暑假作业03 平行四边形的性质与判定（5个知识点+7个题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练试题（含答案）（人教版）

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作业03 平行四边形的性质与判定
【知识点1 平行四边形的概念】
1.定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.表示方法
平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。
【知识点2 平行四边形的性质】
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【知识点3 两条平行线之间的距离】
1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.性质：
①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等.
【知识点4 平行四边形的判定】
【知识点5 三角形的中位线及其定理】
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型1 平行四边形的性质】
1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若∠B＝50°，则∠EAF的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
3．在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（ ）
A．（﹣15，5）B．（﹣14，1）C．（﹣14，5）D．（﹣15，1）
4．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于12BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．如图，▱ABCD的对角线交于点O，E为BC的中点，F为的EC中点，若OE⊥AC，OF⊥BD，OE＝2，则OF的长为（ ）
A．2B．85C．2D．3
6．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，过点C作CF⊥BE交BE于点F，G是AB的中点，连接AE，GF，若AE＝4，则GF＝（ ）
A．4B．2C．5D．3
7．如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（ ）
A．12B．16C．24D．36
8．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（ ）
A．a+bB．12c−a−bC．c﹣2a﹣bD．2a+b
【题型2 平行四边形的判定】
9．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
①AB＝CD；②AC＝2OC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO．
A．①②B．②④C．①③D．①④
10．下面各项不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB∥CD，AD∥BC
C．∠B＝∠D，∠A＝∠C
D．∠B+∠A＝180°，∠B+∠C＝180°
11．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，点M，N，P，F分别在ABCD的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形MNPF是平行四边形的是（ ）
甲：使AF＝CN，AM＝CP；
乙：使MP，NF均经过点O；
丙：使NF经过点O，且AM＝DP．
A．只有甲、乙B．只有乙、丙C．只有甲、丙D．甲、乙、丙
12．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ．（只填序号）
【题型3 三角形的中位线定理】
14．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（ ）
A．25°B．30°C．20°D．35°
15．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE=32，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．132C．7D．8
16．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
17．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【题型4 平行四边形的判定与性质】
18．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
19．已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形ABCF是平行四边形；
（2）连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求线段BF的长．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若CD=210，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
21．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
22．如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH．
（1）求证：四边形DEFH是平行四边形；
（2）如果∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，求DE的长．
【题型5 平行四边形中多结论问题】
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD=2BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③BG=12GD；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
25．如图，在平行四边ABCD中，P是AD上的一点，连接PB并延长，使BE＝BP，连接PC并延长，使CF＝CP，连接EF，M为EF的中点，连接AE、EC、DM，下列结论中：①∠BAE＝∠CDM，②四边形AEMD是平行四边形，③若AD＝BP，则EC⊥PF，④S四边形BEFC＝3S△PBC，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【题型6 平行四变形中的动点问题】
26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A．34B．3C．3或32D．32或34
27．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝82cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
28．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形．
【题型7 平行四边形中求最值问题】
29．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝6，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2B．3C．23D．7
30．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 ．
31．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 ．
32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1543B．523+1C．43−32D．323+3
33．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（ ）
甲方案：在BD上取BN＝MD，连接AN、AM、CN、CM；
乙方案：作AN、CM分别平分∠BAD，∠DCB，连接AM，CN；
丙方案：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M．连接AM，CN．
A．甲、乙、丙B．甲、乙C．甲、丙D．乙、丙
34．平行四边形ABCD中，AB＜AD，要求用尺规作图的方法在边BC、AD上分别找点M、N，使得四边形BMDN也为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙都对B．甲对、乙不对
C．甲不对、乙对D．甲、乙都不对
35．定义：作平行四边形的一组邻角的平分线，这两条角平分线与这组邻角的公共边组成的三角形为该平行四边形的“伴侣三角形”．如图，△PBC为▱ABCD的“伴侣三角形”，AB＝m，BC＝4，连结AP并延长交直线CD于点Q．若点Q落在线段CD上（包括端点C，D），则m的取值范围是 ．
36．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
37．如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
38．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”．已知点：A（2，2），B（6，2），C（2，0），若点D(1，1)，E(2，3)，F(−32，1)中，是点C关于直线AB“平心点”的有 ；若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，则a的取值范围 ．
性质
数学语言
图示
边
平行四边形的对边相等
四边形是平行四边形，
角
平行四边形的对角相等
四边形是平行四边形，
对角线
平行四边形的对角线互相平分
四边形是平行四边形，
判定方法
数学语言
图形
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）
四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（或），
四边形是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
，
四边形ABCD是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.