专题03 二次函数的性质1-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（浙教版）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：二次函数的常见表达式：
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式．
3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．
知识点2：二次函数的图像与a，b，c的关系
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=-b2a的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.
【即时训练】
4．（2025·浙江·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·浙江金华·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有 ．（填编号）．
知识点3：二次函数的平移变换
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
【即时训练】
7．（2025·浙江·二模）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是 ．
8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到的抛物线解析式是
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值．
知识点4：二次函数图象的对称变换
【即时训练】
10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如果点，是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
12．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ．

【题型1 二次函数的一般式】
1．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式．
3．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
4．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式．
5．已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
【题型2 二次函数的顶点式】
6．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ．
7．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
8．选你喜欢的、、的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件:
①它的图象不经过第三象限；
②图象经过点；
③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是 ．
9．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
10．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．
【题型3 二次函数的两点式】
11．已知二次函数的图象与经过，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
12．根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式．
(1)抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是；
(2)抛物线过，两点，与轴的交点为．
13．已知抛物线与x轴交于、，且过点，求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标．
14．如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______．
15．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式．
【题型4 二次函数图象与各系数符号】
16．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
17．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
18．已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ．
19．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；
其中正确的结论有 ．
20．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是 （写序号）．
【题型5 根据二次函数的图象判断式子符号】
21．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．二次函数的最小值为
22．如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．方程两根分别为，4
23．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
24．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只填序号）．

25．如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 （填写序号）．
【题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
26．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图像的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
27．将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
28．已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ．
29．已知二次函数经过两个不同点，，则 ．
30．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________．
(2)若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值；
【题型7 根据二次函数的对称性求函数值】
31．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
其中m的值是（ ）
A．3B．C．2D．
32．设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（ ）
A．5B．C．D．0
33．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ．
34．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ．
35．已知抛物线的对称轴是轴．
(1)求的值；
(2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性．
【题型8 二次函数的单调性】
36．在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（ ）
A．B．C．D．
37．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（ ）
A．2B．4C．6D．9
38．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ．
39．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ．
40．操作与探究：
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是___________；
②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________；
③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________．
【题型9 利用二次函数对称性求最短路径】
41．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．4B．4.6C．5.2D．5.6
42．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．

43．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．

44．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
45．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点
(1)求的值；
(2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________．
【题型10 二次函数图象的平移】
46．将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
47．将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ．
48．将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
49．已知二次函数的图象以为顶点，且过点
(1)求该函数图象抛物线的解析式；
(2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点．
50．已知次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标；
(2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值．
【题型11 二次函数的最值】
51．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值3B．有最小值3C．有最大值6D．有最小值6
52．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
53．二次函数的最大值为 ．
54．当时，函数的最大值是8，则 ．
55．已知二次函数（是常数）
(1)若，
①该函数的顶点坐标为___________；
②当时，该函数的最大值___________；
③当时，该函数的最大值为___________；
(2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________．
【拓展训练一 二次函数的平移问题】
56．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18B．20C．36D．24
57．已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（ ）
A．4.5B．5.5C．6.5D．7.5
58．已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（ ）
A．16B．20C．24D．28
59．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是 ．
60．已知二次函数解析式为．
(1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式；
(2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标；
(3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围；
【拓展训练二 二次函数求最值】
61．已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
62．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（ ）
A．B．1或C．或D．1或
63．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
64．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ．
65．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”．
(1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）．
①；②；③；④．
(2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当时，求出该函数的最小值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．
【拓展训练三 二次函数的翻折问题】
66．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
67．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
68．将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围．
69．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ．
70．如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
【拓展训练四 二次函数的存在性问题】
71．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
(1)当时，求的值；
(2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围．
72．设二次函数．
(1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标；
(2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围．
73．已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点．
(1)若，求抛物线顶点坐标；
(2)若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值．
74．二次函数的图象经过点．
(1)求的值．
(2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为．
①若，求的取值范围；
②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
75．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为．
(1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____．
(2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值．
1．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（ ）．
A．4B．5C．6D．8
2．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（ ）
A．B．C．D．
3．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（ ）
A．B．C．D．0
4．二次函数的最小值是（ ）
A．B．1C．D．7
5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．B．函数图象开口向下
C．当时，随的增大而减小D．的最小值是
6．已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号）
8．二次函数中的和满足下表，则的值为 ．
9．将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是 ．
10．已知关于x的一元二次方程的两根为，则抛物线的对称轴为直线 ．
11．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ．
12．若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题：
（1）的值是 ；
（2）的取值范围是 ．
与轴交点为，
根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而增大；
在右侧，随的增大而减小；且当时，
函数的最大值为，最小值为，
13．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴．
(1)确定b，的符号；
(2)求证：；
(3)当x取何值时，，当x取何值时．
14．已知抛物线（为常数）．
(1)若点在该抛物线上，求的值；
(2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式．
15．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．
(1)请求出以上两个函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
16．表格中是二次函数的函数值y与自变量x的对应值．
（1）写出该抛物线的对称轴 ．
（2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”）
（3）已知该抛物线与x轴的一个交点坐标是，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
（4）若点是该抛物线上一点，请写出这个点在其图象上的对称点坐标 ．
17．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值．
18．已知抛物线（为常数）．
(1)若该函数的图象经过
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求的值；
(2)若点，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
名称
解析式
前提条件
相互联系
一般式
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.
1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.
顶点式
当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.
交点式
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.
字母
字母的符号
图像特征
备注
a
a>0
开口向上
a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a0
与y轴正半轴相交
c