暑假作业09 一次函数与方程、不等式（3个知识点+7个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练试题（含答案）（人教版）

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作业09 一次函数与方程、不等式
【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解.
（2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【拓展】
方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标.
【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】
因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下：
【拓展】
直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为.
【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】
1.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线.
2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组化为一次函数与.
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型1 图象法求一元一次方程的解】
1．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2
2．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+1的图象相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
3．如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣b＝﹣1的解是 ．
4．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．
【题型2 代数法求一元一次方程的解】
5．若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程2kx﹣5k+b＝0的解为 ．
6．若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）﹣b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣5B．x＝﹣3C．x＝4D．x＝5
7．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），则关于x的方程﹣kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝0D．x＝2
8．若直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），过点A（3，2），则关于x的方程kx+2k+b＝2的解为 ．
【题型3 图象法解不等式（组）】
9．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集为（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3
10．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜4D．x＞4
11．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．0＜x＜1B．x＞1C．x＞2D．1＜x＜2
12．如图，一次函数y1＝kx+b图象经过点A（2，0），与正比例函数y2＝2x的图象交于点B，则不等式0＜b＜（2﹣k）x的解集为（ ）
A．x＞0B．x＞1C．1＜x＜2D．0＜x＜1
13．已知一次函数y1＝kx+2（k≠0）和y2＝﹣2x+a（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式（k+2）x＞a﹣2的解集为（ ）
A．x＞1B．x＞3C．x＜1D．x＜3
【题型4 由不等式关系结合图像求参】
14．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．﹣2＜m≤﹣1C．﹣2≤m＜﹣1D．m＞﹣2
15．已知直线y1＝kx+b和直线y2＝2x+m相交于点A（1，﹣1），且当x＞1时，总有y1＜y2成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤2B．0＜b＜2C．b＞﹣3D．b≤﹣3
16．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx﹣3和y2＝n（x﹣4）+2，（n≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，则n的取值范围为（ ）
A．n＜54且n≠0B．n＞54C．n≤54且n≠0D．n＜54
17．已知一次函数y1＝mx+3m﹣1（m≠0），y2＝k（x﹣2）+2（k≠0），若无论x取何值，始终有y2＞y1，则m的取值范围是 ．
【题型5 图象法解二元一次方程组】
18．如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，那么关于x、y的二元一次方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=−3y=−1
C．x=−3y=1D．x=3y=1
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组−kx=−y+bmx+n=y的解是（ ）
A．x=−1y=2B．x=2y=−1C．x=1y=2D．x=2y=1
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+m与y＝nx+1的图象分别与y轴交于点（0，4），（0，1），则关于x，y的二元一次方程组y=x+m−3y=nx+1的解为（ ）
A．x=0y=1B．x=1y=−1C．x=−1y=3D．x=3y=4
21．如图，一次函数y=−34x+92的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（2，n），则关于x，y的方程组3x+4y−18=0kx−y+b=0的解是（ ）
A．x=2y=2B．x=2y=3C．x=3y=2D．x=3y=3
【题型6 一次函数与方程、不等式多结论问题】
22．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
②方程组y=mx+ny=ax+b的解为x=−3y=2，
③当x＝0时，ax+b＝﹣1；
④方程mx+n＝0的解为x＝2；
⑤不等式mx+n≥ax+b的解集是x≥﹣3．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝﹣2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞﹣3；⑤不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
24．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜−23．其中正确的结论个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
25．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组y−ax=by−mx=n的解为x=−3y=2；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
26．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0）的图象交x轴于点（5，0），且与直线y=13x都经过点A（3，1），下列结论
①关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝5；
②直线y＝kx+b与y轴交于点(0，52)；
③当kx+b＞13x时，x＞3；
④方程组y=kx+by=13x的解为x=3y=1其中正确的结论有（ ）
A．①④B．③④C．①②③D．①②④
【题型7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】
27．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当x＜2时，y随x的增大而 ；
（4）进一步探究：
①不等式|x﹣2|≥2的解集是 ；
②若关于x的方程|x﹣2|＝kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是 ．
28．【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
（1）a＝ ；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ；
【拓展应用】
（3）若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集： ．
29．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y＝|x+1|的图象和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为 ，n的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
（3）请观察函数的图象，直接写出如下结论：
①当自变量x＝ 时，函数的最小值为 ；
②方程|x+1|＞2的解集为 ；
③函数y＝|x+1|与y=−15x+m的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和（a，3）．当|x+1|＜−15x+m时，直接写出不等式的解集．
30．某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x|+bx+c（a，b，c是常数，|a|≠|b|）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝ ．
（2）当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y1＝﹣2|x|+x+3．
①该函数自变量x和函数值y1的若干组对应值如表：
其中m＝ ．
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数y1＝﹣2|x|+x+3结合图象写出该函数的一条性质 ．
③已知函数y2＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）的直线，则关于x的不等式（﹣2|x|+x+3）（mx+n）＜0的解集是 ．
31．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程y=2x+3，y=−x，解得x=−1y=1，则y＝2x+3的“关联点”为（﹣1，1）．
①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）；
②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则m=12，n＝﹣1；
③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2；
④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP=12S△ABO，则点P的坐标为（﹣1.5，0）．
以上说法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
32．定义：对于实数a，b（a≠b），min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如：min{﹣1，2}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x+1，﹣3x+2}，且y＞﹣2，则x的取值范围是 ．
33．新定义：对于两个实数a、b，我们用max{a，b}表示这两个数中最大的数，即max{a，b}=a(a≥b)b(a＜b)，对于函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}：
（1）当x＝1时，y＝ ；
（2）若过定点的直线y＝kx+3k﹣1与函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}的图象有两个交点，则k的取值范围是 ．
34．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P1的坐标定义如下：当a≥b时，点P1坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1坐标为（b，﹣a）．线段l：y=−12x+6(−4≤x≤8)上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线y＝kx+4与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是 ．
35．对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和△ABC．已知A（1，2），B（3，1），C（2，3），给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若△ABC中的任意一点Q（a，b）满足a≤x，b≤y，则称四边形PMON是△ABC的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如P（4，5），P1（3，3）就是△ABC的某两个覆盖的特征点．若直线l：y＝mx+5（m＜0）的图象上存在△ABC覆盖的特征点，则m的取值范围是 ．
一次函数与一元一次不等式的关系
数的角度
不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围
不等式的解集在函数中，y