暑假作业02 勾股定理（4个知识点+9个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练试题（含答案）（人教版）

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作业02 勾股定理
【知识点1 勾股定理】
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理.
2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦.
【知识点2 勾股定理的验证】
勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下
1.弦图证明

内弦图 外弦图

∴ ∴
2.“总统”法（半弦图）
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴
【知识点3 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形.
【知识点4 勾股数】
1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型1 判断三角形的形状】
1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2:b2:c2=3:5:8B．b2=(a+c)(a−c)
C．∠A:∠B:∠C=2:3:7D．∠C=90°−∠B
2．a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2−b2−c2+b−c=0，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【题型2 勾股定理解三角形】
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB=8，BD=4，则BE的长是（ ）
A．3B．95C．125D．5
4．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点F．若CD=3,DB=5，则AE的长为（ ）
A．3B．5C．25D．32
【题型3 勾股定理与网格问题】
6．（1）如下图，在2×3的网格中，∠1+∠2= °．
（2）点A、B、C、D、E是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE= °．
（3）如下图，在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC−∠DAE= °．
7．我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题．
例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较5+1与10的大小．
解：由勾股定理，得AB=22+12=5，AC=32+12=10，BC=1．
在△ABC中，AB+BC>AC，∴ 5+1>10．
请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较13+2与17的大小．
8．在4×4的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D是格点．
(1)在网格中找一格点E，使得BE=5；
(2)作格点△BDF，使得BF=10，DF=17；
(3)在（2）的条件下，∠DBA−∠FBC=_______．
【题型4 勾股定理与面积问题】
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘．以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=40，则S1的值为（ ）
A．18B．20C．22D．25
10．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为a，较短的直角边为b，若图2中大正方形的面积为25，线段EF的长为32，则图1中的直角三角形面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC=7，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ．
【题型5 勾股定理与折叠问题】
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，D是AC的中点，E是BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE的长是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，以下四个结论不正确的是( )
A．∠ECF=45°B．△CEF是等腰直角三角形
C．S△CDF=3625D．B′F=45
14．如图，在纸片△ABC中，AB=AC=12，∠B=30°，折叠纸片，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，则△DEF的面积为 ．
【题型6 勾股定理与立体图形最短路径问题】
15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米B．25米C．30米D．15米
16．如图圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿4cm与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
【题型7 勾股定理与几何最值问题】
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=4，BC=BD=6，E为BD上一点，且BE=12ED，连接AD、CE，则AD+CE的最小值为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，M、N分别是AC、BC边上的动点，AM=CN,连接BM、AN，则BM+AN的最小值是 ．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D是BC边上一点，连接AD，M，N是线段AD上两点，AM=5，AN=12，P，Q分别是AB，AC边上的动点，连接PM，PQ，NQ，则PM+PQ+NQ的最小值为 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，若P为AB上一个动点，则PC+12AP的最小值为 ．
【题型8 勾股定理的实际应用】
21．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知AC_____________BC+CE（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)若CF=5米，AF=12米，AB=2米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
22．如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，23小时后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
(1)求A处与小岛C之间的距离；
(2)渔船到达B处后，航向不变，继续航行多长时间与小岛C的距离恰好为103海里．
23．天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题．
24．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．求这片绿地的面积．
25．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
(1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【题型9 勾股定理与全等三角形】
26．如图，等边△ABC中，AE=CD，EF⊥BD，若FG=3，则EF等于（ ）

A．23B．33C．3D．4
27．如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)线段AB与线段AC的数量关系为：______．
(2)在（1）的条件下，求证：AE2+AD2=2AC2；
(3)如图2，若AE=2，AC=25，点F是AD的中点，请直接写出CF的长．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．

(1)判断△BCF的形状，并说明理由；
(2)若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．
29．【发现问题】

如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ∠APC=150∘,PA=3,PC=4，求PB的长.
小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC=BD；由已知 ∠APC=150∘，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．
（1）请回答：在图1中， ∠PDB=_____，PB= _____．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=1，PB=17，PC=22，∠APC和AC的长．
【灵活运用】
（3）如图3，某公园中有一块四边形空地ABCD，连接AC，BD．已知AB=BD，∠ABD=90°，BC=62米，DC=9米，公园规划部计划在四边形ABCD内种植郁金香以供游客观赏，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使AC的长度尽可能大（AC的宽度不计），请直接写出AC长度的最大值．
30．如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ⋯，按照此规律继续下去，若Sn=a222025，则n的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4，…，的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=⋯=30°．若点A1的坐标为3,0，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2024的纵坐标为 ．
32．勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
33．定义：如图1，在△ABC中，点P在BC边上，连接AP，若AP的长恰好为整数，则称P为BC边上的“整点”．如图2，在△ABC中，AB=10，AC=25，且BC
边上有4个“整点”，则BC的长为 ．
34．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长．
(2)点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式x2+9+(24−x)2+16的最小值．
35．定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，且a，b，c满足ac+a2=b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．
请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数．
(2)如图2，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠ACB>∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD=CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”．