暑假作业07 函数的基础（4个知识点+8个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练试题（含答案）（人教版）

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作业07 函数的基础
【知识点1 常量和变量】
1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。
2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。
变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。
【知识点2 函数的概念和函数值】
1.函数的概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。
2.函数值：
在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。
【知识点3 函数自变量的取值范围】
1.自变量的取值范围：
在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。
2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围：
①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。
②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。
③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。
④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。
3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值：
在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。
【知识点4 函数的表示方法】
1.解析式法：
定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。
优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。
缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。
判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。
2.列表法：
定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。
优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。
缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。
3.图像法：
定义：用图像来表示函数关系的方法。
优点：能直观形象的表达函数关系。
缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。
判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型1 常量和变量的判断】
1．对于圆的面积公式S＝πr2，下列说法中正确的是（ ）
A．π是变量B．r2是常量
C．S，π，r都是变量D．S，r是变量
【分析】根据常量与变量的定义解答即可．
【解答】解：对于圆的面积公式S＝πr2，π是常量，S，r是变量．
故选：D．
2．某水库蓄满水时的水位高度为150m，现以每秒40立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库的水位高度为h（m），放水时间为t（s），则150和t分别是（ ）
A．常量，常量B．变量，变量C．变量，常量D．常量，变量
【分析】根据恒定不变的量叫常量，变化的量叫变量直接判断即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
150不变，是常量；t是变化的，是变量．
故选：D．
3．在球的表面积公式V＝4πR2中，下列说法正确的是（ ）
A．V，π，R是变量，4为常量
B．V，π是变量，R为常量
C．V，R是变量，4，π为常量
D．以上都不对
【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【解答】解：在这个关系式中，V和R是变量，4和π是常量，故A、B、D选项都是错误的，C选项正确，
故选：C．
【题型2 函数的判断】
4．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义“如果在一个变化中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数”判断即可．
【解答】解：根据函数的定义，A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
5．下列式子：①y＝3x﹣5②y=12③y=x−1④y2＝x⑤y＝|x|其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据函数的定义进行判断即可，
【解答】解：①y＝3x﹣5，y是x的函数；
②y=12，y不是x的函数；
③y=x−1，y是x的函数；
④y2＝x，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤y＝|x|．y是x的函数；
所以其中y是x的函数的个数是3，
故选：B．
6．下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y=x中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
④如图中，曲线表示y是x的函数．
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：①、②、③说法正确，故①、②、③符合题意；
④、曲线不表示y是x的函数，故④不符合题意．
故选：C．
【题型3 函数自变量的取值范围】
7．函数y=2x−1x−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤12B．x＜12C．x＜12且x≠1D．x≥12且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥12．
x﹣1≠0
解得x≠1
∴x≥12且x≠1
故选：D．
8．在函数y=1x+2+(x−3)0中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零、零指数幂列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x+2＞0且x﹣3≠0，
解得：x＞﹣2且x≠3，
故答案为：x＞﹣2且x≠3．
9．函数y=x−(x−1)0x+2的自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：由题意可得：x−1≠0x+2≥0x+2≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
函数y=x−(x−1)0x+2的自变量x的取值范围x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
10．函数y＝（x+2）﹣1+（x﹣3）0中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据题意，得y=1x+2+(x−3)0，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可．
【解答】解：根据分式有意义的条件，零指数幂的条件可知：
自变量x的取值范围是：x≠﹣2且x≠3．
故答案为：x≠﹣2且x≠3．
【题型4 求函数的解析式】
11．某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了x（3＜x≤15）千米，则乘车费用y（元）关于里程数x（千米）的函数解析式为 ．
【分析】当3＜x≤15时，根据“乘车费用＝起步价+超过3千米部分的付费”解答即可．
【解答】解：∵3＜x≤15，
∴y＝14+2.5（x﹣3）＝2.5x+6.5，
∴y与x的函数解析式为y＝2.5x+6.5（3＜x≤15）．
故答案为：y＝2.5x+6.5（3＜x≤15）．
12．等腰三角形的周长是60cm，底边长是x cm，一腰长为y cm，则y与x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据题意可以列出相应的函数解析式，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质可以确定x的取值范围，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
y=12(60−x)，
∵2y＞x2y+x=60x＞0，
∴0＜x＜30，
即y关于x的函数解析式是y=12(60−x)，自变量x的取值范围是0＜x＜30，
故答案为：y=12(60−x)，0＜x＜30．
13．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝160xB．y＝120xC．y＝8x+80D．y＝80x+80
【分析】观察表格，发现规律，根据题意列出y与x之间的函数关系式即可．
【解答】解：观察表格可知，一台机器人1小时搬运货物的重量为80kg，
∴y与x之间的函数关系式为y＝80x+120﹣80×12=80x+80，
故选：D．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点D是AC边上的动点，且点D从点C向点A运动．若设CD＝x，△ABD的面积为y，则y与x之间的关系式为 ．
【分析】根据S△ADB＝S△ABC﹣S△BCD，利用三角形面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：∵S△ADB＝S△ABC﹣S△BCD，
∴y=12×3×6−12×3×x，
∴y=−32x+9，
故答案为y=−32x+9．
15．在平面直角坐标系中，点A（10，0），第一象限内一点P（x，y）满足x+y＝8，设△AOP的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式并直接写出自变量的x取值范围；
（2）若20＜S＜30，直接写出整数x的值为 ．
【分析】（1）根据三角形面积公式写出S关于x的函数解析式，根据第一象限内点的坐标的特征列一元一次不等式组，求出x的取值范围；
（2）将（1）中求得的函数解析式代入20＜S＜30，求出x的取值范围，从而确定整数x的值．
【解答】解：（1）根据题意，得S=12×10y＝5y，
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
∴S＝5（8﹣x）＝﹣5x+40，
∵点P（x，y）在第一象限，
∴x＞08−x＞0，
∴0＜x＜8，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣5x+40（0＜x＜8）．
（2）根据题意，得20＜﹣5x+40＜30，
解得2＜x＜4，
∵0＜x＜8，
∴2＜x＜4，
∴整数x的值为3．
【题型5 根据情景确定函数的图象】
16．同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成题功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为h（cm），则h与t关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据瓶子的形状，瓶中水位上升速度应该是：快﹣慢﹣快﹣直线上升．
【解答】解：由容器的形状可知，水位上升速度应该是：快﹣慢﹣快﹣直线上升，故选项B符合题意．
故选：B．
17．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，
此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
18．甲、乙两个杯子的容量都是200ml，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用8s的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：ml），倒水的时间记为t（单位：s），则下列表示V与t之间函数关系的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据开始时两个杯子的水量相差为200mL，4s时两个杯子的水量相同，即两个杯子的水量相差v为0mL，8s时两个杯子的水量相差为200mL，据此可得答案．
【解答】解：由题意可知，当x＝0时，v＝200；
当x＝4时，v＝0；
当x＝8时，v＝200．
故选项A符合题意．
故选：A．
19．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选：B．
20．甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，从A地到B地的距离相同，因此可以推导出甲，乙的函数图形是一个路程和时间的一次函数即s＝vt，根据函数的性质可以直接选出答案．
【解答】解：∵在A到B的前半段路程中，甲先步行到中点，乙先骑自行车到达中点，
∴相同的距离，甲的速度慢，使用的时间长，乙速度快，使用的时间短，
∴故选项B，D不符合题意，
又∵甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行，甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，A到B的距离也相同，
∴甲和乙最终同时到达终点，故选项A不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
21．晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，随着时间的变化，她离家的距离将接近1000米，由于她到食品店买零食用了10分钟，在这段时间内，离家的路程将不会增加，接着她加快步伐，说明以后的函数图象将比以前匀速前进的时候的图象要陡，由此即可求出答案．
【解答】解：随着时间的变化，她离家的距离将接近1000米，排除D；
由于她到食品店买零食用了10分钟，在这段时间内，离家的路程将不会增加，排除C；
接着她加快步伐，说明以后的函数图象将比以前匀速前进的时候的图象要陡，排除B．
故选：A．
【题型6 根据函数图象获取信息】
22．已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点B；
④图中点Q的坐标为（24，50）．
则下列结论正确的有（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③
【分析】①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差；
②乙到达B地时对应x的值减去乙出发时对应x的值即乙追上甲所用的时间；
③根据速度＝路程÷时间求出甲的速度，由时间＝路程÷速度求出甲到达B地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间＝路程÷速度求出乙到达B地所用时间，从而求出乙到达B地时对应x的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点B；
④由③可知点Q的横坐标，根据路程＝速度×时间求出Q点时甲距A地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即Q的纵坐标，进而得到点Q的坐标．
【解答】解：乙每分钟比甲多走150÷（18﹣3）＝10（米），
∴①正确，符合题意；
乙用18﹣3＝15（分钟）追上了甲，
∴②不正确，不符合题意；
甲的速度为150÷3＝50（米/分钟），则甲到达B地所用时间为1200÷50＝24（分钟），
乙的速度为50+10＝60（米/分钟），则乙到达B地所用时间为1200÷60＝20（分钟），
∴当x＝20+3＝23时乙到达B地，
∴乙比甲早24﹣23＝1（分钟）到达终点B，
∴③正确，符合题意；
由③可知，点Q的横坐标为23，
甲出发后23分钟距A地50×23＝1150（米），则当x＝23时，甲、乙两人之间的距离为1200﹣1150＝50（米），
∴点Q的纵坐标为（23，50），
∴④不正确，不符合题意．
综上，①③正确．
故选：A．
23．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
①动车的速度是270千米/小时；
②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇；
③甲、乙两地相距1000千米；
④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时．
A．①②B．①④C．②③D．②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①普通列车的速度是100012=2503（千米/小时），
设动车的速度为x千米/小时，
∴3x+3×2503=1000，
解得：x＝250，
动车的速度为250千米/小时，
故①错误；
②如图，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，
故②正确；
③由x＝0时，y＝1000知，甲地和乙地相距1000千米，
故③正确；
④由图象知x＝t时，动车到达乙地，
∴x＝12时，普通列车到达甲地，
故④错误；
故选：B．
24．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x=158时，两车相遇；③当x=32时，两车相距60km，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由图象可知两地相距300千米，且当x＝3时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出x=32时，两车的路程即可判断③．
【解答】解：函数图象获取信息逐项分析判断如下：
由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当x＝3时，快车到达实验中学，
∴a＝3，故①正确；
快车的速度为3003=100km/ℎ，慢车的速度为3005=60km/ℎ，
相遇时，即100x+60x＝300，
解得：x=158，故②正确；
当x=32时，快车行驶的路程为100×32=150km，慢车行驶的路程为60×32=90km，
∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确；
综上可知①②③正确．
故选：D．
25．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【分析】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项
【解答】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．
故选：D．
26．小明坐车到甲地游玩，他从家出发0.8小时后先到达乙地，在乙地逗留一段时间后继续坐车到甲地，小明离家一段时间后，爸爸开始驾车沿相同的路线直接前往甲地．如图所示的是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题：
（1）小明家到甲地的路程为 km，小明在乙地逗留的时间为 h；
（2）小明出发 h后爸爸驾车出发；
（3）分别求出小明爸爸驾车前往甲地这一时间段内，小明和他爸爸的平均速度．
【分析】（1）由图象即可求解；
（2）由图象即可求解；
（3）结合图象得小明的平均速度：60−244−2.5小明爸爸的平均速度：603.5−2.5，即可求解．
【解答】解：（1）由图象得：
小明家到甲地的路程为：60km，
小明在乙地逗留的时间为：
2.5﹣0.8＝1.7（h），
故答案为：60，1.7；
（2）由图象得：
小明出发2.5h后爸爸驾车出发，
故答案为：2.5；
（3）有图象得：
小明的平均速度：
60−244−2.5
＝24（km/h），
小明爸爸的平均速度：
603.5−2.5=60（km/h），
故小明的平均速度24km/h，小明爸爸的平均速度60km/h．
【题型7 画函数图象】
27．小莉根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|﹣3的图象与性质进行了探究．
下面是小莉的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝ ，n＝ ；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象；
（3）由图象可知，当y＝﹣2.7时，对应的自变量x有 个值．
【分析】（1）根据表格求出当x＝0时，当x＝3时y的值即可；
（2）根据画函数图象的步骤即可；
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|﹣3的图象与性质进行了探究如下：
当x＝0时，y＝0×|0﹣2|﹣3＝﹣3，即m＝﹣3，当x＝3时，y＝3×|3﹣2|﹣3＝0，即n＝0，
故答案为：﹣3，0；
（2）列表：
描点，
连线，
（3）根据图象可知：
当y＝﹣2.7时，对应的自变量有3个值，
故答案为：3．
28．小贤同学根据学习函数的经验，对函数y＝2﹣|x|的图象与性质进行了探究．下面是小贤的探究过程，请完成相应的任务．
（1）自变量x的取值范围是 ．
（2）表格是y与x的几组对应值．表格中m＝ ．
（3）如图，请描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象．
（4）结合函数图象，我们发现：
①函数的最大值是 ．
②当y＞﹣1时，x的取值范围是 ．
③写出这个函数的一条性质： ．
【分析】（1）根据函数解析式即可求解；
（2）将x＝2代入解析式，即可求解；
（3）根据描点法画出函数图象，即可求解；
（4）①根据函数图象，即可求解；
②观察函数图象，即可求解；
③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解．
【解答】解：（1）在函数y＝2﹣|x|中，自变量x可以是任意实数；
（2）当x＝2时，m＝2﹣|2|＝0，
（3）如图所示，
（4）①根据函数图象可得，函数的最大值为2；
②根据函数y＝2﹣|x|，可得y＝﹣1时，x＝﹣3或x＝3，
根据函数图象，当y＞﹣1时，x的取值范围是﹣3＜x＜3；
③函数y＝2﹣|x|的图象关于y轴对称，当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减小．
29．如图1，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是﹣3．
点P是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AP用y表示．
（1）填写下表，在平面直角坐标系内画出y关于x的图象（图2）；
（2）若y＝5，则x的值是 ；
（3）下列说法正确的序号是 ；
①变量x是变量y的函数；
②y随x的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；
④当x＝﹣3时，y有最小值；
（4）若AP＜4OP，则x的取值范围是 ．
【分析】（1）用题意列出算式即可，描点画图；
（2）当y＝5时，列式计算即可；
（3）观察图象即可；
（4）将AP，OP距离代数式列出，计算一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）∵点P是数轴上一动点，表示的数是x，点A表示的数是﹣3，
∴当x＝﹣3时，AP＝0，即y＝0，
∴当x＝0时，AP＝3，即y＝3，
将表格中的坐标标出，画图如下：
（2）∵y＝5，点A表示的数是﹣3，
∴AP＝5，
∴﹣3+5＝2或﹣3﹣5＝﹣8，
∴x＝﹣8或x＝2，
故答案为：2或﹣8；
（3）变量y取一个数值，变量x有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确；
在所画图象中，y随x的增大而减小和增大而增大均有，故②不正确；
距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确；
通过观察图象可知，当x＝﹣3时，y有最小值，故④正确，
故答案为：④；
（4）∵AP＜4OP，
∴根据题意知AP＝|﹣3﹣x|，OP＝|x|，
∴|﹣3﹣x|＜4|x|，
解得：x＞1或x＜−35，
故答案为：x＞1或x＜−35．
【题型8 动点问题的函数图象】
30．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y=12BQ×EH=12×10×EH=30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE= BE2−AB2=102−62=8（cm），
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故选：C．
31．如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为O﹣A﹣D﹣O，点Q为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．23cm2B．2cm2C．3cm2D．2cm2
【分析】根据图象可知整个过程分为是三个过程：第一，两者都在AC上运动，P、Q运动至与A、C重合时，PQ最长与AC相等；第二，点P在AD，点Q在CB；第三，两者都在DB运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行判断即可．
【解答】解：根据题意可知，P、Q运动至与A、C重合时，PQ最长与AC相等，PQ=23cm，
∴AC=23cm，
由菱形的性质，得AO＝CO=12AC=3cm，AC⊥BD，
同理，第三个过程完成时，P、Q两点相距2cm，
∴BD＝2cm，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×23×2=23(cm2)．
故选：A．
32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图1所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据已知条件和图象可以得到BC、AC的长度，当x＝4时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值．
【解答】解：根据题意得，当x＝4时，点P与点C重合，BC＝4，AC＝7﹣4＝3，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴当x＝4时，y=12S△ABC，
∵S△ABC=12×12×3×4＝3．
∴此时函数有最大值，则y的最大值为3．
故选：A．
33．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
【分析】分别分析当点P位于点B处和点D处的x和y的值的实际含义，即可求出AB、BD、AD，判断出A、B、C的正确性，作BH⊥AD，求出BH，再求出三角形ABD的面积，即可求出当x＝15时的y值．
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意；
当x＝15时，点P在BD中点处，如图，
此时y＝S△ADP＝S△ABD，
作BH⊥AD，
∵AB＝BD＝10，
∴AH＝DH＝6，
∴BH=AB2−AH2=8，
∴S△ABD=12×12×8＝48，
∴y=12×48＝24，故D错误，符合题意．
故选：D．
34．十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号f（x）的形式来表示关于x的多项式，把x等于某数n时的多项式的值用f（n）来表示．例如x＝1时，多项式f（x）＝3x+2的值可以记为f（1），即f（1）＝3×1+2＝5．如果定义则f（x）＝x2+2x+1，则f（3）＝ ．
【分析】将x＝3，代入f（x）＝x2+2x+1中计算求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝x2+2x+1，
∴x＝3时，f（3）＝9+6+1＝16．
故答案为：16．
35．定义：P是平面内某一点，Q是图形W上任意一点，将P、Q两点间距离的最小值称为点P与图形W的“点图距”．如图，在等边△ABC中，点A的坐标为（3，0），点B、C在y轴上．记动点P（t，0）与等边△ABC的“点图距”为y，则y随t变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等边三角形的性质和勾股定理求出OC＝OB＝3，AC＝BC＝AB＝23，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可．
【解答】解：∵点P（1.0），点B、C在y轴上，
∴当t＜0时，点P（t，0）与等边△ABC的“点图距”为PO的长度，
∴y＝﹣t；当t＞0时，
∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC，点A的坐标为（3，0），
∴∠OAB＝∠OAC＝30°，OA＝3，
∴AB＝2OB，AB2﹣OB2＝OA2，
∴（2OB）2﹣OB2＝32，
∴OC＝OB=3，AC＝BC＝AB＝23，
如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，
当PO＝PD时，
∵∠BAO＝30°，
∴AP＝2PD＝2PO，
∵OA＝PA+PO＝3，
∴OP＝PD＝1，AP＝2，
∴此时动点P（t，0）与等边A△ABC的“点图距”y＝1，
∴当0≤PO≤1时，OP＜PD，
∴动点P（t，0）与等边△ABC的“点图距”为OP的长度，
∴y＝t（0≤t≤1）；
当1＜PO≤3时，OP＞PD，
∴动点P（t，0）与等边△ABC的“点图距”为PD的长度，
∴PD=12AP=12（OA﹣OP）=12（3﹣t）=−12t+32，
∴y=−12t+32（1＜t≤3）；
当t＞3时，动点P（t，0）与等边△ABC的“点图距”为AP的长度，
∴y＝AP＝OP﹣OA＝t﹣3（t＞3），
综上所述，y=−t(t＜0)t(0≤t≤1)−12t+32(1＜t≤3)t−3(t＞3)，
故选：B．
36．对于x的新函数定义如下：（1）当x＝0时，y＝1；
（2）当x=qp（p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数）时，y=1p；
（3）当x为无理数时，y＝0．
例：当x=34时，y=14；当x=−54时，y=14．以下结论：
①当x=5时，y＝0；
②若a，b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当x＝b时，函数值记为y2，当x＝ab时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3；
③若y=13，则对应的自变量x有且只有四种不同的取值；
④若2023≤x≤2024，则满足y≥13自变量x的取值共有5个．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①③④B．②④C．①④D．②③
【分析】①根据函数的定义求值即可；
②举一个反例说明即可；
③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；
④根据y的范围，设x=qp，求出 20223≤q≤2024p，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可．
【解答】解：①∵5 是无理数，
∴当x=5 时，y＝0；故①符合题意；
②∵a、b是互不相等且不为0的有理数，
设a=715，则y1=115，设 b=37，则y1=17，
∴x=a⋅b=15，则y3=15≠y1y2，故②不符合题意；
③y=13时，x=±13 或x=±23 或x＝±53⋯⋯，
故③不符合题意；
④∵y≥13，
∴x一定是有理数，且x≠0，
设x=qp，
则2023≤qp≤2024，
∴2023p≤q≤2024p，
∵y≥13，
∴p的可能取值为1，2，3，
当p＝1时，q可以取2023，2024，共2个，
当p＝2时，q可以取4047，共1个，
当p＝3时，q可以取6070，6071，共2个，
∴y≥13 的自变量x的取值共有5个，
故④符合题意；
故选：C．
37．对于有理数a、b，定义了一种新运算“※”为：a※b=3a−2b，a≥b．2a−23b，a＜b．如：5※3＝3×5﹣2×3＝9，1※3＝2×1−23×3＝0．
（1）计算：①2※（﹣1）＝ ；②（﹣4）※（﹣3）＝ ．
（2）若f（x）＝（x﹣3）※2+5，且x＜3，求f（x）的表达式．
（3）若A＝﹣x3﹣2x2+7，B＝﹣x3﹣3x2+1，且A※B＝11，求2x3+2x的值．
【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；
（2）由x＜3，判断出x﹣3＜2，根据新定义的运算得出（x﹣3）※2的值，进而得出函数关系；
（3）确定A，B的大小关系，再根据新定义的运算求出x的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）①2※（﹣1）＝3×2﹣2×（﹣1）＝8；
②（﹣4）※（﹣3）＝2×（﹣4）−23×（﹣3）＝﹣6；
故答案为：8，﹣6；
（2）∵x＜3，
∴x﹣3＜2，
∴（x﹣3）※2＝2（x﹣3）−23×2＝2x−223，
∴f（x）＝（x﹣3）※2+5，且x＜3，f（x）的表达式为y＝2x−223+5＝2x−73；
（3）无论x取何值，恒有﹣x3﹣2x2+7＞﹣x3﹣3x2+1，即A＞B，
∵A※B＝11，
∴3（﹣x3﹣2x2+7）﹣2（﹣x3﹣3x2+1）＝11，
解得x＝2，
∴2x3+2x＝2×8+2×2＝20．
m
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
n
﹣2
﹣3
﹣6
8
3
2
搬运时间（h）
0.5
1
2
3
4
…
搬运货物的重量y（kg）
120
160
240
320
400
…
x
…
﹣1
0
0.5
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣6
m
﹣2.25
﹣2
﹣2.25
﹣3
n
5
…
x
⋯
﹣1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
﹣6
﹣3
﹣2
﹣3
0
5
⋯
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
1
2
1
m
…
x
⋯
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
⋯
y
⋯
2
1

1
2

⋯