专题06 有理数的乘法和除法（4知识点+9大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
【题型1 两个有理数的乘法运算】
例题：（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
3．（2024六年级上·上海·专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【题型2 多个有理数的乘法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 倒数】
例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ．
【变式训练】
1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ．
2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ．
3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ．
【题型4 有理数乘法运算律】
例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算：
【变式训练】
1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：．
2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步
第二步
第三步
．第四步
任务：
(1)填空：
①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)请直接写出正确的计算结果．
3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算
(1)；
(2)．
【题型5 有理数乘法的实际应用】
例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
(2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？
【变式训练】
1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：．
(1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？
(2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？
(3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？
2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
(1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？
3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
(1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．
(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元．
【题型6 有理数的除法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型7 有理数的乘除混合运算】
例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
(1)；
(2)．
【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值．
2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如：
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，，
例如．
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)计算：．
【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】
例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)______0；（填“”或“”）
(2)化简：．
2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，求的值
(2)已知，，是有理数，当，求的值
(3)已知，，是有理数，，，求的值．
3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c满足，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则：，
综上述：的值为3或．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求值．
(2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
一、单选题
1．（2025·陕西延安·模拟预测）计算：（ ）
A．B．C．5D．6
2．（2025·湖南常德·二模）下面算式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
5．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算： ．
如： ，则 的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2025·湖南·模拟预测）计算： ．
7．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ．
8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ．
9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号）
①；②；③．
10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
13．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
14．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料：
计算：
解法一：原式；
解法二：原式；
解法三：原式的倒数为，所以原式
(1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的；
(2)请你运用合适的方法计算：．
15．（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第___________步，错误原因___________；
第二处是第___________步，错误原因是___________；
(2)请写出正确的解题过程．
16．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，．
(1)求的值．
(2)求的值．
17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）；
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由；
(3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？
18．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）观察下列计算：
(1)______（根据规律写算式，不要直接写结果）
(2)你能试一试找到下列各式的规律吗？
则______（n为正整数）
(3)计算：
(4)计算：与标准质量的差值（单位：千克）
筐数
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量/单
星期
一
二
三
四
五
六
七
与计划量的差值