专题05 有理数的加法和减法（3知识点+10大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.
⑶一个数同0相加，仍得这个数.
知识点02 有理数的加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a；
加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；
知识点03 有理数的减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b
【题型1 有理数的加法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
【题型2 有理数加法中的符号问题】
例题：（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数D．至少有一个是负数
【变式训练】
1．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（ ）
A．必须是两个正数
B．可以是两个负数
C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大
D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大
2．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（ ）
A．这两个加数一定有一个数是0B．这两个加数一定都是负数
C．这两个加数一正一负D．这两个加数的符号不能确定
3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数D．a、b、c均为负数
【题型3 有理数加法运算律】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料：
计等：．
解：原式
．
上述这种方法叫做拆项法；
请仿照上面的方法计算：
(1)；
(2)．
【题型4 有理数加法在生活中的应用】
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广东广州·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．
(1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？
(2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
2．（24-25七年级上·山西晋中·期末）小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）．
(1)的意思是______；
(2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？
3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，一辆货车从超市出发，向东走了2到达小彬家，继续走了2.5到达小颖家，最后回到超市．
(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？
(2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？
【题型5 有理数的减法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【题型6 有理数的加减混合运算】
例题：（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练】
1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
2．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（24-25七年级上·河南周口·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型7 有理数的加减中的简便运算】
例题：（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程．
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负】
例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年级上·山西大同·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论：
①；②，③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．②③④⑤B．①②④⑤C．①②③④D．①③④⑤
【题型9 新定义下的有理数加减混合运算】
例题：（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）对于有理数定义一种新运算，．例：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子
(1)
(2)
2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如
．
(1)计算：；
(2)计算：．
3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________；
(2)根据法则计算：__________；__________；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
①
②
【题型10 有理数的加减混合运算的应用】
例题：（24-25七年级上·湖南常德·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为）
问：
(1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟?
(2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟?
(3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时?
【变式训练】
1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0”
(1)10月2日这一天的游客有_____万人．
(2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人．
(3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入．
2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）：
(1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数．
(2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？
(3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少．
3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）．
(1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米；
(2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？
(3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？
一、单选题
1．（2025年天津市河西区中考二模数学试题）计算的结果等于（ ）
A．7B．10C．D．
2．（2025·吉林长春·二模）把写成省略加号的和的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东汕头·一模）某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（ ）
A．1月28日B．1月29日C．1月30日D．1月31日
4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数
B．若，则
C．a为任何有理数，则必为负数
D．若，则a为非正数
5．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·山西运城·期末）计算的结果为 ．
7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值为 ．
8．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案）
9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ．
10．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算：
； ； ；
； ； ；
； ；
； ．
12．（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算
(1)
(2)
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
15．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例．
解：原式
．
上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个．
下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况：
(1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？
(2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具．
17．（24-25七年级上·江西赣州·期末）设表示不超过a的最大整数，例如，，．
(1)求的值；
(2)令，求的值．
18．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．
(1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？
(2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？
(3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
19．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）如图，一只蜗牛从点A沿着数轴向右爬行4个单位长度到达点B，从点B沿着数轴又向左爬行7个单位长度到达点C，点A表示的数为．设点B表示的数为a，点C表示的数为b．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料：
，，，，
根据以上规律，解决下列问题：
(1)______=______；
(2)计算：；
(3)计算：．
星期
一
二
三
四
五
六
日
时长变化
0
星期
一
二
三
四
五
六
日（天）
增减/分钟
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
0
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
200
38
188
458
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
1月28日（除夕）
1月29日（春节）
1月30日（初二）
1月31日（初三）
星期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
计数/个
+3
+1