
考点五：换元法解一元二次方程
例5．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2020B．2021C．2019D．2022
【变式5-1】已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．无法求解
【变式5-2】已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式5-3】若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【变式5-4】阅读下列材料：
为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：．
考点六：根的判别式
例6．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【变式6-1】已知一元二次方程和．在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若， 则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根， 则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
【变式6-2】关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【变式6-3】已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ．
【变式6-4】已知方程，
(1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根．
考点七：根据一元二次方程根的情况求参数
例7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．3
【变式7-1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【变式7-3】定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【变式7-5】关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为正整数，求此方程的根．
考点八：一元二次方程根与系数的关系
例8．关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ）
A．8B．C．D．2
【变式8-1】已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ．
【变式8-3】若一元二次方程的两根为m，n，则 ．
【变式8-4】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明，
考点九：一元二次方程的应用1
例9．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【变式9-1】如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围；
(2)连接，为何值时，的面积为．
【变式9-2】2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
【变式9-3】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【变式9-4】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米．
(1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求的值．
考点十：一元二次方程的应用2
例10．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【变式10-1】某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元．
(1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式）
(2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？
【变式10-2】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？
(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【变式10-3】2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【变式10-4】为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
拓展训练一：整体代入求一元二次方程的解
1．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知实数满足，则的值为（ ）
A．B．4C．或4D．2
3．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ．
4．为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
故原方程的解为．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ．
5．阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
(2)已知实数、满足，求的值．
(3)解方程．
拓展训练二：一元二次方程的特殊解法
1．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，则的值为________．
2．解方程．
3．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
4．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
5．解方程：．
拓展训练三：一元二次方程根与系数的关系综合
1．阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数、、满足，，求、、的值．
解法1：由已知得，①．②
将①代入②，整理得．③
由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根．
，即．而，，，
将代入④，得．，即．，．
解法2：，、设，．①
，．②
将①代入②，得．
整理，得，即．，．
将、的值同时代入①，得，．，．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
(1)用另一种方法解答范例中的问题．
(2)选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数、、满足，，求证：．
2．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
学习再现：
设一元二次方程的两个根分别为和，
那么，
比较系数得，．
类比推广：
（）设的三个根分别为，，，求的值．
问题解决：
（）若的三个根分别为，，，则的值是______．
拓展提升：
（）已知实数满足，且，求正数的最小值．
3．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且．
(1)求k关于n的表达式；
(2)若n为正整数，求k的取值范围．
4．关于x的一元二次方程…①和…②．
(1)若，且方程①有两实根，，方程②有两实根，，求代数式的最小值；
(2)是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说明理由．
5．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值．
拓展训练四：一元二次方程的应用综合
1．根据以下素材，探索完成任务
2．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
3．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？
解答：
．
，即，
因此的最小值为，
此时，解得，符合题意
当时，
(1)已知函数，的最大值为多少？
(2)已知函数，的最小值为多少？
(3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？

4．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
5．如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒的速度沿匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在t，使得的面积是面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当为直角三角形时，求t的取值范围．
拓展训练五：一元二次方程的新定义问题
1．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．
上述结论正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ．
3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
4．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
5．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______．
(2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
1．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A．B．8C．D．
2．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5B．1或C．D．5
6．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
7．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
8．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是 ．
11．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
(1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
(2)请选择合适的方法解一元二次方程．
12．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
13．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）；
①；②；③
(2)若是“邻根方程”，求的值；
(3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
14．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，
，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则__________，_____．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
15．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
常见问题
数量关系
变化率问题
利润问题
利润=售价-进价；
利润率=利润/进价×100%
总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题
单循环（如握手问题）：12n（n－1） （其中n为人数）
双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题
(a−2x)(b−2x)
（x为空白部分的宽）
(a−x)(b−x)
（x为阴影部分的宽）
3.1
3.2
3.3
3.4
0.5
x
1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.36
0.75







素材1
某款中央空调每台进价为20000元．
素材2
团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元．
规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决
问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价．
问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价．
问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1
如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2
如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3
小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）．
将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1
（1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2
（2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3
（3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材
如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．

素材
如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板①
长方形纸板②


小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式
长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．

将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．

目标
熟悉材料
熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标
利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用
（1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳
（2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．

二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法
甲同学：
或
∴或
乙同学：
，，
∵
∴此方程无实数根